“數(shù)形結(jié)合”解題的實(shí)用技巧：“化用”法

?西南大學(xué)附屬中學(xué) 李 偉

1 引言

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，在學(xué)生的直觀印象中，“數(shù)”就是代數(shù)，需要計(jì)算，“形”就是幾何，需要證明；但實(shí)際上，“數(shù)”與“形”是你中有我，我中有你，“數(shù)”與“形”是可以互相轉(zhuǎn)化，密不可分的.“數(shù)形結(jié)合”的思想，就是抓住“數(shù)”與“形”之間的這種密切關(guān)系[1]，通過(guò)“化用”(借用、套用、靈活運(yùn)用)“數(shù)”與“形”之間的某種關(guān)系或聯(lián)系，快速找到解決問(wèn)題的突破口.下面通過(guò)典型實(shí)例的解析，簡(jiǎn)述“化用”法在解題中的一些運(yùn)用方法與技巧.

2 “化用”法在解題中的運(yùn)用技巧

2.1 化用“兩點(diǎn)間的距離”

提起兩點(diǎn)間的距離，我們馬上會(huì)聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，靈活化用兩點(diǎn)間的距離公式，不僅能夠輕松求解函數(shù)圖象上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)的坐標(biāo)，還能夠幫助我們開(kāi)闊思路，解決有關(guān)圖形、線段的證明，求函數(shù)的極值等較復(fù)雜的問(wèn)題.

方法與技巧：證明本題，首先要考慮如何選擇點(diǎn)的坐標(biāo)，使其滿足題設(shè)和待證式的要求.通過(guò)觀察不等式的左右兩邊，我們可以聯(lián)想“化用”兩點(diǎn)間的距離公式，把待證式看作兩線段之和不小于第三條線段，只需三線段能組成三角形即可.

2.2 化用“拋物線的方程”

對(duì)于有些求函數(shù)極值的問(wèn)題，當(dāng)直接求解有困難時(shí)，我們可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用設(shè)參數(shù)換元的方法來(lái)解決.

圖1

2.3 化用“點(diǎn)到直線的距離”

運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，不僅可以把平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，還可以解決關(guān)于求點(diǎn)的坐標(biāo)、求方程、證明平行線、解三角形、證明線段相等等許多相關(guān)問(wèn)題.

證明：如圖2，設(shè)A(a，b)，B(x，y)，O為原點(diǎn)，作OH⊥AB于點(diǎn)H，那么在uOv坐標(biāo)系中，直線AB的方程為(b-y)u-(a-x)v+ay-bx=0.

圖2

根據(jù)點(diǎn)O到AB的距離，可知

上式變形，得(ay-bx)2=|OH|2·[(x-a)2+(y-b)2]，與已知條件中的等式比較，可令|OH|2=c2.顯然，|OH|2≤|OB|2，|OH|2≤|OA|2，所以c2≤x2+y2，c2≤a2+b2.

2.4 化用“平行線間的距離”

化用兩“平行線間的距離處處相等”的性質(zhì)，可以輕松快捷地解決與直線或平行線相關(guān)的計(jì)算、證明等問(wèn)題.

例4已知a，b，x，y∈R，且a+2b+4=0，x+2y+1=0，求證：(a+x)2+(b+y)2≥5.

證明：待證式的左邊可看作是點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(-x，-y)間的距離的平方.已知條件說(shuō)明點(diǎn)(a，b)在直線l1:x+2y+4=0上，點(diǎn)(-x，-y)在直線l2:x+2y-1=0上，且l1//l2.

顯然，兩平行直線上任意兩點(diǎn)間的距離不小于這兩條平行線間的距離.

故(a+x)2+(b+y)2≥5.

方法與技巧：從本題的證明過(guò)程可以看出“化用”的技巧,對(duì)形如ab+cd=k的式子，可以將其看作點(diǎn)(a，c)在直線bx+dy=k上，或者根據(jù)證明的需要將其看作點(diǎn)(a，d)在直線bx+cy=k上.

2.5 化用“直線的方程”

化用直線的方程或者靈活運(yùn)用同一條直線的不同形式，可以使恒等式的證明過(guò)程變得簡(jiǎn)捷明快.

證明：由3sin2α+2sin2β=1變形，得3sin2α-cos 2β=0.又3sin 2α-2sin 2β=0，所以點(diǎn)A(sin2α，cos 2β)，B(sin 2α，2sin 2β)在直線3x-y=0上.

①

方法與技巧：本題巧妙地利用同一直線的兩種不同的表示形式來(lái)證明等式，化用嫻熟自然，輕松自如，水到渠成.

2.6 化用“勾股定理”構(gòu)圖

勾股定理不僅是解直角三角形的一把鑰匙，還可以通過(guò)靈活運(yùn)用勾股定理構(gòu)圖，把一些較復(fù)雜的函數(shù)、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題來(lái)解決.

圖3

故f(a)-f(b)

2.7 化用“正、余弦定理”構(gòu)圖

正弦定理和余弦定理，是解決與三角形有關(guān)問(wèn)題的重要工具，如果我們能夠?qū)φ?、余弦定理加以變通、變形、?gòu)圖并結(jié)合其他知識(shí)綜合運(yùn)用，會(huì)使解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)便、靈活[2].

證明：作如圖4所示的三角形，則

圖4

在△AOB中，根據(jù)正弦定理，有

所以AB≥sin 120°·(a+b).

3 總結(jié)

從以上典型例題的解析可以看出，數(shù)形結(jié)合的思想，特別是“化用”法，具有形象直觀、簡(jiǎn)捷明快、方法靈活、應(yīng)用廣泛、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).掌握“化用”技巧的關(guān)鍵是要多類比、多聯(lián)想、多思考、勤練習(xí)；在具體解題過(guò)程中，還要確保圖形的完整性、準(zhǔn)確性、一般性和存在性.