求含有根式的函數(shù)值域的幾個“妙招”

徐影

含有根式的函數(shù)式通常較為復(fù)雜.求含有根式的函數(shù)的值域，往往要先確保根式有意義，據(jù)此求得函數(shù)的定義域；然后根據(jù)根式的特征及其關(guān)系，選用合適的方法進(jìn)行求解.下面結(jié)合實(shí)例，介紹一下求解含有根式的函數(shù)值域的幾個“妙招”.

一、利用函數(shù)性質(zhì)

若函數(shù)式中只含有一個根式，往往可以直接判斷出根號下式子的單調(diào)性，并將根式看作冪函數(shù) y = x ，利用判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法——同增異減，來判斷出函數(shù)式的單調(diào)性，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù) y =的值域.

解：因?yàn)閏os x ∈[-1， 1]，4- cos x ≥3，

而 y = cos x 在[0，2kπ+π]上單調(diào)遞減，

在[2kπ+π，2kπ+2π]上單調(diào)遞增，

且 y =在[0，+∞]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù) y =在 R上單調(diào)遞增，

可得≤≤，

所以函數(shù)的值域?yàn)閇，].

該函數(shù)式由余弦函數(shù) y =4- cos x 與冪函數(shù) y = x 復(fù)合而成.因此需在確定函數(shù)的定義域后，分別討論兩個函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù) y =的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域.

若函數(shù)式中含有兩個根式，形如 y =-，其中 a 、b 、c 、d 均為常數(shù)，則需先將函數(shù)式平方，以減少函數(shù)式中根式的個數(shù)，或者去掉根號，把函數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個根式或不含有根式的式子；再討論函數(shù)的單調(diào)性，即可利用函數(shù)性質(zhì)法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

例2.求函數(shù) y =+的值域.

解：

將函數(shù)式平方后，可將函數(shù)式化為只含有一個根式的式子：10+2 .然后將根號下的二次式配方，即可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和 y =的單調(diào)性，求得 y =+的值域.

例3.函數(shù) f（x）=+5的值域?yàn)開______.

解：

我們很難根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性，于是先分別討論分子、分母在定義域內(nèi)的單調(diào)性；再根據(jù)“增+增→增”來判斷出函數(shù)的單調(diào)性；然后利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

二、換元

換元法是求解含有根式的函數(shù)值域問題的重要方法.運(yùn)用換元法求含有根式的函數(shù)的值域，需選取合適的式子進(jìn)行換元，通?？蓪⒏交蚋栂碌氖阶佑眯略鎿Q，這樣便能去掉根號，簡化函數(shù)式，從而將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)最值問題來求解.需要注意的是，在換元的過程中，要確保新元、舊元的取值范圍是等價的.

例4.求函數(shù) y =-的值域.

解：

例5

解：

該函數(shù)中只含有一個根式，可直接令 18 - 3x = t， t ≥ 0 ，即可用t替換x，去掉根號，將含有根式的函數(shù)值 域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題.再利用二次函數(shù)的 圖象和單調(diào)性進(jìn)行求解，便能求得問題的答案.

例6

解：

例7

解：

該函數(shù)式中含有兩個根式，可根據(jù)其隱含關(guān)系式3（）2+（）2=9，分別將兩個根式換元，令= cos θ ， =3 sin θ ， 再將其代入目標(biāo)函數(shù)式中，得 y =2 sin（θ+）.這樣就可以根據(jù)θ的范圍以及正弦函數(shù)的有界性快速求得函數(shù)的值域.

對于形如 y =+（a 、b 、c 、d ∈ R）的函數(shù)式，往往可以根據(jù)隱含的關(guān)系式進(jìn)行三角換元，這樣便可通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來求解.

三、構(gòu)造向量

對于形如 y = m + n 的函數(shù)，通?？蓪⒑瘮?shù)式視為=（m，n）和向量=（，）的數(shù)量積，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求得函數(shù)的值域.

例8.

解

我們根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征以及向量的數(shù)量積，構(gòu)造出向量=（3，4）和向量=（，），便可將函數(shù)式化為向量關(guān)系式，利用向量之間的關(guān)系：?≤|||| ，尋找到取得最值的情形：與同向，即可解題.

可見，求含有根式的函數(shù)值域的方法很多，且每種方法的適用情形均不相同.在解題時，同學(xué)們不僅要仔細(xì)研究函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)根式之間的隱含關(guān)系；還要靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、換元法、構(gòu)造向量法，這樣才能快速求得函數(shù)的值域.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）