立足關(guān)鍵能力的“平方差公式”教學(xué)策略研究*

浙江省杭州市文海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (310018) 馬振華

1 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的認(rèn)識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下面簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)有指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力”．從核心素養(yǎng)的內(nèi)涵上看，關(guān)鍵能力顯然是核心素養(yǎng)的外顯,在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，并沒有對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具體敘述．從核心素養(yǎng)的描述上，其主要表現(xiàn)與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力密切相關(guān)，例如數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為“獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”．這種描述顯然是一個過程，既然是過程那就一定需要以知識為載體，以活動為支撐，根據(jù)活動的表現(xiàn)情況能展現(xiàn)出能力的強(qiáng)弱，其他5個核心素養(yǎng)亦是如此，所以6種核心素養(yǎng)其本質(zhì)中蘊(yùn)含6中關(guān)鍵能力．

2 緣起：公式教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的現(xiàn)狀

乘法公式是為了快速化簡具有特殊結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式相乘的形式，有許多數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在其出現(xiàn)及發(fā)展的過程中，這些數(shù)學(xué)思想方法有助于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)．特比是平方差公式作為公式學(xué)習(xí)的起始課，承載了乘法公式研究方法的指導(dǎo)、甚至是能力培養(yǎng)的重要使命．

在公式教學(xué)中，教師往往只重視公式的運(yùn)用，雖然說以例題和練習(xí)作為重點(diǎn)可以提高學(xué)生運(yùn)算能力，但這樣導(dǎo)致公式的研究較為片面，學(xué)生由于不清楚為何學(xué)而感到枯燥，無法認(rèn)識公式的意義，進(jìn)而導(dǎo)致這樣的“運(yùn)算能力”留有隱患．教學(xué)中具體存在問題如下：

2.1 缺乏知識結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)

平方差公式是多項(xiàng)式乘法的特殊情況，在教學(xué)中如何使學(xué)生認(rèn)識特殊之處，如果教學(xué)時僅僅使學(xué)生通過計(jì)算兩個特殊二項(xiàng)式相乘發(fā)現(xiàn)歸納，那么學(xué)生就無法整體認(rèn)識乘法公式與多項(xiàng)式乘法的關(guān)系，不利于后續(xù)完全平方公式等知識的自然生成．

2.2 缺乏邏輯的引導(dǎo)推理

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2其本質(zhì)是一個恒等式，對于恒等式的證明如何思考推理，從左往右、從右往左還是往中間化，這是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密思維的好材料，而不是僅僅就用整式的乘法法則化簡即可證明．公式的幾何驗(yàn)證不是僅僅直接ppt展示計(jì)算，而是可以引導(dǎo)學(xué)生類比整式乘法研究方法的一致性思考等式左右兩邊代數(shù)的幾何特征，利用問題導(dǎo)向使學(xué)生逐步建立二次代數(shù)式和面積的關(guān)聯(lián)．

2.3 缺乏公式運(yùn)用的程序化要求

平方差公式的運(yùn)用往往會形成這樣的情況，簡單的學(xué)生直接寫出結(jié)果，當(dāng)遇到字母表達(dá)時，學(xué)生往往無法解決，缺乏符號處理的能力和整體觀思考的經(jīng)驗(yàn)，在公式運(yùn)用時引導(dǎo)學(xué)生先判斷確定a、b，其次代入a2-b2，最后化簡，并運(yùn)用反例辨析加深學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征．

3 建構(gòu)：關(guān)鍵能力導(dǎo)向下的公式教學(xué)思路

平方差公式的教學(xué)思路以“設(shè)計(jì)課堂活動-滲透思想方法-助力能力培養(yǎng)”三個維度展開，如圖1三位維度對應(yīng)從外向內(nèi)的圓指向關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，以平方差公式教學(xué)為例，其中“外圈扇形”為課堂的核心活動，“中圈扇形”為學(xué)生感悟的思想方法，“內(nèi)部扇形”為培養(yǎng)的關(guān)鍵能力．

圖1

4 實(shí)施：指向關(guān)鍵能力培養(yǎng)的公式教學(xué)

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，從觀察和比較中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力

在公式教學(xué)中，學(xué)生能在具體的例子中觀察每個式子的特點(diǎn)，比較不同式子之間的異同，抽象出有共同特征，用符號和文字語言概括，從而體會到數(shù)學(xué)抽象的具體步驟和方法，積累經(jīng)驗(yàn)，逐步形成數(shù)學(xué)抽象能力．筆者在平方差公式中，設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)問題、觀察分析、歸納描述等環(huán)節(jié)幫助學(xué)生提出猜想．

問題1 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，你能來描述這個法則嗎？請與同桌說一說或?qū)懸粚懀?/p>

追問1：說一說我們是如何證明這個法則的？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生文字符號表述多項(xiàng)式乘法法則，分別回顧從數(shù)的角度分配律證明法則和從形的角度圖形面積驗(yàn)證法則．

教學(xué)說明：文字語言和符號語言是法則或者規(guī)律抽象的高度概括，一方面說和寫有利于學(xué)生深化對法則的認(rèn)識，有利于形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，另一方面為本節(jié)課從數(shù)和形兩個角度證明平方差公式提供思路．

問題2 你能用多項(xiàng)式乘法法則化簡下列算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

(1)(x+3)(y+4) ； (2)(a+3)(a-2)；

(3)(m+2)(m+2)； (4)(m+2)(m-2)；

師生活動：學(xué)生獨(dú)立化簡，分別讓3位學(xué)生板書．

追問1：上述問題中相乘的兩個多項(xiàng)式有什么共同點(diǎn)?

追問2：兩個2項(xiàng)多項(xiàng)式的積的結(jié)果出現(xiàn)了什么情況?

師生活動：關(guān)注相乘的兩個多項(xiàng)式和結(jié)果的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)，相同的是兩個多項(xiàng)式都是一次兩項(xiàng)式，結(jié)果次數(shù)是二次，但不同的是結(jié)果的項(xiàng)數(shù)有四項(xiàng)、三項(xiàng)、二項(xiàng)．

追問3：同樣是二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式，為什么它們的結(jié)果有四項(xiàng)、三項(xiàng)、二項(xiàng)的情況？

師生活動：這與相乘的二項(xiàng)式的項(xiàng)有關(guān)系導(dǎo)致化簡時出現(xiàn)合并同類項(xiàng)，從而引起項(xiàng)數(shù)減少．接下來我們將來研究兩個二項(xiàng)式相乘積的結(jié)果只有兩項(xiàng)、三項(xiàng)的特殊情況，使得運(yùn)算減少步驟變得更加簡便．今天我們先研究最特殊情況，即兩個二項(xiàng)式相乘積的結(jié)果只有兩項(xiàng)的情況，板書平方差公式．

教學(xué)說明：公式的產(chǎn)生其本質(zhì)為了簡便運(yùn)算，從數(shù)學(xué)內(nèi)部引入這樣的設(shè)計(jì)能使學(xué)生體會乘公式的研究目的，有利于學(xué)生建構(gòu)乘法公式的體系．在觀察算式左右兩邊時學(xué)生從多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)兩個方面的特征對結(jié)果進(jìn)行分類，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析的能力，讓問題自然發(fā)生，符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，讓學(xué)生初步感受公式的適用條件．

問題3觀察(4)(5)(6)，結(jié)果是兩項(xiàng)的式子，相乘的兩個多項(xiàng)式和它們的積中各項(xiàng)有何關(guān)系？

追問：你能將發(fā)現(xiàn)的關(guān)系用式子表達(dá)出來嗎?

師生活動：學(xué)生觀察并思考，發(fā)現(xiàn)相乘的兩個多項(xiàng)式的規(guī)律，用字母表示成(a+b)(a-b)=a2-b2．

一方面通過復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘法法則和證明方法，以計(jì)算的方式引入具有承上啟下的作用，算式中(1)為一般形式，(2)是十字相乘的形式，(3)是完全平方公式，(4)(5)(6)是平方差公式，是本節(jié)課主要研究對象，這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生初步感受乘法公式要研究的內(nèi)容，體會“一般”到“特殊”的關(guān)系，初步能觀察到公式的特征，為下一步概括公式提供幫助．另一方面通過關(guān)鍵問題的指引，使學(xué)生歸納出本節(jié)課研究的平方差公式.

4.2 探究活動，從歸納和驗(yàn)證中培養(yǎng)邏輯推理能力

在上述環(huán)節(jié)，學(xué)生從特殊到一般歸納出平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生認(rèn)識到了平方差公式是公式(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm中字母a，n，b，m有特殊關(guān)系時的“特例”，即當(dāng)a=b， n=-m時，平方差公式使用需要滿足一定條件，可以通過辨析對比分析使學(xué)生明確公式使用的結(jié)構(gòu)特征，防止學(xué)生盲目使用平方差公式．

提出猜想后證明猜想肯定需要推理，如何讓學(xué)生想到推理方法呢？通過課前的追問回顧：說一說我們是如何證明這個多項(xiàng)式乘法法則的？類比想到數(shù)的角度用分配律證明，即數(shù)式通性，而形的角度用面積嘗試證明．在用乘法公式證明過程中，運(yùn)用“左邊=右邊”的形式驗(yàn)證等式成立是一般的解決方法，注意不是僅僅是一個化簡的過程．此外，在問題6中具體數(shù)字的乘積計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，教師可以通過問題串“能直接使用平方差公式嗎？為什么？”“與(2+1)相乘要能使用平方差公式缺少什么？”“與(22+1)，(24+1)，(28+1)呢？”“我們可以補(bǔ)充什后么，達(dá)成使用平方差公式化簡？”引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)分析嘗試，最后得到添加(2-1)之后可以達(dá)到效果，此時教師可以繼續(xù)追問“添加后對算式的結(jié)果有影響嗎？為什么？”這些過程都有助學(xué)生形成嚴(yán)密的思考邏輯，促進(jìn)提高邏輯推理能力．

4.3 類比思考，從剪拼和構(gòu)造中培養(yǎng)直觀想象能力

直觀想象是建立數(shù)與形的聯(lián)系，在整式的乘法法則中已經(jīng)逐漸滲透數(shù)形結(jié)合思想，用圖形面積驗(yàn)證法則成立．同樣在平方差公式亦是如此，但平方差公式的左邊代數(shù)式(a+b)(a-b)中構(gòu)造邊長為a-b的長方形對于七年級學(xué)生較難想到，可以從公式的右邊a2-b2啟發(fā)，形成兩個正方形的面積差圖形，進(jìn)而利用剪拼活動解決圖形驗(yàn)證公式，紙片的剪拼，增加學(xué)生的動手能力，直觀可操作，減少學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)．

問題4 我們知道整式的乘法可以用圖形面積來驗(yàn)證，平方差公式是否可以用圖形來驗(yàn)證呢？

追問1：在整式的乘法中，我們由代數(shù)式的幾何特征解決問題，例如ab聯(lián)想到長寬為a、b的長方形面積，進(jìn)而利用幾何面積法證明．那么平方差公式你可以想到什么？你更容易想到哪邊代數(shù)式的幾何特征？

師生活動：前提是a>b>0，從a2-b2出發(fā)，先構(gòu)造出邊長為a的正方形，然后挖去邊長為b的正方形，教師發(fā)下紙片，如圖2．

圖2 紙片

追問2：請利用手中的紙進(jìn)行剪拼，你用另外的一種方法表示紙片的面積，證明平方差公式？

師生活動：學(xué)生在老師事先準(zhǔn)備好的紙片進(jìn)行剪拼，獨(dú)立思考解決，然后小組交流，教師巡視指導(dǎo)，為展示作準(zhǔn)備，常見拼圖解決的方法有如圖3的三種情況，從而驗(yàn)證a2-b2=(a+b)(a-b)．

圖3

教學(xué)說明：通過探究活動，滲透二次代數(shù)式和面積的關(guān)系，在手腦并用的同時可以讓學(xué)生學(xué)到許多知識，利用拼圖詮釋乘法公式，有利于學(xué)生對于乘法公式的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)形有機(jī)結(jié)合，同時也為平方差公式賦予幾何的直觀解釋．

初中的代數(shù)恒等式一般能用幾何面積來表示，幾何圖形的面積用不同方法算兩次表示時就可以得到了一個等式．由圖形與等式的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生認(rèn)識數(shù)與形的聯(lián)系，使形成一定的思維習(xí)慣，從而更好地培養(yǎng)了直觀想象能力．

4.4 辨析鞏固，從運(yùn)用與分析中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重中之重．通過一系列習(xí)題的練習(xí)，使學(xué)生總結(jié)平方差公式運(yùn)用的基本步驟和注意事項(xiàng)，進(jìn)而掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生養(yǎng)成一絲不茍的運(yùn)算態(tài)度，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

問題5下列表中多項(xiàng)式相乘哪些能用平方差公式化簡？如果能，指出多項(xiàng)式中哪些數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a，b，并將其表示成a2-b2的形式，并化簡得出結(jié)果．

多項(xiàng)式相乘能否用平方差公式a表示什么b表示什么寫出a2-b2化簡得出結(jié)果(x+1)(1-x)(a+2b)(2b-a)(-a+2b)(a-2b)(-a+2b)(-a-2b)(2b-a)(-a+2b)(x2-y)(x+y2)

追問1：如何判斷能夠用平方差公式進(jìn)行化簡？

追問2：運(yùn)用平方差公式化簡的步驟是怎樣的？

師生活動：學(xué)生回答問題，并相互補(bǔ)充．可以總結(jié)出以下經(jīng)驗(yàn)(1)在運(yùn)用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特征：有符號相同的項(xiàng)和符號相反的項(xiàng)；(2)符號相同項(xiàng)為a，符號相反的項(xiàng)為b；(3)切勿忘記公式右邊的平方，還要化簡．

教學(xué)說明：鞏固平方差公式的特征，知道哪一個數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a和b，然后依照公式，寫出平方差，最后化簡，利用表格形式能使學(xué)生明確使用平方差公式的步驟．

練一練運(yùn)用平方差公式填空

(1)(a-4)( )=16-a2;

(2)(2x+y-5)(2x-y+5)=( )2-( )2.

師生活動：鼓勵學(xué)生先獨(dú)立思考，再相互交流，學(xué)生展示，并相互補(bǔ)充．進(jìn)一步理解如何確定a、b：(1)一般地，符號相同項(xiàng)為a，符號相反的項(xiàng)為b；(2)公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式．

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a, b的意義．

問題6計(jì)算下列各式：

(1)97×103；(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)；(3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

教學(xué)說明：(1)(3)使學(xué)生平方差公式的構(gòu)造變形，實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用；(2)是混合運(yùn)算，體現(xiàn)出平方差公式在整式乘法中的簡便性．

應(yīng)用公式進(jìn)行化簡是學(xué)生再次獲取知識的時候，精選不同層次的能使不同層次的學(xué)生獲得發(fā)展，在化簡中關(guān)注學(xué)生的書寫過程，挑選出引領(lǐng)示范的學(xué)生解答過程進(jìn)行展示，然后反思總結(jié)出程序化的步驟，逐步落實(shí)鞏固公式的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.