問題驅(qū)動，向數(shù)學(xué)更深處漫溯
——以“圓的認(rèn)識”教學(xué)為例

安徽合肥市望湖小學(xué)（230000） 汪若梅

“問題驅(qū)動”“深度學(xué)習(xí)”是當(dāng)前教育教學(xué)中的熱點詞匯，但目前對于“問題驅(qū)動”“深度學(xué)習(xí)”的研究大多是站在教學(xué)模式與教學(xué)方法的角度開展的，缺乏對學(xué)生的關(guān)注。本文以“圓的認(rèn)識”教學(xué)為例來探究該問題，教學(xué)中以學(xué)生為主體，教師圍繞學(xué)生提出具有挑戰(zhàn)性的問題，精心設(shè)置問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生積極思考、深度探究、解決問題。

一、引發(fā)沖突，提出核心問題

1.嘗試操作，以問題指明探究方向

問題一：你能想辦法畫一個圓嗎？借助身邊的工具畫一畫。

問題二：利用這些工具，你能畫出任意大小的圓嗎？

教師要重視學(xué)生直接經(jīng)驗的形成。教師可根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，通過操作、游戲等豐富多彩的活動，引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題并進行探究，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察世界的習(xí)慣，同時培養(yǎng)學(xué)生的好奇心、想象力和創(chuàng)新意識。

教師提出“你能想辦法畫一個圓嗎？借助身邊的工具畫一畫。”的問題引導(dǎo)學(xué)生探究畫圓的方法。有的學(xué)生利用水杯底部畫圓，有的學(xué)生利用膠帶畫圓，但更多學(xué)生用圓規(guī)畫圓。

教師以第二個問題“利用這些工具，你能畫出任意大小的圓嗎？”引導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)畫出任意大小的圓。用圓規(guī)畫圓的過程正是圓的本質(zhì)特征直觀顯現(xiàn)的過程。

整個活動設(shè)計以畫圓工具的變化促使學(xué)生思考圓的本質(zhì)。

2.關(guān)鍵活動，以問題促進深入體驗

問題三：為什么用圓規(guī)畫出的圓這么規(guī)范？

問題四：有的同學(xué)為什么畫不圓？

創(chuàng)設(shè)關(guān)鍵活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生主動探究和發(fā)現(xiàn)解決問題的策略。在教學(xué)活動中，教師應(yīng)融合學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)與興趣的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生找到適合自己的學(xué)習(xí)方式。

在用圓規(guī)畫圓的環(huán)節(jié)中，很多學(xué)生能順利畫圓且能流暢地說出自己是怎么畫的，不過他們不一定理解為什么用圓規(guī)能畫得這么圓。因此，教師現(xiàn)場抓取素材，展示學(xué)生畫的不規(guī)范的圓，并提出問題：“有的同學(xué)為什么畫不圓？”學(xué)生找“畫不圓”的原因時，其思維被激活，積極主動地思考圓的本質(zhì)特征。

生1：他畫的圓的中間有好多洞，說明他的針尖動了。

生2：他畫的圓的邊線有點亂，說明圓規(guī)兩腳間的距離不固定。

生3：我要補充，用圓規(guī)畫圓的時候最好抓著圓規(guī)上面，不能抓著圓規(guī)的腳，不然很容易控制不好，那就畫不圓了。

師：怎樣才能畫得圓？

生4：針尖的位置不能移動，圓規(guī)兩腳之間的距離不能變。

雖然學(xué)生的語言不太規(guī)范，但還是表達出了自己的想法，這些想法都源于學(xué)生已有的活動經(jīng)驗。每個學(xué)生都樂于思考且有話可說，由學(xué)生自己感悟進而總結(jié)出來的結(jié)論，比教師直接解說更有價值。

二、合作交流，整合探究性問題

1.疑難知識，以問題促進深度思考

問題五：為什么有的同學(xué)畫的圓在紙的上半部分，有的同學(xué)畫的圓在紙的下半部分呢？

問題六：為什么有的同學(xué)畫的圓大，有的同學(xué)畫的圓小呢？

問題是啟發(fā)思維的源泉。在質(zhì)疑問難中可以調(diào)動學(xué)生閱讀、思考、主動獲取知識的積極性，從而發(fā)展學(xué)生的思維。因此，教師在深度教學(xué)中要抓住學(xué)生的疑問點和知識的疑難點，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)、提出問題，改造、重組、重新解釋自己的經(jīng)驗和認(rèn)知，激發(fā)深層次的思考，在質(zhì)疑問難中積累經(jīng)驗。

現(xiàn)場抓取的學(xué)生作品，有很多不同形態(tài)的圓。教師用兩個問題“為什么有的同學(xué)畫的圓在紙的上半部分，有的同學(xué)畫的圓在紙的下半部分呢？”“為什么有的同學(xué)畫的圓大，有的同學(xué)畫的圓小呢？”促進學(xué)生進一步思考圓心與半徑的作用，讓學(xué)生理解“圓心決定了圓的位置，半徑?jīng)Q定了圓的大小”。在學(xué)生學(xué)習(xí)直徑的概念后，讓他們用實踐操作理解直徑的含義。在這個環(huán)節(jié)，教師緊抓核心概念，利用問題引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性和深刻性。如果教師先問：“什么叫圓心？什么叫半徑？什么叫直徑？”這類問題雖然直逼核心，但是缺乏價值和延伸性，因為這些概念的字面意思學(xué)生都能理解，所以不利于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進行深層次挖掘。

2.關(guān)注體驗，以問題促進知識內(nèi)化

問題七：你能想辦法驗證你的猜想嗎？

問題八：你還有什么想法？和大家一起分享。

動手實踐、自主探索、合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。問題是思維的路標(biāo)，教師應(yīng)充分放手，在課堂中適時留白，留出時間，引而不發(fā)，讓學(xué)生在問題探究中觀察、說理、體驗、反思，促進知識的內(nèi)化。

對于圓的半徑、直徑的進一步探究，教師采用了開放式的教學(xué)方式，在課前給每個學(xué)生隨機發(fā)不同大小的圓形紙片，讓學(xué)生在課上自由探究，給學(xué)生發(fā)散思維的空間，使自主學(xué)習(xí)得以發(fā)生。

生1：我先畫半徑，然后量半徑的長度，我發(fā)現(xiàn)半徑畫不盡，而且半徑的長度都一樣。

生2：圓的直徑也有無數(shù)條，而且長度都一樣。

生3：我把直尺左端對準(zhǔn)圓心，然后按著直尺，旋轉(zhuǎn)圓形紙片，發(fā)現(xiàn)圓的半徑長度都一樣，直徑長度也都一樣。

師：你的方法真特別！為什么圓的半徑長度都一樣呢？你有什么想法？

生3：圓的邊緣有無數(shù)個點，把每個點和圓心用線段連起來，這條線段就是半徑，這樣的線段（半徑）有無數(shù)條，而且長度都一樣。

生4：我還發(fā)現(xiàn)，圓的直徑是半徑的2倍。

師：說得真好。

華應(yīng)龍老師認(rèn)為教師們在處理“圓的認(rèn)識”這節(jié)課時存在問題：注重組織學(xué)生通過折疊、測量、對比等操作活動來發(fā)現(xiàn)圓的特征，不重視通過推理、想象、思辨等思維活動來概括圓的特征。因此，對于“圓有無數(shù)條半徑”“同一個圓內(nèi)，所有半徑（直徑）長度都相等”“同一個圓內(nèi)，直徑長度是半徑的2 倍”等原理的探索，教師可放手讓學(xué)生去猜想、驗證，然后歸納、應(yīng)用。學(xué)生既可以通過折一折、畫一畫、量一量等多種活動探索，也可以積極思辨，展開演繹推理，推導(dǎo)特征。這樣的教學(xué)方式脫離了“用尺子量”的簡單操作，不是一味追求結(jié)果，而是在操作過程中培養(yǎng)學(xué)生的自主能力、動手能力、探索能力。

三、關(guān)聯(lián)生活，分析解決問題

1.注重生活，以問題提升應(yīng)用能力

問題九：你能從數(shù)學(xué)的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的嗎？車軸應(yīng)裝在哪里？

這節(jié)課遵循“生活中的圓—數(shù)學(xué)中的圓—圓的特征—回到生活”環(huán)節(jié)教學(xué)，以“提出問題—嘗試操作—探究內(nèi)化—解釋應(yīng)用”流程，指向?qū)W生高階思維的發(fā)展。

教師結(jié)合生活實際，提出開放性問題：“你能從數(shù)學(xué)的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的嗎？車軸應(yīng)裝在哪里？”

生1：因為圓的輪子沒有棱角，滾動起來比較容易。

生2：如果輪子做成方的，滾起來就會一上一下的，就很顛簸。

生3：圓形車輪最平穩(wěn)，而且車軸要裝在圓心，我們可以想象一下，車軸如果不在圓心，車也會很顛簸。

師：為什么車軸裝在圓心，車就會行駛得平穩(wěn)呢？

生4：圓的所有半徑都相等，車軸裝在圓心，車軸到地面的距離就都相等了。

生5：若車軸不在圓心，車軸到地面的距離就不相等，滾起來就不平穩(wěn)。

師：解釋得真好！

在師生互動和生生互動中，從半徑的特征以及現(xiàn)實意義到生活場景，讓原本摸不著的知識變得可視化。學(xué)生在解釋的過程中，需要從現(xiàn)實問題中剝離非本質(zhì)因素，抽象出圓的本質(zhì)特征，這對學(xué)生的思維提出了更高的要求，也體現(xiàn)了學(xué)生對于圓的本質(zhì)特征的深度理解，同時讓學(xué)生慢慢學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活。

2.觀察生活，感受圓的魅力

其實，生活中處處蘊含數(shù)學(xué)知識，圓在我們生活中扮演著重要的角色。教師說：“這一切，不正是圓的魅力所在嗎？讓我們一起來欣賞。”教師播放課件：石子入水后激起圓形波紋；陽光下肆意綻放的向日葵；光折射后形成的美妙光環(huán)；草原上的蒙古包；天體運行時近似圓形的軌跡；遙遠(yuǎn)天際懸掛的那輪明月……在中國，人們特別重視中秋節(jié)、春節(jié)等團圓的節(jié)日；表達祝福時常常喜歡用“圓滿”“圓夢”等詞；文學(xué)創(chuàng)作中也喜歡大團圓的結(jié)局……讓我們從現(xiàn)在開始，真正走進歷史、走進文化、走進圓的美妙世界！學(xué)生靜靜欣賞課件，延續(xù)對圓的無限暢想。

四、回顧反思，改進提升問題

1.進行后測，以問題延伸思考深度

“圓的認(rèn)識”作為幾何概念教學(xué)研究的內(nèi)容，是在學(xué)生直觀認(rèn)識圓和已經(jīng)較系統(tǒng)地認(rèn)識了平面上直線圖形的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。在前測時，教師通過一份問卷（如圖1）了解學(xué)生的知識起點，再用同一份問卷進行后測，對比學(xué)生前后的完成情況，能更直觀清晰地感受到學(xué)生對知識的內(nèi)化程度。

圖1 關(guān)于“圓的認(rèn)識”的問卷

根據(jù)后測的信息反饋來看，不同的學(xué)生對圓的知識的理解程度不同。學(xué)生主要提出以下問題：

（1）可以怎樣畫圓？

（2）怎樣畫大小不同的圓？

（3）圓的周長和面積怎么計算？

（4）圓里有沒有藏著什么秘密？

后測時，學(xué)生在掌握了圓的基本特征后提出了更多的問題，高頻問題如下：

（1）祖沖之是怎么發(fā)現(xiàn)圓周率的？

（2）目前圓周率已經(jīng)算到小數(shù)點后幾位了？

（3）為什么井蓋是圓的？

（4）為什么房子不設(shè)計成圓的？

（5）世界上有沒有完美的圓？

（6）畫圓除了用圓規(guī)還有什么好方法？

（7）圓的歷史和由來是什么？

2.團隊協(xié)作，以問題拓展思維廣度

學(xué)生應(yīng)養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神。學(xué)生應(yīng)在回顧解決問題的過程中，反思解決問題的方法，形成批判性思維和創(chuàng)新意識。

分析整理后測問卷后，教師再次組織學(xué)生以“共同目標(biāo)”組建學(xué)習(xí)共同體，進行更深入的探究。

探究問題：井蓋為什么是圓的？為什么小區(qū)里的井蓋有的是方形的？

探究方法：在校園圖書館借閱相關(guān)書籍；上網(wǎng)搜索相關(guān)資料；詢問科學(xué)老師；與小區(qū)工作人員交流等。

［匯總分析］

（1）大多數(shù)井蓋是圓形的原因如下。

受力均勻。圓形井蓋在受力后，向四周擴散的壓力均等，不容易破碎、塌陷。

便于操作。圓形沒有方向性，不需要對準(zhǔn)和校準(zhǔn)位置，也不易掉落，操作便捷。

（2）深度較淺的井，對井內(nèi)的空間要求不大，所以為了便于施工，就做成了長方形，施工成本低。小區(qū)里有方形井蓋，是因為小區(qū)里的磚是方形的，匹配圓形井蓋的話操作困難，后期維護成本高。這時，維護成本是最重要的。

（3）除了圓形、方形井蓋，還有其他形狀的井蓋，不同的場景需要不同形狀的井蓋，具體問題要具體分析。

在信息交流、整合的過程中，學(xué)生能舉一反三，既提高了自身的概括能力，又培養(yǎng)了自身的反思意識，在探索中實現(xiàn)知識的再認(rèn)知，同時也讓學(xué)生更深刻地感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實際上就是不斷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程。面向深度學(xué)習(xí)，教師應(yīng)正視學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與能力，在此基礎(chǔ)上提供學(xué)習(xí)支架，通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有經(jīng)驗的不足，然后積極學(xué)習(xí)新知識，向數(shù)學(xué)更深處漫溯。