在“雞兔同籠”問題中凸顯“結(jié)構(gòu)”的力量

北京教育學(xué)院豐臺分院 李義杰

許多教師對“雞兔同籠”內(nèi)容的教學(xué)有以下困惑：畫圖、列表、列式是解決“雞兔同籠”問題的不同策略，怎樣才能讓學(xué)生一一體會、分別掌握呢？學(xué)生的困惑是學(xué)習(xí)“雞兔同籠”到底有什么用，為什么要掌握多種方法。

師生的困惑引起了筆者的深入思考，也不由想到了結(jié)構(gòu)化教學(xué)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)包括教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、教學(xué)形式的結(jié)構(gòu)化、學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化。結(jié)構(gòu)化教學(xué)有利于深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，有利于整體建構(gòu)知識體系?；仡欉^去，“雞兔同籠”問題的原有知識基礎(chǔ)是什么？立足現(xiàn)在，畫圖、列表、列式雖然是不同方法，但是其背后的思維有無相通之處？展望明天，“雞兔同籠”的學(xué)習(xí)又能促進(jìn)學(xué)生哪些方面的成長？筆者認(rèn)為，教師想清楚這些問題，就能夠以整體性的、結(jié)構(gòu)化的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

下面筆者以對“雞兔同籠”問題的研究為例，嘗試通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以“結(jié)構(gòu)”的力量，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化、思維結(jié)構(gòu)化和策略結(jié)構(gòu)化，促使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地。希望我們的設(shè)計(jì)和實(shí)施過程，能帶給一線教師些許啟示，能引發(fā)大家對結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考。

一、從“單一”到“復(fù)雜”，孕伏知識結(jié)構(gòu)化

心理學(xué)家奧蘇貝爾在其意義學(xué)習(xí)理論中指出，意義學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)是將學(xué)習(xí)任務(wù)與學(xué)習(xí)者的原有知識建立起一種非任意的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。追本溯源，“雞兔同籠”從哪兒來？我們認(rèn)為能夠表達(dá)份總關(guān)系的乘法模型可以作為其最為本源的已有知識。于是，教師創(chuàng)設(shè)活動，促使學(xué)生利用“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這組數(shù)量關(guān)系，以此拉開學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問題的序幕。

活動一：從“雞或兔”到“雞和兔”

先口答“1 只、2 只、3 只雞（或兔）分別有幾條腿”的簡單問題，再讓學(xué)生思考“雞和兔一共有6 只，有多少條腿”的復(fù)雜問題。學(xué)生經(jīng)過交流不同想法才意識到后者是一個(gè)開放性問題，教師鼓勵學(xué)生記錄各種情況，通過觀察數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)雞、兔只數(shù)的變化會引起總腿數(shù)變化的規(guī)律，初步感悟：如果雞的只數(shù)多，總腿數(shù)就離12更近；如果兔的只數(shù)多，總腿數(shù)就離24 更近（如圖1）。

圖1

在這一活動中，學(xué)生對幾只雞（或兔）有幾條腿的問題對答如流，原因是這些份總關(guān)系故事里的主角只有一個(gè)，所以用份總關(guān)系2a（a表示雞的只數(shù)）、4b（b表示兔的只數(shù)）可以輕松解決。面對“雞和兔一共有6 只，有多少條腿”的問題，學(xué)生開始有些遲疑，隨后出現(xiàn)不同想法，最后達(dá)成一致，認(rèn)同根據(jù)現(xiàn)有條件總腿數(shù)是不確定的。分析學(xué)生不能順暢解決問題的原因，不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)故事里的主角變成雞與兔兩個(gè)主角，于是份總關(guān)系演變成了2a+4b，且a+b=6，情況愈加復(fù)雜起來。從“單一”到“復(fù)雜”，學(xué)生將當(dāng)下的學(xué)習(xí)任務(wù)與原有的知識經(jīng)驗(yàn)建立起了實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。這一巧妙的設(shè)計(jì)不僅在上課伊始就孕伏了知識的結(jié)構(gòu)化，也促使學(xué)生回歸思維原點(diǎn)，一一列舉成為解決問題的必經(jīng)之路。學(xué)生在觀察、思考、交流中發(fā)現(xiàn)了只數(shù)與腿數(shù)的變化規(guī)律，為后續(xù)的理解和建構(gòu)提供了思維支撐。

二、從“理解”到“建構(gòu)”，實(shí)現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)化

《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)》一書中強(qiáng)調(diào)，理解是多維的、復(fù)雜的，可以從多個(gè)不同卻又相關(guān)的視角認(rèn)識它，解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入、自知，是理解六側(cè)面。結(jié)合理解的不同側(cè)面，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以讓學(xué)生在不斷深入地“理解”中建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

再看“雞兔同籠”問題，雖然不同策略蘊(yùn)含著不同的思考方法，但是各種解法之間又有內(nèi)在關(guān)聯(lián)。因此，筆者重點(diǎn)聚焦列表法，以“枚舉試探”為抓手，引領(lǐng)學(xué)生逐漸進(jìn)入深度思考，促進(jìn)學(xué)生主動關(guān)聯(lián)，“理解”不同方法背后的思維相通之處，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)化。

活動二：解古代趣題——“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，雉兔各幾何？”

片段一：組織學(xué)生對不同作品（如圖2、圖3、圖4）進(jìn)行辨析。

圖2 作品1

圖3 作品2

圖4 作品3

聚焦問題：為什么一開始列舉時(shí)雞要比兔的只數(shù)多？為什么要從雞有18 只、兔有17 只開始列舉？在列舉的過程中怎么想到要“跳一跳”的呢？

通過辨析，學(xué)生的思維逐漸被激活，能夠主動關(guān)聯(lián)活動一的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合35 只雞有70 條腿，35 只兔有140 條腿，94 離70 更近，初步判斷雞的只數(shù)更多。從這些作品中不難看出學(xué)生思維的變化和成長，學(xué)生在探究中逐漸感受到一一列舉費(fèi)時(shí)費(fèi)力，于是向前勇敢地邁出了一大步，即萌發(fā)了跳躍意識。有的學(xué)生還能較為靈活地進(jìn)行調(diào)整，或從“起點(diǎn)”嘗試小步跳躍，或借助平均分從“中點(diǎn)”直接起跳。通過聚焦對比列舉數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，學(xué)生充分表達(dá)自己的思維過程，當(dāng)學(xué)生用有意義的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行推理時(shí)，我們仿佛看到了他們長長的思維鏈條。

片段二：呈現(xiàn)學(xué)生作品（如圖5、圖6）。

圖5 作品4

圖6 作品5

師：誰能讀懂這兩幅作品的意思？它們的意思一樣嗎？

生1：這兩幅作品表達(dá)的意思其實(shí)是一樣的。假設(shè)全是雞，總腿數(shù)是70 條，比94 少24 條。一雞變一兔，腿數(shù)要增加2 條，24 里有12 個(gè)2，有12 只雞要變成兔，所以雞是23 只。假設(shè)全是兔，總腿數(shù)是140 條，比94 多46 條，一兔變一雞，腿數(shù)要減少2 條，46 里有23 個(gè)2，有23 只兔要變成雞，所以兔是12 只。

師：這種“假設(shè)法”與剛才列表的方法有聯(lián)系嗎？

生2：我覺得假設(shè)法就是從0 只雞或者0 只兔的情況開始的，直接一步跳躍就能得到結(jié)果，它跟剛才列表的那些作品的道理其實(shí)是一樣的，都是先假設(shè)，再尋找答案。

雖然教材不要求用“算術(shù)法”解決“雞兔同籠”問題，但是在學(xué)生自主探究嘗試列舉的過程中，想跳得快些、跳得準(zhǔn)些的樸素想法，促使學(xué)生自覺遷移已有認(rèn)知，使“算術(shù)法”的出現(xiàn)成為學(xué)生思維的迫切需要，使想用簡潔與準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)成為必然，也讓學(xué)生對課堂上出現(xiàn)的按照套路列出的算式，得以“知其所以然”。算術(shù)方法中的“跳”，不是從半截開始起跳，算術(shù)方法從全假設(shè)成雞或全假設(shè)成兔開始，其實(shí)就是直接從“無”一次性精準(zhǔn)地跳躍到“幾”。

至此，大家普遍認(rèn)為原本看起來笨笨的、麻煩的一一列舉的方法，實(shí)際上“大巧若拙”，同時(shí)它也“暗藏乾坤”，既可以在試探中進(jìn)行跳躍枚舉或取中枚舉，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性，也可以在推理、計(jì)算中調(diào)整得“一步到位”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性?？傊?，它是思考“雞兔同籠”問題的思維原點(diǎn)，是真正的通性通法。

以前，我們總是習(xí)慣性稱“算術(shù)法”為“假設(shè)法”，現(xiàn)在學(xué)生也能感受到列表時(shí)無論是從幾只雞、幾只兔開始都是在假設(shè)；畫圖時(shí)無論先畫幾只雞、幾只兔，還是不畫雞（兔）只畫兔（雞）同樣是假設(shè)。由此一來，不同方法的思維路徑都源于“假設(shè)”，思維過程都經(jīng)歷“比較”和“調(diào)整”，都是在假設(shè)前提下的嘗試與調(diào)整。將不同方法借助思維結(jié)構(gòu)化的力量“合而為一”，讓數(shù)學(xué)思維看得見、抓得住，幫助學(xué)生從“理解”轉(zhuǎn)向“建構(gòu)”，實(shí)現(xiàn)思維結(jié)構(gòu)化。

三、從“遷移”到“完善”，實(shí)現(xiàn)策略結(jié)構(gòu)化

“雞兔同籠”問題要“到哪里去”？如何凸顯學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問題的價(jià)值呢？答案就在活動三的內(nèi)容設(shè)計(jì)中。

活動三：學(xué)生自主選擇解決實(shí)際問題（如圖7）

圖7

在課堂上，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)的這些合適的、具有啟發(fā)性的真實(shí)情境，有助于促進(jìn)學(xué)生的理解。在這一過程中，學(xué)生也能夠自發(fā)地借助摘錄條件（如圖8），抽象出數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步明確類似問題的結(jié)構(gòu)特征，逐漸深入地體會“雞兔同籠”問題的現(xiàn)實(shí)意義，發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題具有廣泛的應(yīng)用性。

圖8

這些實(shí)際問題，無論是問題主角還是問題表述，越來越不像“雞兔同籠”問題，尤其是最后一個(gè)，乍看和“雞兔同籠”毫不相干，而學(xué)生依然能夠順利解決。這種積極的遷移，反映出學(xué)生對“雞兔同籠”問題的認(rèn)知已經(jīng)從“特殊”走向“一般”，說明學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出具有兩個(gè)主角的復(fù)雜份總關(guān)系，具備了數(shù)學(xué)的眼光，同時(shí)在遷移的過程中完善了結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了策略的結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識，促進(jìn)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)真實(shí)生活的素養(yǎng)提升。

綜上所述，學(xué)生在分析、解決不同情境中的實(shí)際問題的過程中，從會解決“一個(gè)問題”過渡到會解決“一類問題”，利用已有的認(rèn)知完成了知識的建構(gòu)。教師通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)歷程，實(shí)現(xiàn)了知識結(jié)構(gòu)化、思維結(jié)構(gòu)化和策略結(jié)構(gòu)化，充分彰顯了“結(jié)構(gòu)”的力量。