高中數(shù)學(xué)中有關(guān)恒成立問題的解題策略探析

王灝

摘 要：在高中數(shù)學(xué)問題中，常見的一個(gè)問題就是恒成立的問題.面對這個(gè)問題，很多學(xué)生找不到合適的解題思路，從而感覺這類問題較難.實(shí)際上在面對這類問題的過程中可以合理采用方程和函數(shù)的思想通過一些數(shù)學(xué)方式實(shí)現(xiàn)對這個(gè)問題的解決.本文結(jié)合例題來對高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題策略與技巧進(jìn)行說明，希望對高中學(xué)生解決恒成立問題提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；恒成立問題；解題策略

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題主要出現(xiàn)在函數(shù)當(dāng)中，在已知條件下，不管題型中的變量出現(xiàn)怎么樣的變化，最后的解惑和命題都能夠成立.這種恒成立的問題主要考察的是學(xué)生的抽象思維能力、推理能力以及數(shù)形結(jié)合能力，所以恒成立問題能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力，但是恒成立問題的解決過程中需要找到合理的解題思路和方式，并且能夠在解題的過程中靈活運(yùn)用相應(yīng)的公式，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.以下將結(jié)合例題對恒成立問題進(jìn)行說明.

1?一次函數(shù)的恒成立問題

例1?已知一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+3m+4，若對任意x∈［-2，2］，則f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍.

解析：通過對這個(gè)問題的觀察，首先要滿足一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+3m+4，就需要m-6≠0，即m≠6.同時(shí)根據(jù)任意x∈［-2，2］，則f（x）＞0恒成立這個(gè)條件就可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化成（m-6）x+3m+4＞0在x∈［-2，2］下恒成立.要使這樣的關(guān)系成立就需要 f（-2）＞0， f（2）＞0成立，從而進(jìn)一步計(jì)算就能夠得到m的取值范圍.

例2?已知實(shí)數(shù)a滿足｜a|≤1，要使x²+ax+1＞2a+x恒成立，則x的取值范圍是？

分析：通過對例題2的分析可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)式子中出現(xiàn)了兩個(gè)字母a和x，所以在解題的過程中進(jìn)行變量的選擇就是非常重要的.根據(jù)題意實(shí)數(shù)a滿足|a|≤1，所以就可以將a來作為自變量，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)換成在［-1，1］內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù) f（a）=（x-2）a+x²-x+1＞0恒成立.這樣就可以得到 f（-1）=x²-2x+3＞0， f（1）=x²-1＞0繼續(xù)求解就可以得到x的取值范圍.

回顧：兩個(gè)例題都是關(guān)于一次函數(shù)的恒成立關(guān)系的問題，當(dāng)y=f（x）在［x₁，x₂］內(nèi)恒有f（x）＞0這樣的情況就可以根據(jù)一次函數(shù)的特性來得到f（x₁）＞0，f（x₂）＞0這樣的關(guān)系，反之若在［x₁，x₂］內(nèi)恒有f（x）＜0，則可以得到f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，這樣就能夠?qū)﹃P(guān)系式中另一個(gè)未知數(shù)的取值范圍進(jìn)行計(jì)算，從而得到所求未知數(shù)的取值范圍.

2?二次函數(shù)的恒成立問題

例3?函數(shù)f（x）=x²-2ax+2≥0在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范圍.

分析：通過對題意的分析，可以將本題理解為二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，來對對稱軸和區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論.這樣就需要對原函數(shù)進(jìn)行變形處理得到f（x）=（x-a）²-a²+2，所以該函數(shù)的對稱軸為x=a，然后對 f（x）的最小值進(jìn)行分析，所以如果函數(shù)的對稱軸在［-1，1］的左邊，也就是a＜-1時(shí)， f（x）的最小值就是f（-1），這樣就能夠得到一個(gè)關(guān)于a的取值范圍；如果對稱軸在［-1，1］內(nèi)，也就是-1≤a≤1時(shí)，這時(shí)f（x）的最小值就是f（a），同樣能夠得到一個(gè)關(guān)于a的取值范圍；如果函數(shù)的對稱軸在［-1，1］的右邊，也就是a＞1時(shí)，這時(shí)f（x）的最小值就是f（1），這樣又得到一個(gè)關(guān)于a的取值范圍.然后對范圍進(jìn)行綜合就能夠得到a的取值范圍.

例4?函數(shù)f（x）=x²-2ax+2≥-1在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范圍.

回顧：關(guān)于二次函數(shù)的恒成立問題，解題思路需要結(jié)合實(shí)際情況來進(jìn)行轉(zhuǎn)變，如果是關(guān)于二次函數(shù)在全體實(shí)數(shù)上恒成立問題，就需要對二次函數(shù)的開口方向以及Δ這兩個(gè)問題進(jìn)行討論.相對來說是比較簡單的.如果是關(guān)于二次函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上恒成立問題就需要將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例題3和例題4就是關(guān)于二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，在解題的過程中分別采用了兩種不同的方式來進(jìn)行求解，這也是解決這類問題常用的兩種方式，能夠很好地解決恒成立問題.

3?變量分離的恒成立問題

例5?若對任意的實(shí)數(shù)x，sin²x+2kcosx-2k-2＜0恒成立，求k的取值范圍.

分析：首先對題目進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)sin²x+2kcosx-2k-2＜0中有sin²x，cosx這兩個(gè)同角三角函數(shù)，所以需要將兩者轉(zhuǎn)換成相同的表達(dá)方式，根據(jù)sin²x+cos²x=1這樣的三角函數(shù)關(guān)系就可以將原函數(shù)變形為cos²x-2kcosx+2k+1＞0.這樣就可以通過換元的方式來處理原函數(shù)，令cosx=a，a∈［-1，1］，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為a²-2ka+2k+1＞0在［-1，1］上恒成立，令f（a）=a²-2ka+2k+1，并對函數(shù)f（a）進(jìn)行變形處理：f（a）=（a-k）²-k²+2k+1，所以函數(shù)的對稱軸為a=k，這樣就將函數(shù)恒成立的問題轉(zhuǎn)化成求最值，討論函數(shù)對稱軸于區(qū)間的關(guān)系.這時(shí)后續(xù)的求解過程就與例題3相同.

回顧：本題主要是考查學(xué)生對三角函數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)恒成立問題的考察.在同角三角函數(shù)中sin²x+cos²x=1，這是一個(gè)非常重要的關(guān)系，靈活應(yīng)用這個(gè)關(guān)系可以有效地解決三角函數(shù)的相關(guān)問題.同時(shí)需要注意的是x是任意實(shí)數(shù)，那么必然就存在-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1這樣的關(guān)系.所以在例題5的解題過程中不能夠忽略這個(gè)問題.如果忽略了這個(gè)三角函數(shù)值的范圍就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)的計(jì)算會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致最后的結(jié)果也出現(xiàn)錯(cuò)誤.

4?結(jié)語

綜上所述，文章通過例題的方式來說明了高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的形式，然后通過詳細(xì)的例題分析以及例題解析來對恒成立問題進(jìn)行了詳細(xì)的解題說明.恒成立問題在高中數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位.采用正確的解題方式來對這類問題進(jìn)行解答能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.本文希望能夠?yàn)閷W(xué)生解決恒成立問題提供一定的幫助.

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