巧妙設(shè)置問(wèn)題，翻轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)課堂

張麗娜

本節(jié)課選自湖南教育出版社2019年版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”中的第二課時(shí)“指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生能用描點(diǎn)法或借助信息技術(shù)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，也能通過(guò)代數(shù)運(yùn)算畫(huà)出有關(guān)聯(lián)的指數(shù)函數(shù)圖象（利用代數(shù)運(yùn)算，研究指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性畫(huà)圖）。

2.學(xué)生結(jié)合圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

3.學(xué)生通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究，進(jìn)一步培養(yǎng)特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，以及感受用函數(shù)解決問(wèn)題的思想。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其初步應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：用函數(shù)圖象和指數(shù)運(yùn)算的方法研究指數(shù)函數(shù)（性質(zhì)）。

三、教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入：上節(jié)課，我們通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決概括出了指數(shù)函數(shù)的概念?；仡櫱懊鎯绾瘮?shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們基本上了解了基本初等函數(shù)的研究路徑，這節(jié)課我們將研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并進(jìn)行初步的應(yīng)用。

（設(shè)計(jì)意圖：明確本節(jié)課的主題，為學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容做鋪墊。）

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

設(shè)計(jì)說(shuō)明：復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，提出問(wèn)題進(jìn)而引入新知識(shí)。

問(wèn)題1：指數(shù)函數(shù)的概念是什么？

提示：一般，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R。

（設(shè)計(jì)意圖：再次回顧和明確指數(shù)函數(shù)的概念，為后續(xù)研究做好鋪墊。）

問(wèn)題2：回顧我們學(xué)習(xí)過(guò)的冪函數(shù)，學(xué)習(xí)和研究一個(gè)函數(shù)的基本路徑是什么？我們要研究指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？怎樣開(kāi)展研究？

提示：根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，我們了解到基本初等函數(shù)的研究路徑為：實(shí)例（背景）→函數(shù)的定義（概念）→圖象（描點(diǎn)法+信息技術(shù)）→性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）→應(yīng)用（解決實(shí)際問(wèn)題）。我們要研究指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)，函數(shù)圖象的位置、變化趨勢(shì)等。研究的方法是先畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象，然后觀察圖象，歸納概括性質(zhì)。

（設(shè)計(jì)意圖：明確本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容和研究方法，讓學(xué)習(xí)有了方向和目標(biāo)。）

問(wèn)題3：如何畫(huà)出函數(shù)圖象？

提示：描點(diǎn)法（列表、描點(diǎn)、連線）。

（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)函數(shù)作圖的基本方法和步驟，方便學(xué)生后續(xù)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象。本節(jié)課會(huì)再次展示用信息技術(shù)畫(huà)圖以及利用函數(shù)的對(duì)稱性畫(huà)圖。）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：以上3個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，幫學(xué)生回憶已學(xué)過(guò)的知識(shí)與技巧方法，為進(jìn)一步的教學(xué)與學(xué)習(xí)做鋪墊。

環(huán)節(jié)二：畫(huà)出圖象，研究性質(zhì)

設(shè)計(jì)說(shuō)明：提出新問(wèn)題，合理引導(dǎo)學(xué)生基于舊知識(shí)的基礎(chǔ)來(lái)拓展新知識(shí)。

問(wèn)題4：y=2x是指數(shù)函數(shù)嗎？其底數(shù)是多少？請(qǐng)畫(huà)出其圖象。

提示：見(jiàn)對(duì)應(yīng)表格和圖象。（略）

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)的作圖，學(xué)生能夠初步了解指數(shù)函數(shù)的圖象，為后續(xù)畫(huà)圖和研究做好準(zhǔn)備。）

問(wèn)題5：顯然一個(gè)函數(shù)不具代表性，我們還需要畫(huà)出更多的具體指數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)進(jìn)行觀察。請(qǐng)用同樣的方法，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=（）x的圖象。

提示：見(jiàn)對(duì)應(yīng)表格和圖象。（略）

問(wèn)題6：請(qǐng)對(duì)指數(shù)函數(shù)y=2x和y=（）x的圖象進(jìn)行比較，它們有什么關(guān)系？能否利用指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象畫(huà)出函數(shù)y=（）x的圖象？

提示：函數(shù)y=2x與函數(shù)y=（）x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此可以由其中一個(gè)函數(shù)的圖象畫(huà)出另外一個(gè)函數(shù)的圖象。

問(wèn)題7：除了通過(guò)圖象觀察之外，你能利用解析式，從代數(shù)的角度解釋上面的對(duì)稱關(guān)系嗎？（可以考慮點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系）

提示：通過(guò)以上問(wèn)題4與問(wèn)題5的表格，很容易得到：兩個(gè)函數(shù)上的點(diǎn)，當(dāng)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時(shí)，縱坐標(biāo)相同。因此，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，我們可以得到想要的結(jié)論。當(dāng)然，也可以通過(guò)點(diǎn)的對(duì)稱性加以分析，這里可以直接通過(guò)邏輯推理來(lái)實(shí)現(xiàn)。

問(wèn)題8：上面的問(wèn)題及其結(jié)論具有一般性嗎？

提示：很顯然，通過(guò)上面的代數(shù)運(yùn)算，我們只需要把上個(gè)提示中的具體底數(shù)“2”換成一般底數(shù)“a”（a>0且a≠1），就可以得到：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

（設(shè)計(jì)意圖：利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系，讓學(xué)生從圖象和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)方面去分析它們之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般、具體到抽象的研究能力。）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從一個(gè)特殊函數(shù)的圖象到另一個(gè)特殊函數(shù)，并通過(guò)特殊函數(shù)之間的關(guān)系加以過(guò)渡引導(dǎo)，吻合學(xué)生思維歷程與學(xué)習(xí)過(guò)程。

問(wèn)題9：請(qǐng)?jiān)谕粋€(gè)坐標(biāo)系中做出y=3x，y=4x，y=（）x，y=（）x的圖象。你是怎樣做的？

提示：學(xué)生用描點(diǎn)法作出y=3x，y=4x的圖象，然后利用問(wèn)題8的結(jié)論做出y=（）x，y=（）x的圖象。

（設(shè)計(jì)意圖：鞏固前面所得到的結(jié)論。）

問(wèn)題10：我們已經(jīng)畫(huà)出了六個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象了，現(xiàn)在借助信息技術(shù)，老師畫(huà)出更多的指數(shù)函數(shù)的圖象，請(qǐng)同學(xué)們觀察這些圖象來(lái)研究它們的性質(zhì)，看看它們到底有哪些共性。

提示：用信息技術(shù)畫(huà)出更多的指數(shù)函數(shù)的圖象。根據(jù)圖象分析：指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的圖象按底數(shù)a的取值，可分為01兩種類(lèi)型，因而，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以分為01兩種情況進(jìn)行研究。

一般，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如表1所示。

（設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比冪函數(shù)的性質(zhì)研究，“以形助數(shù)”再“以數(shù)助形”，引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論、有序觀察、歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提高學(xué)生的理性思維能力。）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：由特殊到一般，吻合辯證唯物主義思想，也是我們學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種重要思維方式。

環(huán)節(jié)三：例題講解，練習(xí)鞏固

例1.（教材第108頁(yè)例4）比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小。

（1）3.51.5，3.51.3；

（2）0.3－3.5，0.3－2.3

（3）1.20.5，0.51.2

問(wèn)題11：回顧冪函數(shù)的類(lèi)似問(wèn)題，我們是怎樣進(jìn)行比較的？

提示：求解依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義。具體方法是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，或者用“中間值”的方法進(jìn)行比較。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：合理類(lèi)比已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，為新知識(shí)的應(yīng)用提供更加寬廣的空間。

練習(xí)1：比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小。

（1）1.72.5，1.73

（2）0.31.5，0.31.3

（3）0.70.8，0.80.7

（設(shè)計(jì)意圖：例1利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，進(jìn)而讓學(xué)生熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，幫助他們形成用函數(shù)觀點(diǎn)解決問(wèn)題的意識(shí)。練習(xí)1的設(shè)置，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特別是對(duì)同冪函數(shù)進(jìn)行辨析理解。）

例2.（教材第109頁(yè)例5）已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，7），求f（－6）和f（3）。

練習(xí)2：已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，），求f（－2）和f（4）。

（設(shè)計(jì)意圖：依托指數(shù)函數(shù)的解析式來(lái)分析與求解，并基于對(duì)應(yīng)的解析式求解，進(jìn)一步求解函數(shù)值。）

例3.（教材第109頁(yè)例6）一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年剩余的量是原來(lái)的84%，畫(huà)出這種物質(zhì)的剩余量隨時(shí)間變化的圖象，并從圖象上觀察大約要經(jīng)過(guò)多少年，剩余量是原來(lái)的50%。

環(huán)節(jié)四：歸納小結(jié)，鞏固提升

設(shè)計(jì)說(shuō)明：合理總結(jié)，系統(tǒng)小結(jié)，使課堂教學(xué)重點(diǎn)更加突出，難點(diǎn)得以明確，思維得以拓展，能力得以提升。

問(wèn)題12：回顧所學(xué)內(nèi)容并回答問(wèn)題。

（1）通過(guò)本節(jié)課對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，我們必須明白學(xué)習(xí)和研究一個(gè)函數(shù)的基本途徑、研究?jī)?nèi)容、研究方法分別是什么。

（2）本節(jié)課在畫(huà)指數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，運(yùn)用了哪些畫(huà)圖方法？

（3）本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們學(xué)會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

提示：（1）學(xué)習(xí)和研究一個(gè)函數(shù)的基本途徑是：實(shí)例（背景）→函數(shù)的定義（概念）→圖象（描點(diǎn)法+信息技術(shù)）→性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）→應(yīng)用（解決實(shí)際問(wèn)題）。

研究?jī)?nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)、函數(shù)圖象的位置、變化趨勢(shì)等。

研究方法：先畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象，然后觀察圖象，最后歸納概括性質(zhì)。

（2）描點(diǎn)法作圖、利用信息技術(shù)畫(huà)圖、通過(guò)代數(shù)計(jì)算利用對(duì)稱性畫(huà)圖。

（3）本節(jié)課我們學(xué)會(huì)了由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想和方法。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容不僅從知識(shí)層面進(jìn)行了回顧鞏固，還同時(shí)從數(shù)學(xué)思想方法層面進(jìn)行提升，這有利于學(xué)生更好地構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，更全面地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。）

四、教學(xué)總結(jié)

指數(shù)函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的概念與性質(zhì)，特別是學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的研究方法之后，利用類(lèi)比思想，再次深入學(xué)習(xí)的一類(lèi)具體函數(shù)，最后利用這些函數(shù)構(gòu)建的函數(shù)模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而讓學(xué)生進(jìn)一步掌握函數(shù)的研究方法及分析方法，并學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。總之，指數(shù)函數(shù)是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要知識(shí)載體。

（作者單位：甘肅省景泰縣第一中學(xué)）

編輯：張俐麗