一堂“均值與方差的實際應(yīng)用”課的選題立意

?江蘇省無錫市青山高級中學(xué) 魏 慧

1 背景

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動四條主線，而且數(shù)學(xué)建?；顒又幸舶ǜ怕逝c統(tǒng)計的應(yīng)用，所以“概率與統(tǒng)計”在高中數(shù)學(xué)課程中的地位更高了.高考中概率統(tǒng)計內(nèi)容的考查試題富有時代氣息，基于生產(chǎn)、生活、科研等背景，展現(xiàn)“互聯(lián)網(wǎng)+”大數(shù)據(jù)時代特色.通過創(chuàng)設(shè)源于社會生活中的真實情境，注重學(xué)生解決實際問題的能力，以此考查學(xué)生的閱讀、識圖、計算、表達等能力，以及數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

為了更清楚地了解概率與統(tǒng)計在全國卷中的考查情況，筆者統(tǒng)計了近七年全國卷中概率統(tǒng)計大題考查位置和具體方向.筆者發(fā)現(xiàn)其中均值與方差部分的考查頻繁，并對此類問題進行了研究歸納，然后以此為方向在一次無錫市級公開課中執(zhí)教的一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)研討課“均值與方差在實際問題中的應(yīng)用”，獲得了專家好評.下面對本節(jié)課的選題立意作出整理和說明，希望得到同行和專家的指正.

2 例題及選題立意

例1(2017年全國Ⅱ卷)養(yǎng)殖場進行水產(chǎn)品的新、舊養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如圖1與圖2：

圖1 舊養(yǎng)殖法

圖2 新養(yǎng)殖法

請根據(jù)頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

方法二：通過觀察兩種養(yǎng)殖法下水箱的產(chǎn)量頻率分布直方圖可以看出，舊養(yǎng)殖法下每箱均產(chǎn)量在45～50 kg，新養(yǎng)殖法下每箱均產(chǎn)量在50～55 kg，而且新養(yǎng)殖法比舊養(yǎng)殖法分布更集中.說明新養(yǎng)殖法產(chǎn)量高且穩(wěn)定.

題目特點：產(chǎn)量信息統(tǒng)計以頻率分布直方圖呈現(xiàn)，直觀明了，但是數(shù)據(jù)多不利于計算；問題較含蓄，比較優(yōu)劣的維度需要選擇.

選題立意：(1)關(guān)于均值和方差的比較，常規(guī)方向是選擇計算，因此學(xué)生容易產(chǎn)生慣性思維.其實還有一個方向，那就是在不需要具體數(shù)據(jù)的前提下，如果頻率分布兩邊較對稱，可以大致看出產(chǎn)量的均值和集中程度.

(2)這是一個半開放式問題，學(xué)生不但要會做題，還要會表達.新課程標準提出要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，也要會用數(shù)學(xué)的語言表達世界.

(3)這是一道較為簡單的均值、方差公式運用問題，為例2作鋪墊.

解析：設(shè)方案一的日薪為X，則X=152,154,156,158,160，可得

E(X)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4(元).

設(shè)方案二的日薪為Y，則Y=140,152,176,200,可得E(Y)=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6(元).

又發(fā)現(xiàn)方案一日薪的分布比方案二更集中，說明方案一的收入更穩(wěn)定.

回答一：雖然方案二日薪均值相對略高，但與方案一的差距很小，且方案二的方差遠大于方案一，說明波動性大，風(fēng)險大，所以選擇方案一.

回答二：方案二日薪均值較高，故選擇方案二.

題目特點：題目篇幅較長信息數(shù)據(jù)多；問題委婉，決策標準需要選擇.

選題立意：(1)解答本題既要會閱讀圖表語言也要會閱讀文字語言、符號語言，如果沒有相應(yīng)的知識作為基礎(chǔ)，讀起來晦澀難懂，無法抓住題目的有效信息和關(guān)鍵.

(2)需要整合數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)信息多、亂、雜，需要學(xué)生分析材料，準確找出材料中的關(guān)鍵信息，并結(jié)合所有核心信息選擇合適的方法重新整合.

(3)匹配數(shù)學(xué)模型.能聯(lián)想學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)模型，進行融合，得出解決策略.

(4)數(shù)據(jù)分析.決策性問題的結(jié)論需要數(shù)據(jù)又不完全依賴數(shù)據(jù).本題中兩個方案的均值非常接近，但當(dāng)決策者要求不同，可能會有不一樣的決策方案.

例3新能源汽車技術(shù)日益成熟，產(chǎn)品越來越受到大家歡迎.某新能源汽車在A地預(yù)售，預(yù)售場面異?；鸨越?jīng)銷商決定采用競價策略，規(guī)則如下：(1)競價者網(wǎng)絡(luò)報價，不知道其他競價者的報價和參與競價的總?cè)藬?shù)；(2)當(dāng)月競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期汽車配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某市場調(diào)研機構(gòu)利用回歸分析預(yù)測了今年11月份擬參加競價的人數(shù)為2萬,并對其中200位競價人員的報價進行了抽樣調(diào)查，得到如下表的頻數(shù)表：

報價區(qū)間/萬元[6,8)[8,10)[10,12)頻數(shù)206060報價區(qū)間/萬元[12,14)[14,16)[16,18)頻數(shù)302010

易得s2=6.8，且x～N(11,6.8).

設(shè)最低成交價為x0(x0≥μ),則

又P(μ-σ

故今年11月份預(yù)測的最低成交價為13.6萬元.

題目特點：問題背景新潮實際，題目篇幅長、信息數(shù)據(jù)多；正態(tài)分布的均值與方差的應(yīng)用.

選題立意：(1)本題以統(tǒng)計思想為引導(dǎo)，從統(tǒng)計角度求得概率，讓概率為統(tǒng)計服務(wù)，考查樣本估計總體的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

(2)本題是例1和例2用均值和方差作為決策依據(jù)的延伸，考查等價轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合思想.

(3)考查正態(tài)分布的含義.

3 教學(xué)反思

有關(guān)概率統(tǒng)計應(yīng)用部分的教學(xué)選題，要側(cè)重關(guān)注以下三個方面：

(1)關(guān)注閱讀，培養(yǎng)讀功

高考越來越重視對數(shù)學(xué)閱讀能力的考查.理解數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)閱讀的核心問題，需加強三種類型數(shù)學(xué)語言的閱讀：一是圖表語言；二是實際生活語言；三是復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生在短時間內(nèi)用統(tǒng)計的眼光閱讀材料，整合數(shù)據(jù)，進而解決問題的能力.

(2)關(guān)注運算，培養(yǎng)算功

從課標卷來看，概率計算問題，既注重計算概率的基本根據(jù)——計數(shù)原理的應(yīng)用，更注重從統(tǒng)計的觀點來計算概率，尤其在統(tǒng)計與概率的解答題中體現(xiàn)地淋漓盡致，是新課標理念的極致體現(xiàn).一方面要加強必備知識和主線核心內(nèi)容，熟練使用公式和常用數(shù)學(xué)模型，注意運算技巧；另一方面也要關(guān)注統(tǒng)計圖表的本質(zhì)，在一些決策問題上能多想一點、少算一點.

(3)關(guān)注表達，培養(yǎng)說功

增加對數(shù)據(jù)解釋的開放性，包容多種解釋，學(xué)生只要給出一種解釋，或者其他合理的解釋都可以.鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地回答問題，體會評價的滿意原則和加分原則.培養(yǎng)學(xué)生用統(tǒng)計語言去表達實際問題和形成決策知識的能力，體現(xiàn)統(tǒng)計的應(yīng)用價值.