微積分課程線上教學(xué)探究

翟冬陽

（三亞學(xué)院理工學(xué)院 海南 三亞 572022）

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分與積分及其相關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科，其發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域，它與大部分科學(xué)分支關(guān)系密切。目前大多數(shù)綜合性大學(xué)、工科院校設(shè)立的經(jīng)濟、管理學(xué)科各專業(yè)都開設(shè)了微積分課程[1]。微積分課程作為一門重要的公共基礎(chǔ)課程，既是將來專業(yè)學(xué)習(xí)的工具，又對學(xué)生的全面發(fā)展具有重要價值。但微積分課程具有難度大，內(nèi)容枯燥，理論過于抽象等特點，學(xué)生的實際學(xué)習(xí)效果并不理想。

雨課堂是由清華大學(xué)與學(xué)堂在線共同研發(fā)的教學(xué)平臺，基于微信公眾號、小程序，包括了實時視頻直播、隨機點名、彈幕、作業(yè)測試發(fā)布、紅包激勵等功能[2-3]。雨課堂在課前預(yù)習(xí)、課中隨機點名和答題、課后作業(yè)與測試上游刃有余，同時利用后臺數(shù)據(jù)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)時長。不足的是不能與學(xué)生實現(xiàn)實時語音互動，學(xué)生只能通過彈幕與投稿實現(xiàn)師生交流，同時雨課堂在直播授課的過程中還會出現(xiàn)卡頓現(xiàn)象。騰訊會議是騰訊云旗下的一款音視頻會議軟件，該軟件具有共享屏幕、共享在線文檔協(xié)作等功能，特別適合直播授課，但是缺少隨機點名等教學(xué)功能。MOOC（Massive Open Online Course，音譯為慕課）是近年來伴隨著計算機應(yīng)用技術(shù)而興起的一種新型的網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)模式。MOOC 對于教學(xué)環(huán)境約束較小，不受人數(shù)、時間、地點以及課時數(shù)的影響，能極大彌補傳統(tǒng)課堂授課的缺陷和不足，充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的開放性與交互性，使更廣泛的學(xué)生受益。

目前，國內(nèi)有中國大學(xué)慕課、學(xué)堂在線、智慧樹等MOOC 平臺。國內(nèi)MOOC 平臺提供的大量微積分課程都是由一線高校研究開發(fā)的，適合各種層次的學(xué)生。微積分這門課程具有難度較大，內(nèi)容相對枯燥，理論過于抽象等特點，在一定程度上還是比較依賴傳統(tǒng)授課中粉筆+黑板的教師演算推導(dǎo)模式，這都對線上教學(xué)模式提出了很大挑戰(zhàn)。本文以第一類換元積分法為例展示了詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計方案，并且對比線上教學(xué)相對傳統(tǒng)教學(xué)的一些優(yōu)點與不足。

1 線上教學(xué)模式的實施

第一類換元積分法這節(jié)內(nèi)容主要包括兩部分：①不定積分的第一類換元積分法；②定積分的第一類換元積分法。第一類換元積分法也叫湊微分法。由于能用直接積分法計算的積分非常有限，所以第一類換元積分法也是計算積分的一種基本方法。

1.1 制訂教學(xué)方案

根據(jù)這一節(jié)的兩塊內(nèi)容，合理安排預(yù)習(xí)內(nèi)容，恰當(dāng)分配授課時間。熟練掌握第一類換元積分法在不定積分與定積分上的應(yīng)用是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。第一類換元積分法在不定積分上的應(yīng)用是本節(jié)課的難點，關(guān)于這部分內(nèi)容的講授我們分三塊實現(xiàn)：課前預(yù)習(xí)、課上精講、練習(xí)鞏固；第二部分的內(nèi)容是本堂課的重點，要求同學(xué)們理解“換元必?fù)Q限”，這部分內(nèi)容通過課上簡講，講練結(jié)合來實現(xiàn)。

1.2 課前預(yù)習(xí)

通過QQ群推送本次課選用的MOOC資源的鏈接，通過雨課堂發(fā)布本次課預(yù)習(xí)大綱的PPT 以及預(yù)習(xí)作業(yè)PPT。預(yù)習(xí)大綱由預(yù)習(xí)綱要與重難點構(gòu)成。預(yù)習(xí)作業(yè)不一定必須回避MOOC 視頻中的題目，它可以檢驗學(xué)生的視頻完成情況。在雨課堂的后臺，我們能看到每位同學(xué)的預(yù)習(xí)進展，包括是否開始預(yù)習(xí)以及預(yù)習(xí)所用時間，這些數(shù)據(jù)可以實現(xiàn)教師對于學(xué)生的實時監(jiān)督功能。當(dāng)然學(xué)生對于難度較大的幻燈片可以表達自己的“不懂”，以便教師發(fā)現(xiàn)問題，從而做到心里有數(shù)。預(yù)習(xí)內(nèi)容切勿覆蓋本節(jié)課的全部內(nèi)容，反復(fù)這樣會讓部分預(yù)習(xí)效果較好的學(xué)生對課堂講解失去興趣。比如本節(jié)課的預(yù)習(xí)內(nèi)容是針對不定積分中被積函數(shù)能分解為一個復(fù)合函數(shù)與這個復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積這種情形設(shè)計的。

1.3 課堂教學(xué)

關(guān)于不定積分的第一類換元積分法的講解，主要分三個層次：①被積函數(shù)能分解成一個復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積；②被積函數(shù)能分解成一個復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)乘積的常數(shù)倍；③湊微分。對于第一個層次的掌握，我們在預(yù)習(xí)測試?yán)镉邢嚓P(guān)作業(yè)。具體授課時分為例題講解、串題限時練習(xí)、專題練習(xí)三部分。第二部分通過三組串題限時練習(xí)（單個空的時間可由30 秒，再到25 秒，最后20 秒）鞏固掌握。這三組串題限時練習(xí)，是讓學(xué)生理解與熟悉當(dāng)被積函數(shù)能分解成一個復(fù)合函數(shù)與這個復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積時，如何用第一類換元積分法來求積分。

練習(xí)3 省去了換元與回帶的過程，讓學(xué)生明白第一類換元積分的重點所在。串題限時練習(xí)將一個主觀題分解成了若干客觀題，從而更具體地暴露出學(xué)生的理解誤區(qū)，方便教師針對講解。對于第二個層次的掌握，通過設(shè)陷練習(xí)，引出結(jié)論：若被積函數(shù)能分解成一個復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)乘積的常數(shù)倍時，也可用第一類換元積分法求解。設(shè)置練習(xí)，鞏固掌握。對于第三個層次的講授，通過增加練習(xí)題的題量與難度，從而體現(xiàn)湊微分的主動性。對于定積分的換元積分法，通過設(shè)置練習(xí)引出“換元必?fù)Q限”。

1.4 課后作業(yè)與輔導(dǎo)

我們通過線上作業(yè)和線下習(xí)題冊共同實現(xiàn)課后作業(yè)的布置。線上作業(yè)以客觀題為主，難度適中，覆蓋面廣。線上課后作業(yè)與預(yù)習(xí)作業(yè)一樣，不僅能夠設(shè)置學(xué)生的最晚提交時間以及公布答案的時間，同時還能給出具體的解析，方便學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)問題解決問題。線上作業(yè)能高效全面地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，橫向到每一位同學(xué)，縱向到每一個知識點。雨課堂可以通過具體的表格呈現(xiàn)，包括：每道題的答題率、正確率與平均分以及各個學(xué)生的得分情況。線下習(xí)題冊題量充足，層次分明，既有簡單的概念題，也有加星的選做題，能滿足不同同學(xué)的需求。當(dāng)然線上線下作業(yè)的編制內(nèi)容不要重復(fù)。線下作業(yè)的批改可以通過雨課堂拍照上傳。

1.5 考核

過程化考核通過考勤、預(yù)習(xí)測試、課堂作業(yè)、課后作業(yè)、階段測試體現(xiàn)，平時成績占40%。教師通過雨課堂發(fā)布預(yù)習(xí)作業(yè)、課堂作業(yè)、課后作業(yè)以及階段測試試卷等。學(xué)生的相關(guān)成績可以作為過程化考核的一個重要依據(jù)。教師在設(shè)置作業(yè)或者測試的分?jǐn)?shù)時，最好保持每次作業(yè)分?jǐn)?shù)一致，且為十的倍數(shù)，這樣方便后期科學(xué)地給出加權(quán)平均值。除了這些結(jié)果數(shù)據(jù)可作為過程化考核的參考，線上教學(xué)的諸多行為數(shù)據(jù)同樣是過程化考核的重要依據(jù)，包括：在預(yù)習(xí)方面，不管是學(xué)生觀看MOOC 視頻的時長，還是預(yù)習(xí)雨課堂課件的時長，平臺均有量化數(shù)據(jù)；在具體教學(xué)中，騰訊會議統(tǒng)計了學(xué)生的首次入會時間和最后離會時間以及累計入會時長。這些行為數(shù)據(jù)是線下教學(xué)很難得到的。

2 線上教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)劣對比

2.1 線上教學(xué)的優(yōu)點

①線上教學(xué)通過現(xiàn)代信息技術(shù)打破了教學(xué)的時間與空間限制。理論上只要設(shè)備與環(huán)境允許即可開展教學(xué)活動。同時教師的辦公也不受空間的限制，教師可以隨時隨地發(fā)布作業(yè)、批改作業(yè)等。

②線上教學(xué)數(shù)據(jù)系統(tǒng)、及時、全面，包括學(xué)生的結(jié)果數(shù)據(jù)和行為數(shù)據(jù)。學(xué)生的“遲到”“早退”情況一目了然，有助于教師和輔導(dǎo)員進行學(xué)風(fēng)建設(shè)。當(dāng)然這些數(shù)據(jù)也方便教師對學(xué)生進行過程化考核。

③線上教學(xué)的教學(xué)資源包括教案、預(yù)習(xí)作業(yè)、課后作業(yè)、階段測試以及學(xué)生掌握情況的量化體現(xiàn)等，這些在平臺上均有存檔。這樣不僅方便教師隨時隨地可查，同時教師可以根據(jù)往年的教學(xué)情況做出必要的調(diào)整。

④騰訊會議的彈幕功能讓平時性格內(nèi)向的學(xué)生敢于“舉手”、敢于“發(fā)言”，對于課堂互動與課堂氣氛都有很大的促進作用。

⑤騰訊會議的錄播功能，一鍵實現(xiàn)了教學(xué)活動視頻化。對于學(xué)生而言，方便了線下繼續(xù)鞏固學(xué)習(xí)，并且可以按自己的節(jié)奏隨時暫停思考和記筆記，這是線下一對多教學(xué)活動無法實現(xiàn)的。對于教師而言，可以全面了解自己的授課情況，包括自己是否有不合適的口頭禪，或者在教學(xué)節(jié)奏上是否恰當(dāng)?shù)?。?dāng)然騰訊會議暫時未能做到免費云錄播，未能實現(xiàn)學(xué)生隨時觀看教學(xué)視頻，這點雨課堂直播相對更合適。

⑥雨課堂的課堂作業(yè)功能能設(shè)置答題時間，提高學(xué)生上課的注意力。同時教師可以通過答題情況，全面且及時地了解同學(xué)的掌握情況，以便實時調(diào)整授課節(jié)奏，從而做到授課時間分配合理，對知識點的講解詳略得當(dāng)。

⑦雨課堂能上傳課件，并且可以永久存檔，學(xué)生可以隨時隨地查看。同時雨課堂針對課件設(shè)置的“不懂”功能，有助于部分不愿意主動與教師溝通的學(xué)生自然地表達自己，方便教師針對不同學(xué)生實施個性化講解。

⑧現(xiàn)有的MOOC 視頻資源，對于學(xué)生針對性的預(yù)習(xí)有極大幫助，配合MOOC 的習(xí)題，教師通過雨課堂制作發(fā)布對應(yīng)的預(yù)習(xí)測試，能很好地掌握同學(xué)們的預(yù)習(xí)情況，從而更好地分配教學(xué)時間。

2.2 線上教學(xué)的不足

①不管是借助MOOC 資源的課前預(yù)習(xí)，還是通過騰訊會議結(jié)合雨課堂的課上教學(xué)，以及通過雨課堂發(fā)布的課后作業(yè)，都有一個共性，那就是需要學(xué)生具有較高的自律性。雖然這些教學(xué)平臺的很多功能都是在督促學(xué)生按時按要求學(xué)習(xí)，但依舊只能起到促進作用。因此，每個家庭為學(xué)生創(chuàng)造一個優(yōu)良、健康的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓每一位學(xué)生在隔空管理的前提下提高自律性是必然的[4]。

②學(xué)生作業(yè)抄襲現(xiàn)象嚴(yán)重，期末測試非必須不建議線上完成。主要原因是為了方便系統(tǒng)自動批改，線上作業(yè)客觀題偏多；手機作為答題工具，同時也是通訊設(shè)備；階段測試雖然做了監(jiān)考安排，但學(xué)生答案嚴(yán)重雷同，線上監(jiān)考很難體現(xiàn)監(jiān)考老師的威懾力。

③線上教學(xué)很難營造出活躍的學(xué)習(xí)氛圍，不管是學(xué)生與學(xué)生還是學(xué)生與教師之間的互動相比線下都差很多。雖然騰訊會議也引入了小組討論等功能，但還是很難達到線下互動的效果。

3 后期計劃

在線上教學(xué)的過程中，騰訊會議雖然設(shè)計了非常多人性化的功能，但它更多是作為一個直播工具。MOOC 資源和雨課堂的很多功能對于線下教學(xué)有很好的促進作用?？蓢L試?yán)矛F(xiàn)有優(yōu)秀的MOOC 資源結(jié)合雨課堂實現(xiàn)線上線下結(jié)合的混合式教學(xué)模式，從而做到課前-課中-課后的三方聯(lián)動。同時，對于自律性強的學(xué)生，雨課堂能實現(xiàn)其與教師的高效互通，教師可以針對個別學(xué)生推送更多學(xué)習(xí)資源，比如：微積分板塊的歷年考研真題、matlab 在微積分中的應(yīng)用、微積分的發(fā)展史等，從而讓想學(xué)的學(xué)生有東西可學(xué)。