突破“懂而不會”，提升解題效率

?江蘇省通州高級中學 邵春燕

在解數(shù)學題時,學生通常是概念、定理背得滾瓜爛熟，章節(jié)訓練題做得得心應手，然而在綜合考試時卻常出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象.究其原因，其很大程度上是學生在解題時找不到問題的切入點，進而感覺無從下手，故很難找到問題的突破口，也就無法成功解決問題.那么，如何找到解題的切入點呢？筆者從以下幾方面進行了闡述，供參考！

1 常用解題策略

1.1 回歸定義

數(shù)學概念是數(shù)學學習的基石，是數(shù)學解題的關鍵.然學生應用概念解題時卻顯得格外生疏，其主要原因是學生對概念的學習僅停留于文字的記憶，對其內涵和外延挖掘得較少，使得學生在解題時往往忽視基本概念，故將解題復雜化，浪費寶貴的解題時間.因此，要提升解題效率，應注意定義的回歸.

根據(jù)已知條件變形，找到了滿足等差數(shù)列成立的條件，聯(lián)想等差數(shù)列的概念和通項公式，問題也就迎刃而解了.另外，高中數(shù)學知識分為不同的模塊，每個模塊都涉及不同的概念，若將概念進行串聯(lián)，往往可以找到各個模塊間的聯(lián)系，進而有助于知識體系的建構和解題能力的提升.

1.2 應用公式

公式套用法是高中數(shù)學解題的常用方法之一，其往往更加直接、高效.然高中數(shù)學題型多變，若想應用好公式，學生在記憶公式時也應多關注公式的變形及公式的生成過程，以便在解題時能夠及時捕捉有用信息，利用公式為已知和未知建橋鋪路.

三角公式眾多，如果單憑記憶而不會分析，那么不僅很難發(fā)揮公式法直接、高效的作用，而且容易因公式混淆而出現(xiàn)錯解.因此，在學習時要引導學生關注公式的推理過程，讓學生多理解和掌握常規(guī)公式的變形，進而應用時可以得心應手.

1.3 化繁為簡

化繁為簡顧名思義就是將復雜問題簡單化，從而使思路更加清晰，步驟更加簡單，求解更加容易，解題更加高效.那么，在簡化的過程中，學生要善于找到問題的本質，切勿被復雜的表象所嚇倒.很多數(shù)學問題看似復雜，然若根據(jù)蛛絲馬跡找準切入點，問題便會迎刃而解.

例3已知直線l：(2a+1)x+(a+1)y=7a+4，圓C：(x-1)2+(y-2)2=258，求證：不論a取何實數(shù)，直線l與圓C都有兩個交點.

解析：本題如果運用代數(shù)法，根據(jù)根的判別式進行求解，顯然困難重重，若用幾何法顯然也非常復雜，因此在解題時需要先從全局出發(fā)，將問題簡單化.由于直線l為含字母參數(shù)a的動直線，動直線是否恒過一定點呢？如果恒過的定點正好為圓C內的一點，那么就很容易得出結論.分析至此，可以將題目轉化為“求證直線l恒過圓C內的一定點”，顯然轉化后題目變得更加簡單明了.

學生在遇到動點問題或含參問題時，常會出現(xiàn)畏難情緒，此類問題若用常規(guī)方法求解，往往步驟繁瑣，計算復雜.因此，解題時需要找到準確的切入口，將問題化繁為簡.

1.4 化陌生為熟悉

數(shù)學題目雖然多變，但仔細推敲大多可以根據(jù)題目特點找到解題的通性通法.對于一些綜合性較強、條件較隱藏的問題，要善于將其轉化為典型的、熟悉的數(shù)學模型.利用典型的、熟悉的數(shù)學模型求解，更有利于調動學生原認知，提高解題效率.

例4已知圓的方程為x2+y2=1，點M(x,y)是這個圓上的任意一點，當點M在何位置時x+y或xy取最大值，并求出此時的最大值.

該問題充分利用了x2+y2=1這一關鍵信息，進而將題目轉化為三角函數(shù)問題.數(shù)學學習中要關注知識點間的聯(lián)系，善于建構完整的知識體系，只有這樣才能敏銳地找出問題的切入點，從而通過遷移和轉化順利求解.

1.5 逆向推理

在培養(yǎng)學生數(shù)學解題能力時，要重視培養(yǎng)其思維的變通性和雙向性.當從“正面”求解找不到突破口時，可以嘗試從反面解決；當“順勢”推理碰壁時，可以“逆勢”而行；當存在太多“可能”時，可以從“不可能”入手，以此找到解題的切入點.

解析：本題若從正面求解需要分多種情況，難度較大，故可從反面出發(fā)，逆向思考.從結論“至少有一個”進行分析，若假設a，b，c都小于1，證明將更加容易，應用反證法規(guī)避了分類討論，使得證明思路更加清晰.

1.6 化抽象為具體

抽象的數(shù)學問題往往會使學生產生畏難心理，然很多抽象的數(shù)學問題大多源于生活，因此，求解題時將抽象的問題具體化、形象化，有助于學生深入理解題意，進而找到問題的切入點，輕松解決問題.

例6集合A和集合B各含12個元素，A∩B含有4個元素.①C?(A∪B)，且C含有3個元素；②C∩A≠?.試求同時滿足①和②兩個條件的集合C的個數(shù).

解析：題目較為抽象，不易于理解，解題時可以將其轉化為具體模型.設某班數(shù)學競賽組為集合A，物理競賽組為集合B，數(shù)學和物理競賽組各有12名成員，其中有4人同時參加兩個競賽組(A∩B).現(xiàn)在要從這些學生中選取3人(集合C)參加年級競賽，按照規(guī)定，3人中至少有1人是數(shù)學競賽組的成員，求共有多少種選法.

本題顯然是一個集合中的計數(shù)問題，但是題目較抽象，理解較為困難.為了找到解決問題的切入點，將集合賦予形象化的內容，使問題變得更加具體，進而通過領悟現(xiàn)實問題來體驗集合中的容斥原理，使問題更加簡單形象，解題思路更加清晰.

2 反思與感悟

學生常感覺數(shù)學題目靈活多變，不易求解，其主要有以下兩個原因：一是基礎知識不扎實.部分學生在學習概念、公式、定理時常走馬觀花，感覺只要會解例習題就是學會了，對其內涵、外延的認識不夠，故不能理解其中隱含的數(shù)學知識和數(shù)學思想，以致于不能將各知識點相串聯(lián)，對知識的把握過于簡單化、形式化，進而影響知識的遷移.因此，在教學中應根據(jù)學生特點采取行之有效的方案，如通過背誦、抄寫等形式強化學生對基礎知識的記憶，同時通過總結、歸納、反思將各板塊內容進行梳理，從而形成網絡，為解題提供知識保障.二是缺乏解題經驗，找不到解題的切入點.部分學生雖然有著豐富的知識儲備，但其分析能力較弱，解題時不知該從何做起，不能找到解決問題的切入點，為此應加強訓練，通過多聽(聽教師講解)、多看(觀察題目特征)、多想(類比、聯(lián)想提升分析能力，總結歸納積累解題方法)來提升應用數(shù)學知識的能力.

教師要重視對學生雙基的培養(yǎng)，重視解題方法和解題技巧的積累，以培養(yǎng)學生良好的審題習慣和分析能力，進而根據(jù)題目的“蛛絲馬跡”，找到解題的切入點，從而提升解題能力.