基于Timoshenko梁理論的槍口振動靈敏度分析及優(yōu)化

伍代強，徐 誠，楊宇召

(南京理工大學 機械工程學院， 南京 210094)

1 引言

射擊精度是槍械研制的重要指標，改善槍管振動特性，減小槍口振動一直是設(shè)計人員所關(guān)心的問題。槍械的固有頻率、射擊時槍口的振動是影響槍械射擊精度的重要因素，通過計算各參數(shù)的靈敏度值，就可以針對性地對影響較大的參數(shù)進行優(yōu)化，從而減小射擊時槍口對彈丸的擾動，提升射擊精度。

方宇等[1]基于Euler-Bernoulli梁理論，建立了一般性的移動質(zhì)量-懸臂梁耦合振動模型。龔云軒等[2]基于Timoshenko梁理論建立了階梯梁振動微分方程。劉寧等[3]將彈炮發(fā)射系統(tǒng)簡化為移動質(zhì)量下的軸向運動懸臂梁系統(tǒng)，并對其進行了求解。史躍東等[4]針對移動質(zhì)量載荷激勵下的身管振動問題，建立了彈丸膛內(nèi)運動下的身管橫向振動方程。過去的研究文獻中大多將彈炮系統(tǒng)簡化為移動質(zhì)量作用下的梁模型，彈槍系統(tǒng)類似于彈炮系統(tǒng)，利用梁理論簡化彈槍發(fā)射系統(tǒng)，建立彈槍耦合振動模型是可行的，但是將彈丸簡單地簡化為移動質(zhì)量，不能很好地模擬真實彈丸與身管的相互作用，本文在以往研究基礎(chǔ)上將彈丸隨膛線的旋轉(zhuǎn)、彈丸偏心質(zhì)量以及彈丸擠進過程等對身管振動的影響考慮進去，可以更好地模擬真實發(fā)射過程中槍管的振動。

目前文獻中針對火炮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度的研究相對比較成熟，但是很少有對彈槍發(fā)射系統(tǒng)參數(shù)進行定量分析的研究。曹巖楓等[5]進行了某自行火炮總體結(jié)構(gòu)參數(shù)對火炮射角的靈敏度分析研究。徐志遠等[6]對火炮系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化進行了研究，選取了8個對炮口擾動貢獻較大的參數(shù)，并用小生境遺傳算法進行優(yōu)化。郭錫福[7]進行了身管結(jié)構(gòu)參數(shù)對彈丸在炮口初速的靈敏度分析研究。劉恒沙等[8]建立了某車載火炮發(fā)射過程中參數(shù)化動力學模型，通過靈敏度分析得到28個參數(shù)的靈敏度。景銀萍等[9]從彈藥和武器的角度，分析影響輕武器射擊精度的諸主要因素，并針對諸主要因素提出相應(yīng)的改進建議，為提高武器系統(tǒng)精度研究提供了參考。借鑒諸多學者大量的研究，對彈槍發(fā)射過程進行參數(shù)識別以及關(guān)鍵參數(shù)的選取，進行靈敏度分析并對目標函數(shù)進行優(yōu)化研究，可以實現(xiàn)對槍械射擊過程中槍口振動的優(yōu)化。

本文基于Timoshenko梁理論建立發(fā)射過程中槍管振動模型，計算槍管的固有頻率以及槍管振動響應(yīng)，并進行參數(shù)靈敏度分析，找出對槍械動力學特性影響較大的參數(shù)，然后利用逐層優(yōu)化方法[10]進行優(yōu)化研究。

2 基于Timoshenko梁理論的槍管振動模型建立

槍管長度較短、壁厚較薄、受剪力影響較大，本文采用Timoshenko梁理論建立槍管振動模型，可以更好地考慮到槍管射擊過程中的彎剪振動，較于歐拉梁的計算結(jié)果更準確。由于槍管并不是等截面的圓管，為了使計算結(jié)果更加準確，采用連續(xù)傳遞矩陣法[11]將槍管簡化為多段階梯梁[12]，分段越多計算結(jié)果越準確。然后考慮彈丸慣性作用、彈丸自重、彈丸質(zhì)量偏心以及彈丸擠進過程對身管的作用，建立受迫振動方程，利用Newmark-法[13-14]計算可得到槍管的振動響應(yīng)。

2.1 槍管模型

對槍管模型作如下假設(shè)：① 槍管關(guān)于其中心軸線對稱，發(fā)射過程彈丸與槍管不發(fā)生碰撞；② 槍管所受的各種載荷均作用在身管中心軸的縱向平面內(nèi)；③ 彈體運動規(guī)律受制于內(nèi)彈道方程和彈體轉(zhuǎn)速方程。彈丸與線膛身管作用原理圖如圖1所示。

圖1 彈丸與線膛身管作用原理圖

由連續(xù)體振動理論，可以得到基于Timoshenko梁的自由振動方程為：

(1)

式(1)中：ρ為槍管的密度；A為橫截面積；G為剪切彈性模量；k為考慮截面上剪切應(yīng)變分布不均的修正系數(shù)；E為彈性模量；I為微元截面慣性矩；y為梁的橫向位移；φ為槍管彎曲引起的截面轉(zhuǎn)角。

設(shè)y(x,t)=y(x)sinωt，φ(x,t)=φ(x)sinωt，y(x)=C(expSx)，φ(x)=C(expSx)，其中ω是槍管的自由振動圓頻率。將y(x,t),φ(x,t)代入到式(1)中，解得：

(2)

式(2)中的系數(shù)為：

(3)

(4)

(5)

(6)

D1=-αB1；D2=αB2；D3=βB3；D4=βB4

(7)

(8)

(9)

由材料力學知識可知，彎曲與剪切和變形之間的關(guān)系為：

(10)

(11)

將式(2)代入式(10)、式(11)中，然后代入左端邊界條件，有：

(12)

即可得到B1—B4的表達式為：

(13)

令右端的邊界為：

(14)

聯(lián)立首尾兩端的邊界條件，可以得到基于Timoshenko梁的槍管橫向振動傳遞矩陣為：

(15)

將單個槍管段的傳遞矩陣連乘，即可得到多段槍管的傳遞矩陣為：

(16)

代入邊界條件即可求得槍管的固有頻率以及振型函數(shù)。

2.2 槍管振動響應(yīng)計算

考慮到彈丸在槍管內(nèi)運動時，彈丸質(zhì)量、彈丸旋轉(zhuǎn)時偏心質(zhì)量造成的擾動，以及彈丸與膛線之間的擠進壓力[15]，彈丸作用在槍管上的載荷為：

(17)

式(17)中：my為彈丸的質(zhì)量；e為彈丸質(zhì)量偏心距；f為彈丸擠進過程中，由于擠進時彈丸軸線與槍管軸線存在一定夾角，導致彈丸在線膛內(nèi)對槍管的橫向作用力，f的方向垂直于槍管軸線；ωd為彈丸角速度；v為彈丸的瞬時速度；s(t)為彈丸在截面軸向運動時的位移；δ(x-s(t))為狄拉克函數(shù)。

應(yīng)用模態(tài)疊加法求解Timoshenko梁的振動方程，取槍管第i階固有頻率，對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為yi和φi,將槍管的擾度y(x,t)和轉(zhuǎn)角φ(x,t)在模態(tài)空間中展開，有：

(18)

將式(18)代入式(17)，利用模態(tài)正交性，對整個槍管進行積分，可得：

(19)

式(19)中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為載荷向量。各系數(shù)矩陣表達式為：

(20)

式(20)中，Y(s)為彈丸位移為s時所處槍管段的振型函數(shù)。

對于這種時變系數(shù)微分方程組，采用直接積分方法如Newmark-β法，可求解得到Timoshenko梁模型下的廣義坐標q(t),從而可得到槍管任意截面隨時間變化的擾度、轉(zhuǎn)角、速度、角速度等信息。

以某5.8 mm步槍為研究對象，建立了有限元模型，對身管進行模態(tài)分析，為驗證本文模型固有頻率計算的正確性，設(shè)置與上述對象相同的參數(shù)，輸出前4階固有頻率值，與有限元模型計算值(FEM)進行對比，如表1所示，對比結(jié)果相對誤差在5%以內(nèi)，說明了本文模型固有頻率計算方法的正確性和可行性。

表1 前4階模態(tài)計算結(jié)果Table 1 Calculation results of the first 4 modes

根據(jù)某5.8 mm口徑步槍槍管參數(shù)以及彈丸參數(shù)建立槍管和彈丸模型，提取計算所需參數(shù)以及內(nèi)彈道數(shù)據(jù)(彈丸在膛內(nèi)運動的位移/時間數(shù)據(jù)、速度/時間數(shù)據(jù)、加速度/時間數(shù)據(jù)、角速度/時間數(shù)據(jù))，代入發(fā)射過程中槍管振動模型中進行計算，彈丸在膛內(nèi)運動計算流程如圖2所示。

圖2 計算流程圖

輸出槍口垂直方向振動響應(yīng)，如圖3所示，彈丸出膛瞬間槍口位移為0.077 5 mm，文獻[16]基于3D-DIC數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)得到了內(nèi)彈道時期槍管的動態(tài)響應(yīng)，實驗采集到的彈丸出膛瞬間槍口位移為0.08 mm，本文結(jié)果與之相差3.125%，由此驗證了本文建立的發(fā)射過程中槍管振動模型的正確性和有效性。

圖3 槍口垂直方向振動響應(yīng)

3 靈敏度計算及分析

靈敏度分析是一種度量和評價由設(shè)計變量或參數(shù)變化而引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性變化率的方法。槍管在射擊過程中振動響應(yīng)受到的影響因素十分復(fù)雜，通過對眾多的設(shè)計參數(shù)進行分析研究，利用靈敏度分析方法對槍管以及彈丸的部分參數(shù)進行分析，根據(jù)參數(shù)對目標函數(shù)的影響情況，可以確定對射擊穩(wěn)定性影響較大的設(shè)計參數(shù)，從而可以進一步對槍/彈的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。

以槍管固有頻率以及槍口振動位移為分析對象，用目標對象f(x)的一階均差大小來反映其靈敏度大小。對y=f(x)在區(qū)間[xi,xj]，函數(shù)f(x)在[xi,xj]的一階均差為：

(21)

選取槍管橫截面積、槍管材料密度、槍管彈性模量、坡膛錐角、彈丸質(zhì)量、彈丸質(zhì)量偏心、膛線纏角以及膛線深度的不同數(shù)值進行靈敏度分析，同時在求解時對參數(shù)進行無量綱化處理，各參數(shù)分別用P1,P2，…，P8表示各參數(shù)的初值及改變值如表2所示。

分別以基階固有頻率(ω1)、槍口垂直方向-位移(Y)、槍口垂直方向速度(V)為目標函數(shù)進行靈敏度分析，靈敏度結(jié)果如表3所示。

由表3可知，槍管橫截面積、彈性模量以及密度對槍管基階固有頻率的影響均較為顯著，在設(shè)計時應(yīng)盡量提高槍管的固有頻率，避免發(fā)生共振影響射擊穩(wěn)定性，故對基階固有頻率的敏感度分析有一定的借鑒作用。彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)雖然對槍口擾動有一定影響，但是槍管結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)對槍口擾動的影響遠大于彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，因此在設(shè)計時應(yīng)著重考慮對槍管結(jié)構(gòu)以及材料性能的優(yōu)化，同時彈丸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化也不可忽視。對槍管振動影響程度依次為槍管橫截面積、槍管密度、槍管彈性模量、膛線深度、膛線纏角、彈丸質(zhì)量、坡膛錐角和彈丸質(zhì)量偏心。

表3 靈敏度計算結(jié)果Table 3 Calculation results of sensitivity

4 槍管振動優(yōu)化研究

通過槍管以及彈丸參數(shù)對槍管振動的靈敏度分析，選取有重要影響的參數(shù)：① 槍管橫截面積；② 槍管密度；③ 槍管彈性模量；④ 膛線深度；⑤ 膛線纏角；⑥ 彈丸質(zhì)量。提高射擊穩(wěn)定性主要對以上6個參數(shù)進行優(yōu)化。以槍口豎直方向最大位移為目標函數(shù)，采用子空間逐層優(yōu)化的方法進行優(yōu)化研究。

子空間逐層優(yōu)化法就是把每個參數(shù)的優(yōu)化均構(gòu)成一個子空間，在第1子空間優(yōu)化時將其他參數(shù)值固定進行尋優(yōu)，取得優(yōu)化值后將優(yōu)化值代入第2子空間，在第2子空間僅對第2個參數(shù)進行優(yōu)化，依次對各子空間進行優(yōu)化后，最后獲得一組優(yōu)化參數(shù)使目標函數(shù)達到最優(yōu)。對上述選取的6個參數(shù)進行優(yōu)化，構(gòu)成6個優(yōu)化子空間，根據(jù)靈敏度降序的方式進行優(yōu)化研究，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表4 槍管振動優(yōu)化Table 4 Optimization of barrel vibration

將對目標函數(shù)優(yōu)化后得到的這一組參數(shù)代回模型中并重新計算，得到優(yōu)化后的槍口垂直方向位移值為0.073 1 mm，比初始值0.077 5 mm降低了5.8%，效果較為明顯，優(yōu)化后的曲線變化如圖4所示。優(yōu)化后的槍口垂直方向速度由412.68 mm/s 降低至386.97 mm/s，降低了6.23%，優(yōu)化后的曲線變?nèi)鐖D5所示。

圖4 槍口垂直方向位移優(yōu)化前后對比

圖5 槍口垂直方向速度優(yōu)化前后對比

5 結(jié)論

本文基于Timoshenko梁理論，建立了發(fā)射過程中槍管振動模型，模型考慮了彈丸慣性力、彈丸偏心質(zhì)量、彈丸擠進過程以及彈丸膛內(nèi)運動對槍管振動的影響，盡可能模擬真實射擊中存在的影響因素。較全面地對各參數(shù)進行了靈敏度分析，并選取了槍管橫截面積、槍管密度、槍管彈性模量、膛線深度、膛線纏角和彈丸質(zhì)量等6個關(guān)鍵參數(shù)，用子空間逐層優(yōu)化方法對槍口垂直方向擾動進行了優(yōu)化。得到結(jié)論如下：

1) 本文建立的發(fā)射過程中槍管振動模型，可以定量分析槍管以及彈丸各參數(shù)變化對槍管振動特性的影響，對評估、優(yōu)化槍械射擊過程中的槍口擾動有一定的參考作用。

2) 對槍管和彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)進行靈敏度分析，計算表明槍管橫截面積、槍管密度、槍管彈性模量、膛線深度、膛線纏角、彈丸質(zhì)量是對槍口振動影響較大的參數(shù)。

3) 對比優(yōu)化前后彈丸出膛時的槍口垂直方向位移值以及槍口垂直方向速度值，結(jié)果表明優(yōu)化后的槍口垂直方向位移值為0.073 1 mm，比初始值0.077 5 mm降低了5.8%，槍口速度值為386.97 mm/s，比初始值412.68 mm/s降低了6.23%，說明了本文所提方法的可行性。