怎樣用坐標(biāo)法求曲線的軌跡方程

呂繼君

我們知道，曲線與方程的關(guān)系為：曲線上任意一 點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足曲線的方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn) 都在曲線上.用坐標(biāo)法求曲線的軌跡方程，只需將數(shù)形 結(jié)合起來，將曲線問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，求滿 足曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的方程.下面結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行 探討.

一、用坐標(biāo)法求曲線的普通方程

用坐標(biāo)法求曲線的普通方程的一般步驟為：（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并建立等量關(guān)系；（3）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等量關(guān)系式中，并將其化為最簡(jiǎn)方程；（4）檢驗(yàn)所得的方程，并將不符合條件的點(diǎn)去除.解題的關(guān)鍵是找到滿足動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系.

例1.

解：

由于無法判斷出圓心 P 的軌跡，不能用待定系數(shù)法求方程，只能用坐標(biāo)法，根據(jù)關(guān)于點(diǎn) P 的等量關(guān)系PA =PD =r ，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的方程，即可求得曲線的普通方程.

例2.

解：

由于曲線 C1 的方程是參數(shù)方程，所以可以嘗試用 坐標(biāo)法求曲線 C2 的軌跡方程.先設(shè)出P、M點(diǎn)的坐標(biāo)； 然后根據(jù)點(diǎn) P 和點(diǎn) M 的關(guān)系：OP = 2 ?OM ，列出關(guān)于 動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，化簡(jiǎn)該方程即可解題.

二、用坐標(biāo)法求曲線的極坐標(biāo)方程

用坐標(biāo)法求曲線的極坐標(biāo)方程，可以先求出其軌 跡的普通方程，然后再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，但這 樣做的計(jì)算量較大.我們還可以嘗試，先建立極坐標(biāo)系， 即以某一點(diǎn)為極點(diǎn)，其中一條直線為極軸；然后將各個(gè) 點(diǎn)用極坐標(biāo)表示出來，并求得動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)或方程.

例3

解：

P 的極坐標(biāo)為 （ρ，θ） ，其中涉及了長(zhǎng)度和角度，通 常都要構(gòu)造三角形，通過解三角形來求得問題的答案. 對(duì)于本題，需構(gòu)造Rt△OAP，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

可見，不論是用坐標(biāo)法求曲線的普通方程，還是 用坐標(biāo)法求曲線的極坐標(biāo)方程，其思路與過程基本一 致，而解題的關(guān)鍵都是要找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系， 建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式.

本文為甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題 （課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2022]GHBZ144）“新課程背景下通 過單元（主題）教學(xué)優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的有效策 略研究”階段性成果.

（作者單位：甘肅省武威市天祝藏族自治縣第二中學(xué)）