復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的改革與設(shè)計實(shí)踐

岳紅云

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南 鄭州 450001）

1 問題的提出

2018 年，習(xí)近平總書記在全國教育大會上強(qiáng)調(diào)[1]，堅持立德樹人，推進(jìn)教育改革，教育現(xiàn)代化加速推進(jìn)，教育引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)綜合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實(shí)踐能力，課程是重要的根基和載體，發(fā)揮融合課堂的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主動性，著力打造一流課程，是提高學(xué)生綜合能力的重要方法。要堅持扎根中國大地辦教育，要求扎根中國、融通中外、立足時代、面向未來，發(fā)展具有中國特色、世界水平的現(xiàn)代教育。

復(fù)變函數(shù)與積分變換作為大學(xué)公共數(shù)學(xué)的重要課程之一，具有承上啟下的關(guān)鍵作用。它是電氣、自動化等工科相關(guān)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，復(fù)變函數(shù)的研究方法和獨(dú)特性質(zhì)，是解決信號處理問題和自動控制問題等的重要又方便的數(shù)學(xué)工具，亦是培養(yǎng)學(xué)生工程數(shù)學(xué)思維能力的重要手段。當(dāng)前，新工科建設(shè)正在進(jìn)入新階段，對公共數(shù)學(xué)課程解決復(fù)雜工程問題能力的支撐作用提出了新要求。

在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師講授時間過長，教學(xué)內(nèi)容、方法、評價方式單一，學(xué)生沒有參與感和獲得感，并且傳統(tǒng)教學(xué)只是利用課堂教學(xué)，無法幫助學(xué)生消化與吸收、提供個性化指導(dǎo)的單一、單向授課模式，無法引起學(xué)生持續(xù)的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性缺乏，更無法適應(yīng)現(xiàn)代人才培養(yǎng)的需求。如何設(shè)計課程成了課程教學(xué)改革的當(dāng)務(wù)之急。

2 問題的解決方法

堅持“以學(xué)生發(fā)展為中心”的理念，以學(xué)生認(rèn)知和行為的改變?yōu)槟繕?biāo)，通過研究性教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生在解決問題和實(shí)踐中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)體驗(yàn)感。在信息化教學(xué)環(huán)境下，開發(fā)、整合網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)資源，實(shí)施混合式教學(xué)模式，做好網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與線下教學(xué)的合理銜接，將信息技術(shù)與課程深度融合。提高學(xué)生整合、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的高階思維能力和工程數(shù)學(xué)思維方式，激發(fā)創(chuàng)新潛能。具體實(shí)施情況如下：

第一，對教學(xué)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。對照學(xué)生專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)要求，與先修和后續(xù)課程聯(lián)系起來，設(shè)計“三維目標(biāo)”及達(dá)成度，并落實(shí)到教學(xué)全過程。打通學(xué)生所學(xué)、所用數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識與專業(yè)課程的聯(lián)系，比如復(fù)變函數(shù)[2]與實(shí)變函數(shù)的微積分的聯(lián)系，解析函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)理論之間的關(guān)系，兩類積分變換之間的關(guān)系，積分變換[3]與信號處理、自動控制之間的關(guān)系等低階與高階知識目標(biāo)；由此培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、工程數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新思維等多維高階能力；并將和諧、完美、獨(dú)特等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)故事根植于課程之中，設(shè)置思政目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和科學(xué)探索精神，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。增強(qiáng)愛國主義理想信念教育，切實(shí)提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)真正的教書育人。

第二，實(shí)施混合式教學(xué)模式。確定課程體系的線上線下教學(xué)資源與教學(xué)活動的優(yōu)化配置與安排方式：制作短視頻、預(yù)習(xí)課件、課前測試題、討論思考題、測驗(yàn)題等。課中依據(jù)線上預(yù)習(xí)效果，依據(jù)5E教學(xué)法，對每個教學(xué)單元的教學(xué)任務(wù)進(jìn)行設(shè)計，完成知識的吸收內(nèi)化，進(jìn)而培養(yǎng)多種能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。實(shí)現(xiàn)講練結(jié)合、互相協(xié)作的研究實(shí)踐型深度學(xué)習(xí)模式，實(shí)現(xiàn)學(xué)生個性化學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、自主預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)的綜合輔導(dǎo)學(xué)習(xí)工具，提升學(xué)生思維能力、自主學(xué)習(xí)和應(yīng)用創(chuàng)新能力。改變課程教學(xué)僅僅依靠課堂教學(xué)的不足，彌補(bǔ)課程教學(xué)時間的限制，并實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控、深化協(xié)同育人效果、立德樹人。

第三，重組融合教學(xué)內(nèi)容，融合多種教學(xué)方法[4]。根據(jù)課程特點(diǎn)和目標(biāo)要求，對課程內(nèi)容進(jìn)行分類重組，運(yùn)用啟發(fā)式、類比、討論、探究法，借助在線視頻、閱讀資料、翻轉(zhuǎn)課堂等手段，將知識遷移、重構(gòu)教學(xué)，建構(gòu)新知識與已有知識間的關(guān)聯(lián)性，實(shí)現(xiàn)課程為后續(xù)專業(yè)課程及學(xué)生發(fā)展服務(wù)的目的。在教學(xué)活動中，不僅注重每章知識的新課導(dǎo)入和習(xí)題課的復(fù)習(xí)鞏固，還要合理設(shè)計學(xué)生的學(xué)習(xí)活動和反饋，提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率，抓好課堂主陣地的育人效果，并為網(wǎng)絡(luò)自學(xué)提供豐富且貼合教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的教學(xué)內(nèi)容和方法。通過設(shè)置課程總結(jié)與應(yīng)用的綜合作業(yè)，提高學(xué)生的工程思維能力，完成知識的吸收內(nèi)化與升華。通過課程內(nèi)容，體會合作學(xué)習(xí)、轉(zhuǎn)換思路看問題的重要性，并將課程內(nèi)容的討論深入到德育方面，達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

①在教學(xué)內(nèi)容上，依據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)實(shí)踐，根據(jù)畢業(yè)要求和課程特點(diǎn)，按照高等數(shù)學(xué)的幾大內(nèi)容和復(fù)變函數(shù)的特色內(nèi)容進(jìn)行劃分，將教學(xué)內(nèi)容模塊化，進(jìn)行不同方式的學(xué)習(xí)。分為三大模塊，復(fù)變函數(shù)的微積分、級數(shù)模塊，解析函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)（積分公式、洛朗級數(shù)、留數(shù)）模塊，積分變換模塊。通過模塊化教學(xué)，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)內(nèi)容時，注意與高等數(shù)學(xué)類比，通過實(shí)與復(fù)的對比，既容易理解了復(fù)數(shù)域出現(xiàn)的相關(guān)問題和結(jié)論，又對實(shí)數(shù)域上的高等數(shù)學(xué)進(jìn)行回味和補(bǔ)充。學(xué)生既對新知識的學(xué)習(xí)打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)解析函數(shù)做好鋪墊，能更好地理解解析函數(shù)的特點(diǎn)，解析函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)和應(yīng)用，又能將解析函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)等不同于實(shí)函數(shù)的內(nèi)容，理解得更深入。最后，在整體把握了解析函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)域上的積分變換方法時，應(yīng)充分調(diào)研相關(guān)專業(yè)要求，重點(diǎn)介紹工程中常用函數(shù)的積分變換，并可結(jié)合相關(guān)專業(yè)應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)[5]，比如通過傳遞函數(shù)的探討將積分變換方法與留數(shù)理論等復(fù)變函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)結(jié)合起來。學(xué)習(xí)時要注意轉(zhuǎn)變學(xué)生的觀念和復(fù)變函數(shù)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提高復(fù)數(shù)域解決問題的能力，為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

②在教學(xué)方法和手段上，根據(jù)課程特點(diǎn)，對課程內(nèi)容的兩大部分：復(fù)變函數(shù)部分與積分變換部分，運(yùn)用不同的教學(xué)方法。利用類比、對比的教學(xué)方法學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)部分，采用關(guān)聯(lián)遷移的方法，學(xué)習(xí)積分變換，將復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)遷移應(yīng)用到研究積分變換中去，達(dá)到利用數(shù)學(xué)解決問題的畢業(yè)要求。當(dāng)出現(xiàn)和高等數(shù)學(xué)內(nèi)容平行的時候，用類比的學(xué)習(xí)方法，把內(nèi)容進(jìn)行整合打包，作為一個整體學(xué)習(xí)：從復(fù)數(shù)域類比到實(shí)數(shù)域，再回到復(fù)數(shù)域的方法。對于高等數(shù)學(xué)中沒有的內(nèi)容，用對比的學(xué)習(xí)方法區(qū)分，以此凸顯復(fù)變函數(shù)的特色，并通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，會利用這些特性解決實(shí)變函數(shù)問題，讓學(xué)生更能理解學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的重要意義。在學(xué)習(xí)時通過討論與教師引導(dǎo)法，體會復(fù)變函數(shù)的和諧理論和完美性，從而對數(shù)學(xué)之美有更深入的認(rèn)識，增加課程吸引力和學(xué)習(xí)興趣。在完成一個階段的學(xué)習(xí)后，利用總結(jié)歸納法、思考討論法，引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)和回顧，比如總結(jié)復(fù)數(shù)域的微積分學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？總結(jié)微積分公式。通過歸納練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論復(fù)數(shù)域上的微積分有哪些應(yīng)用、解析函數(shù)的獨(dú)特性及其應(yīng)用等，可讓學(xué)生查閱資料，教師拓展延伸，體會解析函數(shù)的特性及應(yīng)用。同時，深刻理解洛朗級數(shù)、留數(shù)理論在自動控制中的應(yīng)用，完成知識的重現(xiàn)與吸收內(nèi)化，進(jìn)而升華對課程內(nèi)涵的理解與把握，讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識復(fù)變函數(shù)理論的巨大貢獻(xiàn)。并且通過總結(jié)與討論，利用關(guān)聯(lián)法將復(fù)變函數(shù)理論中的解析函數(shù)的積分理論、留數(shù)與積分變換思想方法聯(lián)系起來，利用留數(shù)等復(fù)變函數(shù)方法研究函數(shù)的變換和變換后的函數(shù)。進(jìn)而利用復(fù)變函數(shù)的理論方法研究解決自動控制、電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性等問題。通過尋找事物之間存在的普遍聯(lián)系性，完成內(nèi)容的過渡，為積分變換的學(xué)習(xí)鋪平道路。

③在課堂教學(xué)中，通過“問題串”的形式、方法，營造課堂熱烈氛圍，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從沉默課堂向?qū)υ捳n堂轉(zhuǎn)變。根據(jù)課程目標(biāo)和畢業(yè)要求，將教學(xué)內(nèi)容化分成有連接與遞進(jìn)關(guān)系的教學(xué)單元。根據(jù)每部分內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計教學(xué)導(dǎo)入案例，并將所學(xué)內(nèi)容與已有知識基礎(chǔ)、最近學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，將線上與線下課堂有機(jī)融合。開展以問題為導(dǎo)向的探究式、研究型學(xué)習(xí)，通過師生問答、課堂（分組）討論等方式，借助5E 教學(xué)法，進(jìn)行答問解惑的融合式教學(xué)方法。將教學(xué)過程從課前到課中，并延伸到課后，形成有機(jī)的閉環(huán)效應(yīng)，提高課堂利用效率和教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理和分析解決問題的高階思維能力，進(jìn)而達(dá)到創(chuàng)新創(chuàng)造的目的。

第四，不斷優(yōu)化的混合式多元化考核評價體系。對照三維教學(xué)目標(biāo)，將過程性評價貫穿到教學(xué)全過程，體現(xiàn)各個目標(biāo)的達(dá)成。對學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)行為與課下學(xué)習(xí)活動，開展自評與互評、自評與師評相結(jié)合的混合式評價方式，并進(jìn)行反饋與改進(jìn)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，合理分配平時成績的組成成分及權(quán)重，通過課堂提問、課堂練習(xí)、主題討論的質(zhì)量評價，檢驗(yàn)與改進(jìn)教學(xué)效果；通過必做與選做作業(yè)、課程綜合作業(yè)的多方評價與反饋，檢驗(yàn)與改進(jìn)學(xué)習(xí)效果；通過課堂出勤率、課堂活躍度、回答問題的積極性等，評價反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和責(zé)任、學(xué)習(xí)態(tài)度和道德修養(yǎng)；并將平時成績和期末成績相混合，給予學(xué)生全面合理、有理有據(jù)的綜合評價，注重學(xué)生的成長發(fā)展，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

第五，注重課程的思想引領(lǐng)作用。通過數(shù)學(xué)定義定理、思想方法、歷史故事等挖掘思政切入點(diǎn)，將課程內(nèi)容的討論，深入到學(xué)生德育方面，將學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)興趣和責(zé)任納入考核評價體系。通過課程中復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)理論與積分變換方法的類比和對比，體會它們之間相輔相成的依賴關(guān)系，理解合作學(xué)習(xí)、交互學(xué)習(xí)的重要性；通過積分變換的數(shù)學(xué)思想與方法、一題多解的討論，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路、角度看問題的重要性等，突出課程數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、講解, 形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識和創(chuàng)新的思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)課程信心。

第六，融合多種方法。利用賽教融合提高教學(xué)研究能力。通過創(chuàng)新的意識和能力，將教學(xué)過程、資源、能力進(jìn)行有機(jī)融合，提高教學(xué)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量。向?qū)W生拓展某些知識點(diǎn)的發(fā)展前沿，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的理解、應(yīng)用能力。此外，課外作業(yè)多布置綜合性問題，讓學(xué)生通過探索問題，引導(dǎo)自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。再者，轉(zhuǎn)變教師職能，將教學(xué)重心放在對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)問題、及時反饋上，使每一個學(xué)生都能得到合適的發(fā)展，為以后的職業(yè)發(fā)展和持續(xù)學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)。最后，課堂不是教學(xué)活動的結(jié)束，課外教師應(yīng)關(guān)心關(guān)愛學(xué)生，熱心幫助學(xué)生不斷進(jìn)步，使學(xué)生獲得有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

3 總結(jié)與展望

總之，為了讓復(fù)變函數(shù)與積分變換課程更好地服務(wù)于后續(xù)專業(yè)課與終身學(xué)習(xí)，教學(xué)需要創(chuàng)新，尤其要重視創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。只有教師擁有激情與魅力，學(xué)生才會參與并積極探索，才能在教育過程中，相互交流、相互啟發(fā)，共同成長。