也談數(shù)學(xué)學(xué)科育人的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象

［摘? 要］ 扎扎實(shí)實(shí)地打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣. 然而，“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象在如今的數(shù)學(xué)教學(xué)中屢見不鮮. 如何夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)“既懂又會(huì)”呢？文章以三位教師的“對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，具體從三方面談一些看法：理性看待教材的“再創(chuàng)造”；注重核心知識(shí)的“聯(lián)結(jié)性”；強(qiáng)調(diào)課堂節(jié)奏的“緩慢性”.

［關(guān)鍵詞］ 懂而不會(huì)；再創(chuàng)造；聯(lián)結(jié)性；緩慢性；思維

不少學(xué)生都有過這樣的體會(huì)：課堂上能理解教學(xué)內(nèi)容，課后作業(yè)卻錯(cuò)誤百出. 出現(xiàn)這種“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，主要有兩方面的因素：一方面，學(xué)生所謂的“聽懂”與教學(xué)目標(biāo)并不一致，對知識(shí)的理解只浮于表面，并沒有深刻理解知識(shí)的本質(zhì)；另一方面，學(xué)生的思維處于操作層面，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)，對學(xué)生的思維要求達(dá)到了靈活層面，學(xué)生的思維出現(xiàn)了缺口.

為了消除這種“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，彌補(bǔ)學(xué)生思維的缺口，筆者進(jìn)行了大量研究. 本文以三位教師的“對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從以下三個(gè)方面談一些看法.

理性看待教材的“再創(chuàng)造”

教材是教學(xué)的依據(jù). 教材內(nèi)容的順序、結(jié)構(gòu)體系等的編排凝聚了眾多專家學(xué)者的心血，所呈現(xiàn)的每一個(gè)字、每一幅圖都是經(jīng)過編者考量篩選而來的，尤其例題與習(xí)題都是根據(jù)大部分學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知特點(diǎn)精心設(shè)計(jì)的. 因此，教材具有顯著的嚴(yán)謹(jǐn)性.

隨著新課改的推進(jìn)，不少教師也與時(shí)俱進(jìn)地“創(chuàng)造性使用教材”，這是在“不是教教材，而是用教材”“教師是課程資源開發(fā)的主體”等理念的基礎(chǔ)上形成的教學(xué)行為. 跟上時(shí)代的步伐，創(chuàng)造性使用教材的行為并沒有什么問題，但有些教師卻偏離了教材，甚至出現(xiàn)了脫離教材、另起爐灶的行為，結(jié)果適得其反.

教學(xué)設(shè)計(jì)一

根據(jù)以下材料，回答兩個(gè)問題.

①log44，log416，log464；②lg10，lg1000，lg10000.

（1）分析上述各組三個(gè)值的關(guān)系；

（2）能否將以上關(guān)系一般化？嘗試寫出關(guān)系式，并證明.

從問題本身來看，“設(shè)局”非常明顯，大部分學(xué)生都能猜想出教師的實(shí)際意圖，即獲得關(guān)系式logaM+logaN=logaMN. 至于“研究該關(guān)系式的原因是什么”“其發(fā)生、發(fā)展的過程是怎樣的”不得而知. 顯然，問題是教師根據(jù)公式logaM+logaN=logaMN生搬硬套而來的，至于這個(gè)公式的證明過程，蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想方法，等等，都無從考證.

單純從課堂上學(xué)生所呈現(xiàn)的結(jié)論來看，確實(shí)給出了教師所期望的公式，但“弄懂”的背后卻是“一知半解”，到實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象就在情理之中.

事實(shí)上，不管哪個(gè)版本的教材，在本節(jié)的開篇都提供了探究的重要線索，如“我們知道了對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，能否利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)呢？”

從這一段文字來看，編者的意圖是讓教師帶領(lǐng)學(xué)生從對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系出發(fā)，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)，想方設(shè)法將對數(shù)問題轉(zhuǎn)化成指數(shù)問題來探索，由此獲得對數(shù)運(yùn)算性質(zhì). 若教師領(lǐng)會(huì)到了編者的意圖，并以此作為教學(xué)核心，再結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行教材的“再創(chuàng)造”，則可以帶領(lǐng)學(xué)生自然、深刻地理解關(guān)系式logaM+logaN=logaMN的本質(zhì)，達(dá)到“既懂又會(huì)”的目的.

注重核心知識(shí)的“聯(lián)結(jié)性”

以核心概念或核心內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法為聯(lián)結(jié)點(diǎn)，將零散的知識(shí)羅列到一張大網(wǎng)上，形成精中求簡、通俗易懂的知識(shí)脈絡(luò)，是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ). 形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成自主吸納并內(nèi)化新知的能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，也是課堂教學(xué)的主要任務(wù)之一.

如何讓核心知識(shí)變成這個(gè)“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”呢？這就要求教師不僅擁有過硬的專業(yè)水平，還要具備良好的洞察力，能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況靈活教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、類比中抽象出核心知識(shí)，并提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，形成以不變應(yīng)萬變的能力.

學(xué)生一旦經(jīng)歷了知識(shí)形成與發(fā)展的過程，就能獲得觸類旁通的能力. 但有些教師常常忽略知識(shí)的邏輯性，無視學(xué)生的認(rèn)知水平，用自己的思維創(chuàng)設(shè)問題，導(dǎo)致創(chuàng)設(shè)的問題高于學(xué)生的認(rèn)知范圍，給學(xué)生帶來一種莫名其妙之感.

教學(xué)設(shè)計(jì)二

（1）回顧指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)概念，如am·an=am+n，am=M與logaM=m等價(jià)，logaN=n與an=N等價(jià)，等等.

（2）嘗試將指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)am·an=am+n轉(zhuǎn)化成對數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

（3）嘗試將指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)am÷an=am-n和（am）n=amn轉(zhuǎn)化成對數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

教師設(shè)計(jì)上述三個(gè)問題，意在從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，推導(dǎo)出對數(shù)運(yùn)算性質(zhì). 但這三個(gè)問題缺乏邏輯性，對于學(xué)生而言過于突兀，不少學(xué)生表現(xiàn)出茫然的神態(tài). 隨著這三個(gè)問題的解決，學(xué)生基本明確了探究的主題，但這是從指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)出發(fā)，經(jīng)過形式化的變形獲得的結(jié)論，學(xué)生因缺乏自主探究過程，無法將新知內(nèi)化到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，更無法讓核心知識(shí)成為新舊知識(shí)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”.

這種設(shè)計(jì)，致使學(xué)生無法從根本上掌握知識(shí)的本質(zhì)，出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象是必然的. 其實(shí)，在對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)過程中，教師可帶領(lǐng)學(xué)生從類比思想、轉(zhuǎn)化思想出發(fā)，讓核心知識(shí)成為新舊知識(shí)的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，學(xué)生將探索而來的新知與舊知膠著在一起，能融會(huì)貫通改善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 如類比思想的應(yīng)用，能為學(xué)生提供明確的思維策略，讓學(xué)生明晰研究方向；轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，能為學(xué)生提供證明方法，讓學(xué)生獲得解決問題的具體策略.

為了讓核心知識(shí)的“聯(lián)結(jié)性”成為溝通新舊知識(shí)的橋梁，上述教學(xué)設(shè)計(jì)可作如下改進(jìn)：

（1）大家已經(jīng)學(xué)過了對數(shù)，還記得我們是如何定義對數(shù)logaM的嗎？

（2）求log216，并說明理由.

（3）當(dāng)我們定義一種數(shù)后，無法避免其運(yùn)算性質(zhì)的研究. 比如我們認(rèn)識(shí)指數(shù)后，就研究了其運(yùn)算性質(zhì). 大家還記得指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)嗎？為什么沒有我們熟悉的加減運(yùn)算呢？

（4）與指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行類比，對數(shù)也應(yīng)該存在相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)，本節(jié)課咱們就是要探索對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，具體該從哪里下手呢？

循序漸進(jìn)的問題串，以學(xué)生的思維為起點(diǎn)，讓每一個(gè)學(xué)生都明白教師問的是什么，需要解決的問題是什么，探索的主題又是什么，逐層遞進(jìn)的問題成了學(xué)生思維拾級而上的“腳手架”，條理清晰、層次分明的問題讓學(xué)生將“對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)”鎖定為本節(jié)課的核心知識(shí)，接下來就是圍繞這個(gè)核心知識(shí)進(jìn)行探索.

強(qiáng)調(diào)課堂的“緩慢性”

數(shù)學(xué)教學(xué)也是思維的教學(xué)，尤其在促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展方面，具有其他學(xué)科無法比擬的優(yōu)勢. 為了有效發(fā)展學(xué)生的思維能力，需要教師為學(xué)生提供更多的機(jī)會(huì)、時(shí)間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程. 實(shí)踐證明，放緩課堂教學(xué)節(jié)奏是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要手段.

1. 讓學(xué)生親歷知識(shí)形成的過程

在實(shí)際教學(xué)中，教師可適當(dāng)延長知識(shí)的暴露時(shí)間，增加學(xué)生動(dòng)手操作、思考與感悟的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在“延時(shí)滿足”中對知識(shí)產(chǎn)生更大的渴求欲. 學(xué)生在充滿“想法”與“念頭”的背景下探索新知，往往能有更好的思維體驗(yàn). 教師若將結(jié)論直接“奉送”給學(xué)生，則學(xué)生會(huì)因缺乏觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證等過程，無法促進(jìn)思維的發(fā)展.

事實(shí)告訴我們，只有經(jīng)歷完整的知識(shí)探索過程，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí). 不論多么簡單的知識(shí)，都不要?jiǎng)儕Z學(xué)生親歷探索的機(jī)會(huì)，這樣才能使學(xué)生從真正意義上理解知識(shí)本質(zhì)，獲得“如何思考”的能力.

2. 提供充足的領(lǐng)悟時(shí)間與空間

學(xué)之道在于悟. 學(xué)生先回顧舊知，再接觸新知，最后內(nèi)化新知，需要領(lǐng)悟的時(shí)間與空間. 俗話說“欲速則不達(dá)”，只有放慢教學(xué)的腳步，讓學(xué)生有充足的時(shí)間進(jìn)行領(lǐng)悟，才能充分發(fā)揮學(xué)生的智慧，讓學(xué)生迸發(fā)出豐富的想象力，形成創(chuàng)新意識(shí). 當(dāng)然，課堂也會(huì)因?yàn)檫@種“慢”，而充滿靈性與智慧.

反之，注入式的教學(xué)雖然能在短時(shí)間內(nèi)提供大量知識(shí)，但這種漠視學(xué)生思維與智慧發(fā)展的做法，只會(huì)消減學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生浮于表面認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)，無法達(dá)到既懂又會(huì)的境界. 長此以往，學(xué)生會(huì)因缺乏獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，以及沒有自主建構(gòu)的能力，而形成思維惰性，即便聽得懂也不會(huì)使用.

3. 鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)出自己的想法

新課標(biāo)明確提出，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力. 語言表達(dá)是將思維外顯的過程，良好的表達(dá)能力讓學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性落地生根，讓學(xué)生掃除“想不到”的障礙. 在教學(xué)中，有一種現(xiàn)象非常普遍，即學(xué)生遇到一個(gè)問題時(shí)冥思苦想，但就是找不到頭緒，而旁人輕輕一點(diǎn)撥，瞬間就恍然大悟. 為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？該如何化解呢？

這種學(xué)生“想不到”的情況，主要源于學(xué)生平時(shí)表達(dá)得少，數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)不高. 想要解決這個(gè)問題，最好的辦法就是放慢課堂節(jié)奏，為學(xué)生提供更多的表達(dá)機(jī)會(huì)，放手讓學(xué)生去“說”，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的想法（不論是對的還是錯(cuò)的）都勇敢地表達(dá)出來. 久而久之，學(xué)生的思維就會(huì)變得更加敏捷，遇到問題時(shí)也能抓到關(guān)鍵.

4. 盡可能不去干擾學(xué)生的思維

學(xué)生在盡情思考或表達(dá)的過程中，有些教師常會(huì)打斷學(xué)生的思路，企圖讓學(xué)生的思路完全沿著自己的思路走. 殊不知，每一個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體，都有自己的思路或思維，教師若貿(mào)然干擾學(xué)生的思路或思維，則會(huì)消減學(xué)生想表達(dá)的欲望，導(dǎo)致學(xué)生思路或思維的發(fā)展中斷.

“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”. 教師可模擬學(xué)生的心理活動(dòng)，為做好引導(dǎo)工作奠定基礎(chǔ). 學(xué)生常見的心理活動(dòng)有：①為什么都是你問我答？能不能我問你答？②我又不是天才，要是什么都會(huì)，還要老師做什么？③我還沒想好呢，怎么就往下講了？④我好像有點(diǎn)頭緒了，讓我表現(xiàn)一下吧?、苡憛挕邦}型＋技巧”的模式，我自己總結(jié)提煉出的方法好像更好一些……教師一旦了解了學(xué)生心中所想，那么教學(xué)就有了方向.

教學(xué)設(shè)計(jì)三

（1）回顧指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)定義.

（2）閱讀教材對對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的證明過程.

（3）分析對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)，然后練習(xí)訓(xùn)練.

在該設(shè)計(jì)中，教師在課堂引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的證明，僅僅用了五分鐘的時(shí)間，課堂的大部分時(shí)間都用在了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的練習(xí)訓(xùn)練上. 通過交談得知，這位教師“直奔主題”的設(shè)計(jì)原因在于：他認(rèn)為對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)并不復(fù)雜，讓學(xué)生明確本節(jié)課教學(xué)的核心就行，將大量時(shí)間用在練習(xí)訓(xùn)練上，能提高學(xué)生的解題能力與思維能力.

這位教師的想法具有一定的代表性，在“減負(fù)增效”的背景下，確實(shí)有不少教師出現(xiàn)了急功近利的教學(xué)行為. 這種不了解學(xué)生真正需求的教學(xué)方法，看似熱鬧，實(shí)則是學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象出現(xiàn)的根源.

對于對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)而言，難度系數(shù)確實(shí)不大，學(xué)生理解起來也不費(fèi)勁. 但要讓學(xué)生理解其運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)與內(nèi)涵，達(dá)到深度掌握并能靈活應(yīng)用的程度，還需要教師放慢教學(xué)節(jié)奏，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)形成與發(fā)展的過程，提高學(xué)生以不變應(yīng)萬變的解題能力. 鑒于此，教師可根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)方案，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索與合作交流中互相啟發(fā)、補(bǔ)充，達(dá)到良好的教學(xué)成效.

“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的形成與師生雙邊都有關(guān)系，想要徹底解決這個(gè)問題，就要立足章建躍教授提出的“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的觀念，帶領(lǐng)學(xué)生對知識(shí)做到“知其然且知其所以然”. 如本節(jié)課的“其然”為對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，而“其所以然”是指用化歸思想證明對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的過程，實(shí)際上這也是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與解決問題的過程.

總之，“懂而不會(huì)”現(xiàn)象形成的原因是多方面的，教師應(yīng)在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”能力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，也是突破學(xué)生思維障礙的重要工序. 只有讓學(xué)生做到“既懂又會(huì)”，才能使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立處理問題的能力.

作者簡介：曹梅（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，海安市骨干教師.