深度學習下的等比數(shù)列概念教學

［摘? 要］ 文章以深度學習為理念，設(shè)計等比數(shù)列概念教學，注重學生的自主探究、交流表達、合作討論、動手操作，促進知識的深度加工與知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，重視學生的主體地位，提高學生的課堂參與度，從而落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 深度學習；等比數(shù)列；概念教學

等比數(shù)列是“數(shù)列”一章的重要內(nèi)容之一，學生之前學過等差數(shù)列，掌握了研究數(shù)列模型的內(nèi)容和方法. 學生可以類比等差數(shù)列的研究過程自主探究等比數(shù)列，但等差數(shù)列對學生學習等比數(shù)列具有一定的負遷移作用. 因此，理解等比數(shù)列的概念成了探究的起始點. 數(shù)學概念的產(chǎn)生自有其歷史性和必要性，具有重要的教育價值. 概念是性質(zhì)和定理等的出發(fā)點和推導依據(jù)，學生只有明白概念形成的來龍去脈，理解概念出現(xiàn)的條件，使用時才能有的放矢，才會用數(shù)學的眼光去看待、發(fā)現(xiàn)、提出問題，從而提高思維水平和創(chuàng)造能力.

教學設(shè)計思想

1. 設(shè)計理念

深度學習，是信息化時代對人類學習的必然要求，是學習者能動地參與教學的總稱［1］，是學習者在記憶、理解的基礎(chǔ)上積極主動的批判性學習，能對知識進行批判理解、主動聯(lián)系、整合信息、完善結(jié)構(gòu)、遷移應(yīng)用等. 深度學習以“學”為中心，讓學生在知識和經(jīng)驗的最近發(fā)展區(qū)去理解、分析已有知識，對所學知識進行深度加工，通過探究、合作和評價獲得新知識［2］.

深度學習是相對于淺層學習而言的. 深度學習的三個具體特征表現(xiàn)在：

第一，從整體視角了解知識結(jié)構(gòu)，從信息整合的角度達到對數(shù)學對象的真正理解，包括學生的發(fā)散思維、研究判斷、學習反思等認知活動. 相對而言，淺層學習只是無聯(lián)系、碎片化地接受知識，數(shù)學概念也僵化在機械背誦或暫時記憶的層面.

第二，對知識進行多元構(gòu)建，并強調(diào)遷移運用. 深度學習強調(diào)對數(shù)學知識框架的構(gòu)建，促進學生探尋知識背后的思想方法，從而幫助學生觸摸數(shù)學的本質(zhì). 相反，淺層學習忽視知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，一味運用“套路”解題.

第三，重視數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，在真實情境中挖掘材料、深度加工，培養(yǎng)學生終身學習的習慣. 深度學習區(qū)別于淺層學習的一個重要特征在于深度學習是學生主動接受和思考的過程，而淺層學習是學生被動接受和思考的過程［3］.

2. 設(shè)計背景

由于教學觀念、教學進度和現(xiàn)實因素，傳統(tǒng)教學模式往往忽略概念教學中的引入和理解探究環(huán)節(jié)，將時間和精力更多地放在解題環(huán)節(jié). 導致的結(jié)果是大部分學生對于定義、公式、定理的記憶效率低下，在實際解題時不知從何下手.

首先，高中數(shù)學具有高度抽象、符號化的特點，所以學生對數(shù)學概念的真正掌握存在困難. 其次，傳統(tǒng)的教學模式直接下定義，導致學生無法準確理解概念，只能在一知半解的情況下去解題，無法真正發(fā)展數(shù)學思維.

因此，恰當合理地引入概念，幫助學生更好地發(fā)散思維、理解概念，使學生明確概念的本質(zhì)，是數(shù)學概念教學的重點，對學生的數(shù)學學習有重要作用.

教學目標

教學目標是教學活動的出發(fā)點，是通過教學期望達到的結(jié)果. 為了促進學生的深度學習，教學目標的設(shè)計應(yīng)以知識點為載體，將知識、技能、過程、方法等目標通過具體行為落實到學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中［4］.

（1）在數(shù)量關(guān)系的視角下發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并用數(shù)列進行刻畫，提高數(shù)學抽象和數(shù)學建模能力.

（2）依據(jù)等差數(shù)列的研究內(nèi)容和方法，經(jīng)歷聯(lián)想、類比等過程，探索等比數(shù)列概念的形成，并注意兩者的區(qū)別.

（3）在舉例中辨析等比數(shù)列的概念，建立等比數(shù)列的概念結(jié)構(gòu).

（4）運用定義判斷或證明等比數(shù)列，體會符號語言的重要性，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

（5）經(jīng)歷數(shù)學抽象和自主探究的過程，提高探究能力，領(lǐng)悟類比、從特殊到一般的數(shù)學思想方法.

教材分析

1. 知識結(jié)構(gòu)

本課內(nèi)容是蘇教版選擇性必修第一冊第4章“數(shù)列”的4.3節(jié)“等比數(shù)列”的第一課時“等比數(shù)列的概念”.

等比數(shù)列在現(xiàn)實生活中有廣泛應(yīng)用，是用來刻畫一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學模型. 教材在內(nèi)容設(shè)計上也是從實際情境出發(fā)，類比等差數(shù)列引出等比數(shù)列的定義，通過舉例、運算、證明等活動探究等比數(shù)列的特點和證明方法，讓學生體會等比數(shù)列學習的合理性和必要性，理解等比數(shù)列的概念，并能學以致用.

2. 教學重難點分析

教學重點：等比數(shù)列的定義，從中推導出等比數(shù)列的特征.

教學難點：應(yīng)用等比數(shù)列的定義證明等比數(shù)列，證明過程中強調(diào)等比數(shù)列每一項不為0.

教學過程

1. 知識回顧，溫故知新

教師：在開始新課前我們先來回顧一下之前所學的等差數(shù)列.

問題1：等差數(shù)列是怎樣定義的？

問題2：等差數(shù)列用符號語言是如何表示的？

問題3：我們是怎樣判斷或證明等差數(shù)列的？

根據(jù)學生的回答，構(gòu)建關(guān)于等差數(shù)列概念的思維導圖，如圖1所示.

設(shè)計意圖 弗賴登塔爾認為，數(shù)學是充滿聯(lián)系的，不要教孤立的片段，應(yīng)該教聯(lián)系的材料. 在復習的過程中，回顧等差數(shù)列的研究內(nèi)容和研究方法，促進學生用聯(lián)系等差數(shù)列的觀點去觀察和思考問題，通過思維導圖全面回顧、梳理總結(jié)，為學習和理解等比數(shù)列的概念提供知識準備.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，抽象特征

活動1：讓每一位學生都用一張A4紙不斷對折，在對折的過程中觀察并思考，哪些量發(fā)生了變化？有怎樣的變化規(guī)律？以四人為一組，交流討論其發(fā)現(xiàn).

學生發(fā)現(xiàn)：紙的厚度在增加，每對折一次厚度變?yōu)橹暗?倍；紙的面積在減少，每對折一次面積變?yōu)橹暗?

筆者播放視頻，讓學生了解一張紙對折50次的厚度，激發(fā)學生的學習興趣.

思考1：視頻中的折紙厚度問題即折紙層數(shù)問題，你能從中得到怎樣的數(shù)列？

問題4：請大家寫一寫折紙層數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列.

問題5：將A4紙的面積視為“1”，請大家寫一寫折紙面積所構(gòu)成的數(shù)列.

設(shè)計意圖 深度學習強調(diào)學生為主體，以學為中心，因此應(yīng)更多地安排學生參與課堂教學活動. 利用折紙活動，讓學生通過動手操作，發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題，充分給予學生自主探究、合作討論，完成學習任務(wù)的機會.

學生通過自主探究、合作討論，得到了兩個數(shù)列：1，2，4，8，16，32，…；1，….

思考2：與等差數(shù)列相比，你們所得的這兩個數(shù)列有什么共同的特征？

學生：從第二項起，每一項與前一項的比是一個常數(shù)，第一個數(shù)列的比值是2，第二個數(shù)列的比值是.

教師：具備這樣特征的數(shù)列，稱它為等比數(shù)列.

設(shè)計意圖 類比可以幫助學生充分發(fā)散思維，利用已有的等差數(shù)列的學習經(jīng)驗，自然地引出新概念——等比數(shù)列，讓學生親歷探究發(fā)現(xiàn)的過程，體會類比的作用，從而潛移默化地滲透學法指導，為等比數(shù)列的研究學習提供導向作用.

3. 形成概念，探究新知

探究1：類比等差數(shù)列的定義，給出等比數(shù)列的定義.

筆者根據(jù)學生回答，對等比數(shù)列的定義進行規(guī)范表述：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.

問題6：對于等比數(shù)列，要使后一項與前一項的比值有意義，對等比數(shù)列中的項有何限制？公比q要滿足怎樣的條件？

學生：等比數(shù)列的每一項都不為0，公比q也不為0.

探究2：等比數(shù)列的定義用符號語言表示.

設(shè)計意圖 通過討論探究，充分調(diào)動學生的學習積極性. 學生類比等差數(shù)列的定義，嘗試得出等比數(shù)列的定義，在思考的過程中使新概念成為學生邏輯推理后自然生成的結(jié)果，從而突破了本節(jié)課的難點. 因此，在概念的引入和辨析過程中，要重視學生的主體地位，給予學生足夠的思考時間和表達機會.

練習1：判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列.

（2）0，1，2，4，8；

（3）1，1，1，1，1；

（4）1，2，1，2，1.

師生交流判斷結(jié)果：（1）學生判斷其是首項為1，公比為－的等比數(shù)列，但只根據(jù)定義驗證了前三項，在此筆者向?qū)W生強調(diào)定義中的“每一項”，并總結(jié)判斷“是”等比數(shù)列的方法：從第二項起，每一項與前一項的比是同一個常數(shù).

（2）學生根據(jù)等比數(shù)列的每一項都不為0，判斷其不是等比數(shù)列. 總結(jié)：等比數(shù)列的特征為每一項都不為0；在判斷或證明等比數(shù)列前，應(yīng)判斷是否有項為0.

（3）學生判斷其是首項為1，公比為1的等比數(shù)列. 筆者向?qū)W生提問：“常數(shù)列是等比數(shù)列”這個說法是否正確？學生舉出反例數(shù)列：0，0，0，0，0. 筆者引導學生思考得出結(jié)論：非零常數(shù)列是等比數(shù)列.

活動2：根據(jù)不同的公比（公比為正整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)），你能再舉出一些等比數(shù)列的例子嗎？

學生通過舉例發(fā)現(xiàn)，寫等比數(shù)列時需要確定其首項、公比和項數(shù)，這加深了他們對等比數(shù)列的基本量的理解.

小結(jié)1 （1）等比數(shù)列的特點：①從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)；②等比數(shù)列的每一項都不為0，公比也不為0；③非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.

（2）判斷數(shù)列｛an｝是否為等比數(shù)列的常規(guī)方法：判斷（n∈N*）是否為一個不是0的常數(shù).

設(shè)計意圖 通過對四個具體數(shù)列的判斷，讓學生理解等比數(shù)列的特征和判斷方法，深化理解等比數(shù)列的概念；讓學生體會概念的重要作用，并通過舉例理解等比數(shù)列的基本量. 通過學生回答展現(xiàn)學生的思維過程，筆者在了解學生學情的基礎(chǔ)上有針對性地進行點撥和分析，并在學生得出相關(guān)結(jié)論和方法后，利用追問的方式啟發(fā)學生思考，找到舊知與新知的聯(lián)系，加深學生對概念內(nèi)涵的理解. 最后歸納總結(jié)，做好筆記，促進學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣.

練習2：求下列等比數(shù)列中的未知項.

（1）a，2，8，其中a=______；

（2）2，m，8，其中m=______；

設(shè)計意圖 挑戰(zhàn)性問題是指對學生認知具有挑戰(zhàn)性的問題，這類問題往往是自然生成的一般化問題或是由逆向思維引發(fā)的問題. 設(shè)計練習2是為了評估學生是否掌握了等比數(shù)列的定義和基本量，由此提高學生對等比數(shù)列定義的應(yīng)用水平.

設(shè)計意圖 根據(jù)定義法證明等比數(shù)列的兩種形式設(shè)計練習題，讓學生回顧探究過程，內(nèi)化思想方法；促進學生深度思維，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力；評估學生運用定義解決問題的能力以及邏輯推理的嚴密性. 最后由筆者點評學生的答案并展示規(guī)范的解題過程，強調(diào)數(shù)學推理證明的嚴謹與科學.

4. 知識梳理，方法總結(jié)

教師：通過本節(jié)課的學習，你收獲了哪些知識和方法？

根據(jù)學生的回答，構(gòu)建關(guān)于等比數(shù)列概念的思維導圖，如圖2所示.

設(shè)計意圖 課堂總結(jié)利用思維導圖的形式，促進學生及時梳理歸納本節(jié)課學習的知識內(nèi)容，并與等差數(shù)列的思維導圖形成對比，發(fā)現(xiàn)相似的研究結(jié)構(gòu)和區(qū)別的內(nèi)容，從而深化類比思想方法. 利用課堂總結(jié)引導學生主動聯(lián)系、整合信息、完善結(jié)構(gòu)、遷移應(yīng)用，從而促進學生高階思維的發(fā)展.

教后反思

首先，本節(jié)課充分體現(xiàn)了學生的主體地位，通過動手操作、表達展示、合作討論等方式提高了學生的課堂參與度，讓學生的大腦動了起來，讓課堂活躍了起來. 其次，本節(jié)課與傳統(tǒng)課相比雖然知識內(nèi)容少了一些，但是通過自主探究、類比遷移、應(yīng)用鞏固、總結(jié)歸納等環(huán)節(jié)加深了學生對等比數(shù)列概念的理解和對類比思想方法的體會，為接下來等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、前n項和公式等的學習打下了基礎(chǔ)，真正達到了深度學習的目的.

通過教學實踐發(fā)現(xiàn)，學生在深度理解等比數(shù)列的概念后，可以自主推導等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì). 概念教學慢一點，讓學生真正理解概念，之后的學習才會又快又好. 對于概念教學，相比于教學進度，我們更應(yīng)該關(guān)注教學深度，倡導深度學習，這樣才能真正提高教學效率.

結(jié)論

深度學習不僅是一種學習方式，也是一種教學理念. 學習是學生在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過記憶、聯(lián)想、應(yīng)用，與新知識建立起關(guān)系，從而擴大知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識和思維模型的過程. 好的教師除了教給學生知識和技能外，更重要的是教給學生研究問題的方法和解決問題的能力. 概念蘊含核心知識和思想，因此概念具有深層探究的價值. 總之，深度學習下的概念教學應(yīng)重視學生的主體地位，重視思維過程，注重學生的自主探究、交流表達、合作討論、動手操作，提高學生的課堂參與度，促進知識的深度加工與知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，從而落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻：

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［2］ 劉紅晶. SPOC助學群組促進學員深度學習的研究［D］. 四川師范大學，2017.

［3］ 任偉芳.深度學習理念下的教學設(shè)計模型創(chuàng)新構(gòu)建——以人教A版“等比數(shù)列”的教學為例［J］. 中學數(shù)學教學參考，2022（01）：21-25.

［4］ 柴有茂. 核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的“等比數(shù)列”教學設(shè)計［J］. 當代教育與文化，2018，10（03）：85-88.

作者簡介：薛蕾（1996—），碩士研究生，從事高中數(shù)學教學工作.