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    數(shù)形結(jié)合思想在2020-2022年高考全國(guó)理科卷中的應(yīng)用

    2023-04-12 14:45:55王若璇周春梅
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題數(shù)形結(jié)合思想高考

    王若璇 周春梅

    摘?? 要:本文以數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)為切入點(diǎn),著重探索數(shù)形結(jié)合思想在2020-2022年高考全國(guó)理科卷中函數(shù)及立體幾何的具體應(yīng)用,以幫助學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題,切實(shí)提升數(shù)學(xué)解題能力.

    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合思想;高考;數(shù)學(xué)解題

    中圖分類號(hào):G632?? ??????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? ??????文章編號(hào):1008-0333(2023)07-0035-03

    1 數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生必須要掌握的思想方法,它體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個(gè)方面,如集合、不等式、向量、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等.通過(guò)閱讀大量文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),許多學(xué)者對(duì)“數(shù)形結(jié)合”都有自己的理解.

    徐文龍把“數(shù)”理解為數(shù)學(xué)文字表征,即數(shù)字、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等,把“形”可以理解為圖形表征,即實(shí)物、圖象、圖表、圖形等.

    蔡小雄認(rèn)為“形”因“數(shù)”得到抽象的概括,“數(shù)”因“形”得到直觀的體現(xiàn),將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言巧妙結(jié)合,利用圖形的直觀刻畫和代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)論證,使數(shù)學(xué)問(wèn)題得以研究和解決.

    華羅庚在描述數(shù)形結(jié)合時(shí)說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬(wàn)事休.”

    2 數(shù)形結(jié)合思想在2020-2022年高考全國(guó)理科卷中的應(yīng)用

    經(jīng)過(guò)對(duì)近幾年高考試題的研究,在解決一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,可以小費(fèi)力獲得大收獲,特別是在求解選擇題、填空題中更能表現(xiàn)出它的優(yōu)越性.在這里主要以“函數(shù)”“立體幾何”這兩類較難的問(wèn)題進(jìn)行探索.

    2.1 在函數(shù)問(wèn)題上的應(yīng)用

    函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn),是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一,在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的地位.在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí),可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,將題目中的問(wèn)題與圖形有效結(jié)合起來(lái),通過(guò)圖形將題目中的問(wèn)題具體化,抓住題目中的解題要點(diǎn).

    例1?? (2022年全國(guó)乙卷)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2ax-ex2a>0且a≠1的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

    解析?? 由題意,得f ′x=2axlna-2ex(a>0且a≠1),因?yàn)閤=x1和x=x2分別是函數(shù)fx的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),即f ′x=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1

    當(dāng)f ′x=0時(shí),ax=elnax,令gx=ax,hx=elnax,則gx與hx的函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

    當(dāng)0

    即x0lna=1,即x0=1lna=logae.

    所以切線斜率k=ax0lna=alogaelna=elna,要使gx與hx的函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則elna

    又0

    當(dāng)a>1時(shí),若函數(shù)gx與hx的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)圖象如圖2所示,則當(dāng)x∈0,x1時(shí),f ′x>0,可得函數(shù)fx是單調(diào)遞增的;當(dāng)x∈x1,x2時(shí),f ′x<0,可知函數(shù)fx是單調(diào)遞減的;當(dāng)x∈x2,+∞時(shí),f ′x>0,fx單調(diào)遞增.則x1為極大值點(diǎn),x2為極小值點(diǎn),與題意不符.

    綜上所述,a可取的范圍是1e,1.

    通過(guò)這兩個(gè)例題,可以發(fā)現(xiàn):在近幾年的高考題中,對(duì)于立體幾何大題的考查主要集中在證明線線的關(guān)系及求線面所成角上.考查了學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).

    通過(guò)對(duì)2020-2022年高考全國(guó)理科卷中個(gè)別題目的詳細(xì)解答可以發(fā)現(xiàn):現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)不僅僅是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查,考查更多的是學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等能力.所以,在教學(xué)過(guò)程中,首先增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,其次在進(jìn)行思想方法滲透時(shí)要有支撐, 最終提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2012.

    [2] 陶政國(guó).論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢(shì)與應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究,2022(16):78-80.

    [責(zé)任編輯:李?? 璟]

    收稿日期:2022-12-05

    作者簡(jiǎn)介:周春梅,女,寧夏固原人,碩士,副教授,從事復(fù)分析及其在力學(xué)中的應(yīng)用研究;

    王若璇(1998.8-),女,山西省臨汾人,碩士,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    基金項(xiàng)目:2020寧夏高等學(xué)??茖W(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):NGY2020079);寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):2022AAC03332);寧夏卓越教師發(fā)展研究人才小高地項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助.

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