鏈接高等數(shù)學(xué)，合理巧妙設(shè)置

?甘肅省民樂縣第一中學(xué) 李運財

高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與過渡，是新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題的一個常見考點.特別如高等數(shù)學(xué)中的極限思想、高斯函數(shù)、函數(shù)的凹凸性、不動點定理等，都是高考命題的熱點.通過高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)列之間的接軌，創(chuàng)設(shè)情境，合理設(shè)置，有機過渡，無縫鏈接，是近年高考數(shù)學(xué)命題中的一個創(chuàng)新亮點，倍受各方關(guān)注.

1 極限思想

極限思想是高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，在高中數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到，主要應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面：一是利用極限思想理解題意與解決問題；二是利用洛必達(dá)法則將較難求解的問題簡單化.

分析：根據(jù)題目條件中給出的方法加以類比思維，通過對應(yīng)的分式關(guān)系式加以合理設(shè)參，建立有關(guān)參數(shù)的二次方程，結(jié)合方程的求解與解的取值限制來確定對應(yīng)分式關(guān)系式的定值問題.

點評：借助極限思想，巧妙將代數(shù)關(guān)系式的“無限”次重復(fù)與代數(shù)式定值的“有限”取值加以合理聯(lián)系，通過函數(shù)與方程思想的轉(zhuǎn)化加以分析與求解，合理接軌高等數(shù)學(xué)與高考命題中的相關(guān)知識，巧妙設(shè)置.

2 高斯函數(shù)

以高等數(shù)學(xué)中的特殊函數(shù)為創(chuàng)新問題背景，如高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù)、特征函數(shù)等，結(jié)合函數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)、創(chuàng)新定義以及創(chuàng)新應(yīng)用，理解并挖掘函數(shù)的實質(zhì)，是高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)之間的一大橋梁.通過高等數(shù)學(xué)知識與高中熟悉的函數(shù)進(jìn)行合理類比，拓展提升.

例2(2021屆遼寧省丹東一模)(多選題)函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[-1.2]=-2等，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和計算機等領(lǐng)域.關(guān)于函數(shù)y=[x]，正確的結(jié)論是( ).

A.[-x]=-[x]-1

B.若x1

C.若0≤x<1，則[x]+[x+0.5]=[2x]

D.[x1+x2]≤[x1]+[x2]

分析：根據(jù)題目條件中的高斯函數(shù)，通過邏輯推理以及不等式的性質(zhì)，結(jié)合取整函數(shù)的性質(zhì)依次加以分類討論，綜合分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用來判斷相應(yīng)的結(jié)論.

解析：根據(jù)題意，依次分析以下選項.

對于選項A，當(dāng)x=0時，有[-0]=[0]=0，故選項A錯誤.

對于選項B，若x1

對于選項C，設(shè)[x]=x-a，[x]+[x+0.5]=[x]+[[x]+a+0.5]=2[x]+[a+0.5].

當(dāng)a∈[0，0.5)時，a+0.5∈[0.5，1)，則[x]+[x+0.5]=2[x]，[2x]=[2[x]+2a]，由a∈[0，0.5)，得2a∈[0，1)，所以[2x]=[2[x]+2a]=2[x]=[x]+[x+0.5]；

當(dāng)a∈[0.5，1)時，a+0.5∈[1，1.5)，則[x]+[x+0.5]=2[x]+1，[2x]=[2[x]+2a]，因為a∈[0.5，1)，所以2a∈[1，2)，于是[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+1=[x]+[x+0.5].故選項C正確.

對于選項D，當(dāng)x1=0.9，x2=0.3時，[x1+x2]=[1.2]=1，[x1]+[x2]=0.故選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：借助高斯函數(shù)的創(chuàng)新定義，結(jié)合取整性質(zhì)以及分段函數(shù)、不等式的性質(zhì)等，合理應(yīng)用邏輯推理與代數(shù)運算，通過關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，合理接軌高等數(shù)學(xué)與高考命題中的函數(shù)知識，創(chuàng)新應(yīng)用.

3 函數(shù)的凹凸性

函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)中的重要概念與性質(zhì)，其主要表現(xiàn)函數(shù)值增減的快慢，體現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.經(jīng)?？梢岳枚A導(dǎo)數(shù)來新定義凹凸函數(shù)問題.若二階導(dǎo)數(shù)在所給定的區(qū)間上恒為負(fù)值，則說明函數(shù)是凸函數(shù)，否則函數(shù)不是凸函數(shù).

A.f(x)=sinx-cosxB.f(x)=lnx-2x

C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x

分析：根據(jù)題目條件中給出的凸函數(shù)的創(chuàng)新定義，結(jié)合各選項中函數(shù)的二次求導(dǎo)以及二階導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的取值情況，判斷二階導(dǎo)函數(shù)值是否恒小于0.可以通過特例確定矛盾，也可以結(jié)合函數(shù)圖象與性質(zhì)來分析等.

故選擇：BC.

點評：借助高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性的創(chuàng)新定義，綜合高中數(shù)學(xué)中一些基本初等函數(shù)模型，通過求導(dǎo)運算，綜合函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，挖掘內(nèi)涵，巧妙處理，實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與高考命題中基本初等函數(shù)之間的鏈接與接軌.

4 不動點定理

不動點定理是高等數(shù)學(xué)中的一個重要定理，在高中數(shù)學(xué)中也經(jīng)常涉及.破解此類與不動點定理有關(guān)問題的關(guān)鍵點為：一是注意“定義域優(yōu)先原則”；二是會“分類討論”處理；三是會“化歸與轉(zhuǎn)化”.

例4設(shè)I是函數(shù)y=f(x)的定義域，若存在x0∈I，使f(x0)=-x0，則稱x0是f(x)的一個“次不動點”，也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2)

C.(-1，0)∪(0，1) D.[-1，1]

分析：根據(jù)題目條件中“次不動點”的創(chuàng)新定義，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性來分析與處理，進(jìn)而分類討論確定參數(shù)的取值范圍.

解析：因為函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”，所以ax3-3x2-x+1=-x在R上有三個解，即ax3-3x2+1=0在R上有三個解.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=ax3-3x2+1，則求導(dǎo)可得g′(x)=3ax2-6x.

綜上分析，實數(shù)a的取值范圍是(-2，0)∪(0，2).

故選擇答案：A.

點評：借助高等數(shù)學(xué)中不動點定理的創(chuàng)新定義，在定義域優(yōu)先背景中研究函數(shù)的單調(diào)性，借助導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用，合理分類討論，并把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程或零點問題來分析與處理，巧妙轉(zhuǎn)化，建立高等數(shù)學(xué)與高考命題中函數(shù)之間的聯(lián)系.

巧妙借助高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識，結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的知識加以合理設(shè)置與命題，是高考數(shù)學(xué)命題者非常青睞的一大方向.合理鏈接高等數(shù)學(xué)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)，挖掘知識內(nèi)涵，提升知識的深度與廣度，有利于培養(yǎng)學(xué)生探究、創(chuàng)新能力，也為高校選拔人才的知識與能力儲備，以及學(xué)習(xí)方向提供引領(lǐng)與指導(dǎo)，全面提升能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng).