模型意識(shí)在求解三角形最值（范圍）問(wèn)題中的應(yīng)用

林厚棟

摘 要：以三角形為載體的最值（或范圍）問(wèn)題，其形式多樣、靈活多變、思維量大、知識(shí)交匯點(diǎn)豐富，一直是歷年高考與各地模擬考的熱點(diǎn)考查對(duì)象之一，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力既有較高的要求，又有較強(qiáng)的選拔功能.

關(guān)鍵詞：解三角形；最值；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）34-0059-03

解三角形中的最值（范圍）問(wèn)題往往與平面解析幾何、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、基本不等式等相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)中“在知識(shí)的交匯處命題”的指導(dǎo)思想.此類問(wèn)題較全面地考查學(xué)生的識(shí)別模型的能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運(yùn)算求解能力等.破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要基于問(wèn)題情境，依托圖形特征或目標(biāo)問(wèn)題導(dǎo)向，樹(shù)立模型意識(shí)，并以模型為導(dǎo)向，結(jié)合正余弦定理實(shí)施合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建出具體的模型實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

1 策略剖析

解三角形本質(zhì)上是在三角形內(nèi)蘊(yùn)方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊）的基礎(chǔ)上，把試題設(shè)定的條件（方程）與內(nèi)蘊(yùn)方程建立起聯(lián)系，從而得到三角形的全部或者部分度量關(guān)系.而度量關(guān)系的形成，就需要對(duì)已知條件進(jìn)行深度加工或?qū)D形中隱藏的內(nèi)蘊(yùn)特征進(jìn)行挖掘，把情境問(wèn)題模型化，以利于順利求解問(wèn)題.

解三角形中有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題常見(jiàn)的解題路徑是： 直觀感知（直觀數(shù)式和直觀幾何圖形特征）、識(shí)別模式（建立已知和未知之間的聯(lián)系）、引入變量（邊或角）、建立模型、問(wèn)題求解.

解三角形中的最值（范圍）問(wèn)題，最根本的落腳點(diǎn)是樹(shù)立模型化思想，模型化思想的內(nèi)涵包含函數(shù)模型的建立或者隱形的軌跡方程模型的確認(rèn)，軌跡模型常有圓、橢圓、雙曲線等.在運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程模型中，首先要通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)三角形的邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)以及圖形的直觀意識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，直觀感知其軌跡方程中的圖形特征，借助化歸轉(zhuǎn)化等思想快速地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

評(píng)注 例3涉及的最值問(wèn)題求解是基于構(gòu)建以角為變量的函數(shù)模型，依托二倍角公式，并結(jié)合正弦定理的轉(zhuǎn)化，巧妙而簡(jiǎn)明地利用基本不等式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題，回歸解三角形本質(zhì)，使問(wèn)題的求解變得自然順暢.

例4問(wèn)題中呈現(xiàn)的三角形給出了一條邊上一個(gè)三等分點(diǎn)到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度和一個(gè)特殊角，但這些條件是無(wú)法確定原三角形的大小和形狀的.因此就要求在理解三角形變化的過(guò)程中，依托已知條件CD=2BD，并結(jié)合問(wèn)題目標(biāo)，選取邊BD作為基本變量，以兩個(gè)三角形為載體，運(yùn)用余弦定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題.

正如波利亞在《怎樣解題》中所提到的：沒(méi)有任何一道題是徹底完成了的，總會(huì)有些事情可以做［1］.只有將立足模型與立意思想兩者交相融合，才能使問(wèn)題的解決和素養(yǎng)的發(fā)展齊頭并進(jìn)，才能將數(shù)學(xué)問(wèn)題解答得更加“揮灑自如、甄于完美”，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)理解得更加透徹，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟得更加深刻，學(xué)生的思維品質(zhì)亦能得到更好的發(fā)展，基礎(chǔ)知識(shí)得以進(jìn)一步夯實(shí)，關(guān)鍵能力從中也得到顯著提高，最終促使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?020.

［責(zé)任編輯：李 璟］