一類(lèi)不定方程整數(shù)解問(wèn)題的求解策略

江蘇省徐州市第一中學(xué) (221004) 許 麗

1．基本問(wèn)題的求解模型

問(wèn)題n元一次不定方程x1+x2+…+xn=m(m≥n≥2)的正整數(shù)解(x1，x2，…，xn)的組數(shù)是多少？

競(jìng)賽對(duì)這一類(lèi)不定方程問(wèn)題情有獨(dú)鐘，?？汲Ｐ拢崂斫┠旮魇〉念A(yù)賽和全國(guó)聯(lián)賽中有關(guān)n元一次不定方程的考題，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題在方程形式和解的制約關(guān)系等方面不斷進(jìn)行變化，通過(guò)改變方程的形式、增加限制條件、包裝成別樣面目等，將這類(lèi)問(wèn)題演繹得絢麗多姿，精彩紛呈．

2．形態(tài)多樣的不定方程

例2 (2009湖北預(yù)賽)求不定方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=21的正整數(shù)解的組數(shù)．

例3 (2021福建預(yù)賽)設(shè)整數(shù)a，b，c滿(mǎn)足0≤a≤10，0≤b≤10，0≤c≤10，10≤a+b+c≤20，則滿(mǎn)足條件的有序數(shù)組(a，b，c)共有組．

解析：令a+1=x，b+1=y，c+1=z，則1≤x，y，z≤11，13≤x+y+z≤23．

例4 (2018上海預(yù)賽)求不定方程x+y+z+w=25滿(mǎn)足x

例5 (2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)方程x+y+z=2010滿(mǎn)足x≤y≤z的正整數(shù)解(x，y，z)的個(gè)數(shù)是．

3．千姿百態(tài)的廣泛應(yīng)用

例6 (2002全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A={a1，a2，…，a100}與B={b1，b2，…，b50}，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，則這樣的映射共有( ).

例7 (2012黑龍江預(yù)賽)將10個(gè)相同的小球裝入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子(每次要把十個(gè)球裝完)中，要求每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，則這樣的裝法種數(shù)為．

例8(2013遼寧預(yù)賽)將11個(gè)完全一樣的小球放入6個(gè)不相同的盒子中，使得至多有3個(gè)空盒子的方法種數(shù)為．

例9 (2011內(nèi)蒙古預(yù)賽)各位數(shù)字之和等于11的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為．

例10 (2020浙江預(yù)賽)已知由6個(gè)正整數(shù)組成的六位十進(jìn)制數(shù)中，其個(gè)位上的數(shù)字是4的倍數(shù)，十位和百位上的數(shù)字都是3的倍數(shù)，且六位數(shù)的數(shù)碼和為21，則滿(mǎn)足上述條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為．

解析：由題意知，該六位數(shù)后三位(百位、十位、個(gè)位)上的數(shù)字所有可能為：334，364，394，634，664，934，338，368，638．

例11 (2021上海預(yù)賽)在正整數(shù)1，2，…，20210418中，有多少個(gè)數(shù)的數(shù)碼和為8？

解析：設(shè)這樣的正整數(shù)為n．

例12 (2016河北預(yù)賽)如果從數(shù)1，2，3，…，14中按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使得同時(shí)滿(mǎn)足a2-a1≥3，a3-a2≥3，那么符合要求的不同取法數(shù)為．

例13 (2018湖北預(yù)賽)一枚骰子連續(xù)投擲4次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為．

例14 (2022重慶預(yù)賽)將一枚骰子連續(xù)投擲五次，則事件“五次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)既不全相同，也不兩兩互異，且從第二次起每一次的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次的點(diǎn)數(shù)”的概率為．