基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“空間向量及其運(yùn)算(1)”為例

?江蘇省邗江中學(xué) 王瑞丁

1 學(xué)情及目標(biāo)分析

1.1 學(xué)情分析

學(xué)生在必修二中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的相關(guān)概念及運(yùn)算，但對(duì)于如何使用已知的一組基底表示平面內(nèi)的任意向量往往會(huì)有畏難情緒和思維障礙[1]，所以本節(jié)課要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，特別是在證明四點(diǎn)共面的問題上，教師在引導(dǎo)的過程中，要讓學(xué)生多參與、多思考、多交流，從而培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.

1.2 目標(biāo)分析

(1)理解空間向量的相關(guān)定義，掌握空間向量的線性運(yùn)算(重點(diǎn)).

(2)理解方向向量和共面向量的定義，通過類比平面向量共線的充要條件及平面向量基本定理，探究空間向量共線及共面的充要條件(難點(diǎn)).

(3)掌握空間中的“共線向量定理”及其應(yīng)用(重點(diǎn)).

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

春節(jié)期間，小明游覽廣州白云山(O)后，乘坐地鐵到花城廣場(chǎng)(A)觀賞珠江，然后抵達(dá)廣州塔(B)游玩，如圖1，小明的實(shí)際位移是什么？什么數(shù)學(xué)概念可以用來表示其位移過程？

圖1

小明如果還要登上廣州塔頂端(D)俯瞰廣州漂亮的景色，如圖2所示，那其實(shí)際位移是什么？該怎樣表示這個(gè)過程呢？

圖2

設(shè)計(jì)意圖：情境導(dǎo)入通過展示廣州白云山及珠江的圖片，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，既縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，又增強(qiáng)了民族自豪感.同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過平面向量知識(shí)類比學(xué)習(xí)空間向量，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)空間向量的加減法運(yùn)算作鋪墊.

2.2 類比探究，揭示規(guī)律

思考1：基本概念的類比

平面向量中我們學(xué)習(xí)過哪些基本概念？類比平面向量所學(xué)的基本概念，是否同樣可以得到空間向量的基本概念？

平面向量空間向量定義既有大小又有方向的量平移自由向量,平移后不發(fā)生改變表示法幾何表示:→字母表示:a,AB→向量的模向量的大小a,AB→相等向量方向相同且長(zhǎng)度相等相反向量方向相反且長(zhǎng)度相等單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量零向量長(zhǎng)度為0的向量

思考2：線性運(yùn)算法則的類比

在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了哪些運(yùn)算法則？在空間向量中，這些運(yùn)算法則是否適用？

平面向量空間向量加法運(yùn)算三角形法則或平行四邊形法則減法運(yùn)算三角形法則數(shù)乘運(yùn)算ka(k為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零)

思考3：運(yùn)算律的類比

前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的哪些運(yùn)算律？這些平面向量的運(yùn)算律在空間向量中是否成立？

平面向量空間向量加法交換律a+b=b+a加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b)+c向量和實(shí)數(shù)的加法分配律λ(a+b)=λa+λb(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a

思考4：共線向量的類比

在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了共線向量，那么對(duì)于空間向量，結(jié)論是否仍然成立？

探究1對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b，如果a=λb(λ∈R)，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b有什么位置關(guān)系時(shí)，a=λb？

探究2對(duì)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量a，b，由平面向量基本定理可知，這個(gè)平面的任意一個(gè)向量p可以寫成p=xa+yb，其中(x,y)是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì).對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p=xa+yb？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于平面向量的知識(shí)脈絡(luò)，學(xué)生掌握得比較透徹，空間向量的知識(shí)體系與其具有高度的相似性，讓學(xué)生自己去閱讀、比較、辨別、思悟，從平面向量到空間向量，從二維到三維，體會(huì)概念的類比過程.通過深入類比，學(xué)生的思維逐步過渡到空間向量；通過概念辨析，加深學(xué)生對(duì)向量?jī)?nèi)涵與外延的理解，突破重難點(diǎn)；通過歸納知識(shí)點(diǎn)和方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)類比、歸類、整理意識(shí).

2.3 典型剖析，鞏固提升

例1在正方體ABCD-A′B′C′D′中：

例2已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列各式：

圖3

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題，通過例題鞏固、理解空間向量基本概念，會(huì)用線性運(yùn)算法則、共線定理解決實(shí)際問題.進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理核心素養(yǎng).

2.4 反思回顧，自主總結(jié)

(1)空間向量的基本概念.(2)空間向量的線性運(yùn)算法則及運(yùn)算律.(3)運(yùn)算律.(4)共線向量：①定義；②方向向量；③共線定理.

結(jié)論1：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量.

結(jié)論2：三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體對(duì)角線所表示的向量.

設(shè)計(jì)意圖：系統(tǒng)梳理整節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

2.5 課后作業(yè)

(1)(多選)下列命題，錯(cuò)誤的是( ).

A.若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|

B.若|a|>|b|，則a>b

C.若a=b，則||a|=|b|

D.若|a|=|b|，則a=b或a=-b

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

3 小結(jié)

教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾說過：“影響學(xué)生唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.”[2]

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生回憶平面向量的基本知識(shí)，在回憶舊知識(shí)的過程中，學(xué)生通過自行類比探究空間向量的新概念與知識(shí)；而在解決例題的過程中，學(xué)生需要使用線性運(yùn)算法則、共線定理等，符合學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展順序.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)立足于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、合作、探究、交流的過程，螺旋式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等核心素養(yǎng).