依標(biāo)施教 聚焦素養(yǎng) 全面發(fā)展
——2022年全國乙卷數(shù)學(xué)試題分析

?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)呼和浩特分校 簡貴有

2022年全國乙卷數(shù)學(xué)試題是在雙減政策和即將進(jìn)入新高考的背景下命制的一套試題，試題落實(shí)了立德樹人根本任務(wù)，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，對(duì)常規(guī)教學(xué)具有導(dǎo)向作用.高考結(jié)束后，筆者對(duì)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了訪談，統(tǒng)計(jì)、分析了錯(cuò)題，并讓學(xué)生提出了教學(xué)建議.下面筆者結(jié)合學(xué)生的反饋，從試題結(jié)構(gòu)、試題特點(diǎn)、教學(xué)啟示三方面進(jìn)行試題分析.

1 試題結(jié)構(gòu)

1.1 從試題內(nèi)容上看

從試題內(nèi)容上看，2022年全國乙卷數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)出整體穩(wěn)定，局部有變化，知識(shí)面覆蓋廣，主干知識(shí)突出的特點(diǎn).數(shù)列與不等式、三角函數(shù)、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)依然是考查的重點(diǎn)，主干知識(shí)占比達(dá)到87%.其中，不等式除第23題外沒有單獨(dú)命題，主要融合在數(shù)列、立體幾何、概率等題中考查.

1.2 從試題排布上看

從試題排布上看，本套試卷整體遵循由易到難、循序漸進(jìn)的原則，選擇、填空前幾題都比較簡單，后幾道綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.大題的順序除數(shù)列外與去年基本保持一致.對(duì)比2021年，難度上理科試題有了不小的提升，文科試題難度較為平穩(wěn).

2 試題特點(diǎn)

2.1 設(shè)置多樣情境，發(fā)揮育人作用

2022年全國乙卷數(shù)學(xué)試題設(shè)置了多種情境，例如，理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月后繼續(xù)深空探測為情境，第10題以實(shí)際生活中的下棋比賽為背景，文理科第19題以經(jīng)過多年的環(huán)境治理將荒山改造成綠水青山為背景，考查學(xué)生分析解決實(shí)際問題的能力，引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)從“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變，同時(shí)在具體情境中，命題也體現(xiàn)了育人的功能.

以上三道情境化試題共計(jì)22分，占比14.7%.這三道題即使拋開情境設(shè)置，就題目本身而言，也都不簡單，需要學(xué)生仔細(xì)觀察，冷靜思考，才能找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q辦法.第4題題目新穎，學(xué)生反饋能讀懂題，但是不會(huì)比較大小.第10題部分學(xué)生不會(huì)處理p1,p2,p3不相等的情況.第19題第二問給出的數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)公式不匹配，學(xué)生沒有時(shí)間或不會(huì)推導(dǎo)公式，第三問更沒有信心去完成.考生在考試結(jié)束后回看第三問，感覺其實(shí)能得分，如果把第二問和第三問交換一下位置，這道題的得分率還會(huì)提高.

基于此，在今后的教學(xué)中，要把知識(shí)融合到現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行教學(xué)，以鍛煉學(xué)生快速提取關(guān)鍵信息的能力.

2.2 落實(shí)了高考評(píng)價(jià)體系的要求

高考評(píng)價(jià)體系的“一核四層四翼”中明確了高考考查的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性[1].

本套試題注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的考查.理科試卷第1，2，3，5，6，7，8，13，14題，文科試卷第1～6題與第9題，突出考查知識(shí)的基礎(chǔ)性、全面性.比如第5題考查拋物線的定義，第8題考查數(shù)列運(yùn)算的基本量法.這都是對(duì)課本最基本內(nèi)容的考查.

試題考查基礎(chǔ)性的同時(shí)，也很好地體現(xiàn)了綜合性.如，理科試卷第12，16，21題，文科試卷第16，20題考查函數(shù)性質(zhì)、圖象和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生除了具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外還要通過觀察分析、抽象概括、推理運(yùn)算、探索嘗試才能解決.

另外，綜合性還體現(xiàn)在不同知識(shí)板塊的糅合命題上.例如，理科第4題需要數(shù)列和不等式的知識(shí)；第9題載體是立體幾何，但需要用到導(dǎo)數(shù)或不等式才能求解；第10題用到了概率統(tǒng)計(jì)和不等式；第11題是解析幾何與三角函數(shù)相結(jié)合.

2022年乙卷數(shù)學(xué)試題在情境創(chuàng)設(shè)、試題載體、知識(shí)融合上很好地體現(xiàn)了創(chuàng)新性，考查學(xué)生在面對(duì)新問題時(shí)的思維品質(zhì).有利于選拔創(chuàng)新性人才.

理科第4題就是一道創(chuàng)新性的題目.考試結(jié)束后，學(xué)生反饋能夠讀懂題，但是不會(huì)比較大小，因?yàn)橛贸Ｒ姷淖鞑罘ê妥魃谭ǘ紱]有辦法解決這個(gè)問題.其實(shí)，如果考生在考場上能夠冷靜思考，仔細(xì)觀察，還是能夠找到解決辦法.下面我們一起來看一下理科第4題：

A.b1

C.b6

方法一：可以通過相鄰兩項(xiàng)分母之間的大小關(guān)系來比較相鄰兩項(xiàng)的大小，很容易得到b1>b2，b2b2，b4

本題綜合考查了數(shù)列、不等式的基本知識(shí)，試題很新穎，需要考生具備較強(qiáng)的心理素質(zhì).方法一要求學(xué)生要有較好的邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算的素養(yǎng)；方法二體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程；方法三通過觀察對(duì)比選項(xiàng)中兩項(xiàng)之間的不同點(diǎn)，然后用不等式的性質(zhì)直接比較大小.這道題從試題情境和解法上都屬于創(chuàng)新題.

這道題考查學(xué)生臨場解決問題的能力，與平時(shí)刷多少題沒有太大關(guān)系.在平時(shí)教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題.

2.3 體現(xiàn)了學(xué)科素養(yǎng)

本套試題很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，讓我們深刻感受到這些素養(yǎng)是可以考查的，幾乎每道題都包含一種或多種素養(yǎng).2022年的高考數(shù)學(xué)試題靠機(jī)械刷題是拿不到高分的，這引導(dǎo)教師的日常教學(xué)要向培養(yǎng)學(xué)生能力的方向轉(zhuǎn)變.例如，理科第9題：

已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為( ).

這道題的難點(diǎn)在于四棱錐的底面是什么形狀不確定，首先要通過邏輯推理得到體積最大的時(shí)候底面一定為正方形，才能夠進(jìn)行下一步的設(shè)量和求值.在設(shè)量的過程中可以設(shè)底面ABCD所在圓的半徑為r，最后轉(zhuǎn)化成不等式去求解；也可以直接設(shè)點(diǎn)O到底面的距離h，列出關(guān)系式后，通過求導(dǎo)去解決.

圖1

方法一：設(shè)底面所在圓的半徑r，四棱錐的高為h.因?yàn)閞2+h2=1，所以

本題考查球體內(nèi)四棱錐體積的最大值問題，與傳統(tǒng)的外接球、內(nèi)切球模型不同.計(jì)算時(shí)用到了導(dǎo)數(shù)或不等式.要求學(xué)生具備直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.4 增加了開放性試題

2020年國務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》中提出“穩(wěn)步推進(jìn)高考改革，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性”.理科第14題文科第15題就是在這一背景下命制的試題：

過四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

本題給出4個(gè)點(diǎn)，要求任意選取3個(gè)點(diǎn)作為條件寫出一個(gè)圓的方程，這是一道結(jié)論開放性試題，給學(xué)生提供了自由選擇的空間.本題難度不大，但是如果學(xué)生不注意觀察題中點(diǎn)的位置，容易增加計(jì)算量.

學(xué)生如果觀察到(0，0)，(4，0)，(4，2)這三個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)直角三角形(如圖2)，那么就可以直接寫出一個(gè)圓的方程，從而減少計(jì)算量.解答這道題時(shí)，需要學(xué)生有一定的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

圖2

2.5 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查

根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系的整體框架，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)科提煉出五項(xiàng)關(guān)鍵能力：邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力[1].

推理是數(shù)學(xué)的命根子，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功.數(shù)學(xué)育人的基本路徑是對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)地邏輯思維訓(xùn)練，訓(xùn)練的基本手段是讓學(xué)生進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，要在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性、運(yùn)算的正確性和算法上的有效性上有要求[2].

2022年全國乙卷數(shù)學(xué)試題在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算上考查得比較多，6月7日學(xué)生走出考場反饋?zhàn)疃嗟木褪菙?shù)學(xué)難、算不完.理科第12，16，20，21題不僅思維難度大，計(jì)算量也大.例如，理科第16題：

已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>1,a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

這道題考查極值點(diǎn)、切線和導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，用到了分類討論思想，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量也大.這道題有以下兩種解法.

方法一：我們可以通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把它轉(zhuǎn)化成切線問題去處理.

因?yàn)閒′(x)=2lna·ax-2ex，所以方程lna·ax=ex的兩個(gè)根為x1,x2，即函數(shù)y=lna·ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且x10，即y=ex圖象在y=lna·ax下方，a>1的圖象顯然不符合題意，所以0

圖3

方法二：我們可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，通過圖象解決.

這道題的兩種方法，方法一計(jì)算量大，思維難度也大，方法二思維難度大，但計(jì)算量相對(duì)小.這兩種方法都體現(xiàn)了試卷對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和關(guān)鍵能力的考查，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合能力才能應(yīng)對(duì).

2.6 宏觀大氣，方法靈活

2022年全國乙卷命題宏觀大氣，題目設(shè)置靈活，方法多樣.對(duì)于同一個(gè)題目，不同的學(xué)生有不同的認(rèn)知和理解，他們可以按照自己熟悉擅長的方法得到正確結(jié)果.雖然解決路徑不同，但是“歸口”相同.比如，理科第4，7，8，9，10，11，16，18，20，21題都有多種解法.下面以第18題第(2)問為例：

如圖4，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn).

圖4

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

此題第(1)問(略)，下面看第(2)問的解法.

方法一：可以通過建系的辦法解決.

這道題有兩種不同的解決方法，一種是通過建系的方法去解決，另一種是通過幾何法去解決.不同的學(xué)生可以選用不同的方法，體現(xiàn)了試卷命題宏觀大氣、方法多樣的特點(diǎn).

3 教學(xué)啟示

3.1 依標(biāo)施教，落實(shí)素養(yǎng)

高考是教學(xué)的一種評(píng)價(jià)手段，對(duì)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用.

2022年的乙卷試題很好地體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本、落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).試題兼具基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性、創(chuàng)新性.通過合理設(shè)置情境，啟發(fā)學(xué)生思考，從而達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的.

這啟示我們課堂教學(xué)要緊扣課標(biāo)，依據(jù)課標(biāo)制定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置合理情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增設(shè)學(xué)生活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生合作探究、深入思考，確保核心素養(yǎng)落地.

3.2 緊扣教材，注重基礎(chǔ)

2022年的高考數(shù)學(xué)比較難，但是學(xué)生成績也不低.原因是學(xué)生能夠把基礎(chǔ)題的分?jǐn)?shù)拿到.

這給我們的啟示是：依據(jù)課標(biāo)和學(xué)情制定教學(xué)目標(biāo)后要緊扣教材，落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.在教學(xué)中要重視學(xué)生對(duì)基本概念和基本原理的理解，通過合理的設(shè)計(jì)讓學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

比如第19題第(2)問，當(dāng)公式不匹配時(shí)，學(xué)生束手無策，說明學(xué)生沒有理解兩個(gè)公式之間的聯(lián)系，提醒教師在教學(xué)中要重視基本原理、基本公式的推理.

3.3 重視過程評(píng)價(jià)，及時(shí)反饋

合理的教學(xué)評(píng)價(jià)可以及時(shí)反饋教學(xué)中存在的問題，有利于教師做針對(duì)性的改正或補(bǔ)救，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)形成準(zhǔn)確的深層次理解.比如，對(duì)于理科第10題，個(gè)別學(xué)生因?yàn)椴粫?huì)處理三個(gè)概率不相等的情況，導(dǎo)致失分.

教學(xué)中不僅要有最后的檢測性評(píng)價(jià)，也要有過程性評(píng)價(jià).課堂上教師要目中有生，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的聽課反應(yīng)，可以通過觀察、提問、當(dāng)堂練及時(shí)了解學(xué)生的掌握程度，便于靈活調(diào)節(jié)課堂節(jié)奏.

3.4 提高運(yùn)算能力，規(guī)范書寫表達(dá)

2022年的試卷計(jì)算量很大，很多學(xué)生不能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)把自己會(huì)的題目都答完，留下了遺憾.

這給我們的啟示是：數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)一定要在平時(shí)培養(yǎng)，不僅要訓(xùn)練運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化算法.在數(shù)列、解析幾何這兩個(gè)板塊的教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.另外，規(guī)范書寫表達(dá)也要作為一種習(xí)慣在平時(shí)培養(yǎng).

2022年的高考數(shù)學(xué)試題對(duì)常規(guī)教學(xué)起到了很好的引領(lǐng)作用，它要求教師在課堂上立足于落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重視基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力.教師要由教者變成引導(dǎo)者，在具體情境中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、感悟知識(shí)生成的過程，形成解決問題的能力.