規(guī)律教學(xué)的關(guān)鍵：觀察、概括、證明與運(yùn)用

張海華

摘 要：初中數(shù)學(xué)中規(guī)律教學(xué)無(wú)處不在，包括從具體的情境中抽象概括出新的數(shù)學(xué)概念，運(yùn)算法則（規(guī)律）的總結(jié)，再到很多習(xí)題中的規(guī)律問(wèn)題，等等.如何開(kāi)展規(guī)律問(wèn)題的教學(xué)值得深入研究.在進(jìn)行八年級(jí)“探究?jī)晌粩?shù)相乘的規(guī)律”的教學(xué)時(shí)，教師要辨析小學(xué)與初中的學(xué)段特征，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)并概括規(guī)律，用含字母的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行描述，接著運(yùn)用所學(xué)的整式乘法、因式分解等知識(shí)進(jìn)行證明，最后運(yùn)用規(guī)律解決新的問(wèn)題.這樣的解題教學(xué)過(guò)程就是帶領(lǐng)學(xué)生“深度思考”的過(guò)程，同時(shí)，在解題教學(xué)的對(duì)話過(guò)程中，教師也要修煉和精進(jìn)“善于聆聽(tīng)”的基本功.

關(guān)鍵詞：規(guī)律教學(xué)；兩位數(shù)相乘；深度思考；善于聆聽(tīng)

1?教學(xué)內(nèi)容分析

人教版八上第十四章《整式的乘法與因式分解》的章末安排了“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)晌粩?shù)相乘的規(guī)律.教材上兩組活動(dòng)都是由簡(jiǎn)單的數(shù)字計(jì)算出發(fā)，讓學(xué)生探究這些結(jié)果中蘊(yùn)含的可以用含字母的整式來(lái)表示的數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用所學(xué)的整式乘法和因式分解等知識(shí)來(lái)解釋或證明.本課內(nèi)容的難點(diǎn)在于“恰當(dāng)設(shè)元”，用含字母的等式表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并規(guī)范證明含字母的等式成立.作為“學(xué)材再建構(gòu)”的需要，這兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)在規(guī)律發(fā)現(xiàn)、證明之后，還可補(bǔ)充兩個(gè)規(guī)律的“圖形直觀”，讓學(xué)生感受到本章前后教學(xué)的“一致性”（比如，完全平方公式的文字語(yǔ)言、符號(hào)表示與圖形直觀）.對(duì)于學(xué)情較好的班級(jí)，還可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“將一個(gè)正數(shù)分成兩個(gè)相等正數(shù)之和時(shí)，它們的積最大”.學(xué)生可以運(yùn)用配方或圖形直觀的方法進(jìn)行解釋或證明.以下給出本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，提供研討.

2?“探究?jī)晌粩?shù)相乘的規(guī)律”教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：探究形如（10a+5）（a為正整數(shù)）的兩位數(shù)的平方的規(guī)律.

引例：讓學(xué)生回顧小學(xué)三年級(jí)就練習(xí)過(guò)的速算題，比如15×15，25×25，35×35的結(jié)果是多少？

教學(xué)組織：學(xué)生應(yīng)該很快能算出結(jié)果，接著出示教材上的一組算式（可利用PPT動(dòng)畫(huà)功能漸次出示）：

15×15＝1×2×100+25＝225，

25×25＝2×3×100+25＝625，

35×35＝3×4×100+25＝1225，

學(xué)生觀察這組算式的運(yùn)算規(guī)律時(shí)，可從不同的角度進(jìn)行描述，看看哪些地方相同，哪些地方不同.經(jīng)過(guò)討論、交流，最終發(fā)現(xiàn)這三個(gè)式子都是十位數(shù)相同、個(gè)位數(shù)為5的兩個(gè)相同的數(shù)相乘，也可以看成是15、25、35的平方.進(jìn)一步觀察計(jì)算過(guò)程，比如，結(jié)果的后兩位是如何得到的？前幾位是如何進(jìn)行計(jì)算的？直到確認(rèn)，每個(gè)算式結(jié)果的后兩位都是25，25前的幾位數(shù)是由十位數(shù)與比十位上的數(shù)大1的數(shù)相乘得到的.進(jìn)一步，師生共同概括規(guī)律的文字語(yǔ)言（PPT出示）：十位上的數(shù)相同、個(gè)位上的數(shù)都為5的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，其所得結(jié)果的后兩位數(shù)就是25；原數(shù)十位上的數(shù)加上1，再與自己相乘得到的結(jié)果，就是寫在25前的數(shù)字.

教師安排學(xué)生用含字母的式子簡(jiǎn)明表示以上規(guī)律，并板書(shū)在黑板上：

符號(hào)表示：（10a+5）²＝100a（a+1）+25（a為正整數(shù)）.

隨后安排學(xué)生對(duì)所發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行證明，只要等式左邊、右邊展開(kāi)后能對(duì)應(yīng)相等即可說(shuō)明規(guī)律成立.

接著類比之前學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，取出課前備好的學(xué)具，在黑板上演示上述規(guī)律的拼圖，讓學(xué)生感受“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的“圖形直觀”.

活動(dòng)2：探究形如（10a+b）和（10a+10-b）（a、b為正整數(shù)的兩位數(shù)）相乘的規(guī)律.

過(guò)渡：剛才我們已通過(guò)證明，得出以上猜想是正確的結(jié)論，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)快速計(jì)算以下算式：

55×55；53×57；38×32；84×86；71×79.

教學(xué)組織：學(xué)生計(jì)算出結(jié)果之后，教師在PPT上漸次出示，并排列對(duì)齊，與“活動(dòng)1”的研究類似，經(jīng)過(guò)討論、交流，概括出如下規(guī)律：十位上的數(shù)相同、個(gè)位上的數(shù)的和為10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，十位上的數(shù)與它加1的數(shù)的乘積作為結(jié)果的千位和百位，兩個(gè)個(gè)位上的數(shù)相乘作為結(jié)果的十位和個(gè)位.

再引導(dǎo)學(xué)生用含字母的等式表示以上規(guī)律：

符號(hào)語(yǔ)言：（10a+b）（10a+10-b）＝100a（a+1）+b（10-b）（a、b為正整數(shù)）.

隨后同樣要求學(xué)生運(yùn)用整式乘法的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明，將等式左邊、右邊展開(kāi)后對(duì)應(yīng)相等即可說(shuō)明規(guī)律成立.

再利用PPT出示該規(guī)律的“圖形直觀”.

隨后給出以下一組同類練習(xí)讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行速算.

58×52；63×67；75²；95²；51×59；52×58；53×57；54×56；55×55.

活動(dòng)3：“和為定值”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的規(guī)律.

從上述同類練習(xí)中選取一組算式，排列如下：

51×59＝3009，52×58＝3016，53×57＝3021，54×56＝3024，55×55＝3025.

教學(xué)組織：先提問(wèn)“觀察算式中兩個(gè)數(shù)的積，這兩個(gè)數(shù)的和有什么關(guān)系，這些積的大小有什么規(guī)律？”這個(gè)問(wèn)題需要先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后再安排小組內(nèi)交流討論各自發(fā)現(xiàn)，最后再請(qǐng)小組代表上臺(tái)講解發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.教師可以引導(dǎo)學(xué)生概括出規(guī)律“將一個(gè)正數(shù)分成兩個(gè)相等正數(shù)之和時(shí)，它們的積最大”.如果課堂時(shí)間來(lái)得及，應(yīng)該繼續(xù)給出這個(gè)規(guī)律的符號(hào)語(yǔ)言，并安排學(xué)生運(yùn)用所學(xué)乘法公式、因式分解等知識(shí)進(jìn)行證明.

活動(dòng)4：課堂小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)問(wèn)題：本課學(xué)習(xí)的兩位數(shù)相乘的規(guī)律，有些規(guī)律是小學(xué)就已發(fā)現(xiàn)并且運(yùn)用在速算中的，而本課學(xué)習(xí)時(shí)重點(diǎn)關(guān)注的是用字母表示這些規(guī)律的等式，并進(jìn)行證明，你覺(jué)得為什么要這樣做？

布置作業(yè)：

1. 計(jì)算：752＝? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，計(jì)算：37×33＝? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2. 比較大?。?35×165? ? ? ? ? ? ? ? ? ?150×150，并說(shuō)明理由.

3. 用長(zhǎng)為100cm的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，怎樣確定長(zhǎng)和寬，使得圍成的長(zhǎng)方形面積最大？

3?教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

3.1?數(shù)學(xué)活動(dòng)課要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明與運(yùn)用的全過(guò)程

寧連華教授指出，學(xué)生的答題素養(yǎng)上的不足主要有：想得不深，變得不當(dāng)，算得不好，寫得不精.并提醒數(shù)學(xué)教學(xué)要重視以下四點(diǎn)：教深度思考，教合理變換，教運(yùn)算思維，教精準(zhǔn)表達(dá).上文課例中的教學(xué)從學(xué)生在小學(xué)階段就熟悉的兩位數(shù)相乘的運(yùn)算出發(fā)，關(guān)注運(yùn)算思維，但又不只是訓(xùn)練速算技巧，而要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想出兩位數(shù)相乘的規(guī)律，從特殊走向一般，用含字母的等式表示規(guī)律，并運(yùn)用初中階段所學(xué)習(xí)的整式乘法、因式分解等知識(shí)進(jìn)行規(guī)律的證明，最后再利用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決更多的兩位數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷以上全過(guò)程之后，就是促進(jìn)了學(xué)生“深度思考”.

3.2?數(shù)學(xué)活動(dòng)課要重視師生對(duì)話、互動(dòng)、追問(wèn)與點(diǎn)評(píng)等教學(xué)預(yù)設(shè)

數(shù)學(xué)活動(dòng)課的習(xí)題數(shù)量不需太多，關(guān)鍵在于帶領(lǐng)學(xué)生深入思考，教師在課前要圍繞典型問(wèn)題充分預(yù)設(shè)，包括師生如何對(duì)話？怎樣互動(dòng)？特別是，預(yù)設(shè)學(xué)生可能會(huì)有怎樣的回答，教師該如何追問(wèn)或點(diǎn)評(píng)，課前充分預(yù)設(shè)，課上才能從容引導(dǎo)、借機(jī)點(diǎn)評(píng).關(guān)于本文提到的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，特別要提及教師“善于聆聽(tīng)”的專業(yè)基本功.我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家鐘善基先生曾指出，教師基本素養(yǎng)要重視聆聽(tīng)能力的提升.鐘先生說(shuō)：“關(guān)于聆聽(tīng)能力，這里指的是有準(zhǔn)確地聽(tīng)清學(xué)生口頭提出問(wèn)題的內(nèi)容的能力，和有準(zhǔn)確地聽(tīng)清學(xué)生間互相討論的內(nèi)容的能力.有些低年級(jí)學(xué)生常?！~不達(dá)意，教師必須能分辨清學(xué)生口頭語(yǔ)言實(shí)質(zhì)的正誤，才能準(zhǔn)確地答疑、補(bǔ)充或矯正錯(cuò)誤又不致挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.”鐘先生上述關(guān)于“聆聽(tīng)能力”的論述非常精辟，引發(fā)筆者強(qiáng)烈共鳴.上文課例幾處教學(xué)環(huán)節(jié)中，都需要學(xué)生先用文字語(yǔ)言概括所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，但有些學(xué)生常?！霸~不達(dá)意”，如何分辨學(xué)生表達(dá)的正誤，確實(shí)對(duì)教師的聆聽(tīng)、診評(píng)等專業(yè)基本功提出了很高的要求.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 寧連華.指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考評(píng)價(jià)及教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)徦迹跩］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（11）：1-4.

［2］ 鐘善基.從教師的角度談數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)教師的幾項(xiàng)基本要求［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1997（1）：1-5.