借助競賽試題提高學生數學知識的應用能力

?南京航空航天大學蘇州附屬中學 盧 芳

1 高中數學知識應用競賽概述

高中數學知識應用競賽是在眾多數學家和教育家的共同倡導下舉辦起來的，該競賽致力于促進高中數學課堂教學改革，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、解決問題的能力，引導學生深化對數學知識的理解，體驗數學知識在生活實踐中的重要作用.競賽分為初賽和決賽兩部分.初賽部分為開卷考試，要求學生通過查閱相關資料、利用相關工具來完成解題；決賽部分為閉卷考試，不僅要求學生能夠完成試卷，還要求學生撰寫小論文.不論是初賽還是決賽，所有題目都與生活實踐密切相關，注重利用數學知識來解決現實問題.新課程改革背景下，高中數學課堂教學更應該注重學生對數學知識應用能力的培養(yǎng)，提高學生的社會適應能力.借助高中數學知識應用競賽試題，圍繞競賽知識題目的本質特點，將其進行改編，降低題目難度，使其符合多數學生的認知水平，是發(fā)展學生數學知識應用能力的最為行之有效的手段之一.

2 高中數學知識應用競賽試題分析

從題目設置的背景來看，高中數學知識應用競賽試題的背景以生活背景和科學背景為主，在命題的過程中，為了兼顧學生的認知水平，競賽題目主要以生活背景為主，科學背景為輔.另外，部分題目的背景還會涉及到其他學科的知識，會體現出學科融合的特點，以此來引導學生，在日常的數學學習中，有意識地注意學科融合，提高利用數學知識解決生活實際問題的能力.

從題目參數設置和運算水平上來看，高中數學知識應用競賽參數題目相對較少，這主要與該競賽“發(fā)展學生利用數學知識解決問題”的宗旨有關.因為，在我們的生活實踐當中，很少有問題會涉及到參數，因此，參數問題不會影響題目的難度.另外，高中數學知識競賽題目對運算水平的要求并不高，大多是簡單的符號運算，其應用場景更加貼近現實生活.

從推理能力和知識含量的設置來看，高中數學知識應用競賽更加注重學生推理能力的考查，尤其是復雜推理能力占據了絕大多數，這是導致題目難度較大的重要因素.另外，從知識含量的設置上來看，高中數學知識應用競賽試題主要以對某個知識點的考查為主，題目設置的綜合性不強.這也從另一個角度說明在生活實踐中解決問題時，并不是都需要將很多知識綜合起來運用，而是選擇更合適的知識來解決問題.

從解題思維的設置上來看，高中數學知識應用競賽題目對學生順向思維的考查大于逆向思維的考查，這與我們的生活實踐極為貼近.另外，注重分析水平的題目要多于運用水平的題目，學生在解題過程中，能夠直接利用的已知條件并不多，需要學生深入分析給出的已知條件，將它們作進一步的轉化才能夠用來解題.

例1通過研究人員的觀察，鮭魚在河水中逆流游動時所消耗的能量為E=cv3T，其中v是相對于河水的速度，T為行進的時間(單位：h)，c為常數，如果水流的速度為4 km/h，那么鮭魚要在河水中逆流行進200 km，要選擇怎樣的速度才能夠使消耗的能量最少？

題目分析：該題目以科學為背景，結合生物和物理部分的相關知識，含有常值參數，其中運算主要包含了加、減、乘、除、乘方和開方等簡單的數值運算，還需要經過三步以上的推理.第一步，要借助已知條件確定出鮭魚相對于河岸的速度.第二步，要確定出鮭魚在運動過程中相對于河水的速度v與時間之間的關系.第三步，根據推理寫出鮭魚消耗的能量E與相對于河水的速度v的關系式.最后，根據前面的推理解決問題.題目中暗含的條件較多，需要學生進行深入分析，通過順向思維來完成解題.

3 借助競賽試題提高學生知識應用能力的策略

高中數學知識應用競賽試題主要以發(fā)展學生數學知識應用能力來設計的，在高中數學教學中引入高中數學知識應用競賽試題能夠有效提升學生的數學知識應用能力及數學核心素養(yǎng).但是，高中數學知識應用競賽原題難度較大，并不適合多數的高中學生.這就要求我們對高中數學知識應用競賽原題進行改編，使其適合普通學生的認知水平，從而發(fā)揮出高中數學知識應用競賽試題在提高學生數學知識應用能力過程中的重要作用.

3.1 對題目中已有的關鍵陌生詞匯給予適當提示

高中數學知識應用競賽具有一定的時代性，信息前沿性較為明顯.在試題中，很多關鍵信息都是學生沒有接觸過的，部分詞匯學生會感覺很陌生，而這些詞匯恰恰是解決問題的關鍵，學生如果不理解就會導致解題障礙，影響解題效果.此時，我們就可以對原有題目中的陌生關鍵詞匯進行解釋，幫助學生理解題意，從而降低題目的難度，使其符合多數學生的認知水平.

例2內輪差是車輛在轉彎的過程中，前內輪的轉彎半徑和后內輪的轉彎半徑之差.在生活實踐中，車輛在轉彎的過程中前后輪的運動軌跡是不重合的，相對于前輪，后輪的轉彎軌跡會向所轉方向的內側發(fā)生偏移，產生內輪差.車輛的軸距越大，偏移量就越大，內輪差就越大.在行車轉彎過程當中，如果我們只關注前輪的運動軌跡而忘記內輪差，就會導致車輛前輪順利通過，而后輪會駛出路面或發(fā)生碰撞.如圖1所示，為一輛右轉彎時大貨車前后輪的運動軌跡，如果該車輛前后軸距為5 m，前輪的轉向角為30°，請求出右前輪與右后輪的內輪差，并對站在路邊等待通行的行人依次提出安全建議.

圖1

問題分析：在該題目中，結合圖片和文字信息，尋找和理解轉向角是重點，尤其是如何表示轉向角，尋找前后內輪的轉彎半徑和轉向角的關系是關鍵.在對這一題目進行改編時，可以將轉向角這一概念通過數學模型(如圖2)的形式給出，降低學生的理解難度；還能夠使學生在閱讀題目和觀察數學模型的過程中，提高對數學模型的認識，加深對數學模型與生活實踐之間關系的理解.

圖2

3.2 替換試題背景

試題背景信息也是影響試題難度的一個重要因素.如果選擇的試題信息背景較為陌生，學生在閱讀過程中就會產生陌生感，無形之中就會增加題目的難度.因此，在對高中數學知識應用競賽試題進行改編時，可以在保留題目原有考查知識點的基礎上換成學生熟悉的問題背景，從而降低題目難度.

例3春節(jié)期間為了活躍氣氛，大家喜歡在微信群里玩搶紅包的游戲.該游戲共有10人參與，每人在群內發(fā)一次額度一樣的紅包，每發(fā)一次紅包系統(tǒng)都會將其拆分成10個金額不等的紅包，搶到手之前誰也不知道自己手中紅包的金額.在一次派發(fā)紅包的過程中，我們將搶到紅包金額最小的稱之為“手氣最差”，將搶到紅包金額最大的稱之為“手氣最佳”，參與10次搶紅包后，請計算出：

(1)全部搶到“手氣最差”的概率；

(2)至少搶一次“手氣最佳”的概率；

(3)如果將搶到紅包的金額由大到小依次排序，列出第一名到第十名，那么搶到紅包的最高名次為第五名的概率是多少？

問題分析：該題目的背景選自微信群紅包問題，對很多家庭較為貧困，父母平時管教嚴格的學生來說，這個生活場景他們較為陌生.我們可以選擇體育比賽場景來替換微信群紅包.

3.3 加入引導性問題

層層遞進的問題引導能夠激活學生的思維，有效降低問題的難度.我們對高中數學知識應用競賽試題進行改編的時候，可以適當加入引導性問題，降低題目的難度.

例4我們在晚上賣鞋的時候經?？吹竭@樣的尺碼對照表(表1)：

表1 尺碼對照表

(1)尋找滿足上面條件的計算公式，通過實際腳長x計算出鞋號y.

(2)“30號”童鞋對應的腳實際尺寸是多少？

(3)某籃球運動員的腳長為282 mm，他應該選購多大號的鞋子？

問題分析：題目中的問題有三問，我們可以將其拆分為五問.(1)觀察表1的第一行數據，用通項式公式表示出國際碼的規(guī)律.(2)觀察第二行數據，用通項式公式表示出歐碼的規(guī)律.(3)尋找二者的關系，根據實際腳長x計算鞋號y.(4)“30號”童鞋的尺寸是多少？(5)某籃球運動員的腳長為282 mm，他應該選購多大號的鞋子？