結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)深度復(fù)習(xí)的實(shí)踐思考
——以“多邊形的面積整理與練習(xí)”為例

江蘇省無(wú)錫市梅村實(shí)驗(yàn)小學(xué) 許茜倩

所謂結(jié)構(gòu)化，是指在教學(xué)中要抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生以整體、關(guān)聯(lián)、開(kāi)放的視角探究和理解問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)從碎片化走向整體化、從離散走向聚合、從淺層走向深度?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出了課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，結(jié)構(gòu)化有助于學(xué)生理解和掌握學(xué)科基本原理，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的遷移，把握核心概念的進(jìn)階。

“多邊形的面積整理與練習(xí)”是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第二單元的復(fù)習(xí)課?！岸噙呅蔚拿娣e”單元共包含六項(xiàng)內(nèi)容（見(jiàn)圖1），前三項(xiàng)屬于“公式探究”，后三項(xiàng)屬于“拓展應(yīng)用”。通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠用拼接、平移、旋轉(zhuǎn)等方法探索和掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；能夠正確計(jì)算基本圖形的面積；能利用基本圖形的面積探究的經(jīng)驗(yàn)和方法解決土地相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，以及組合圖形的面積問(wèn)題。但依然存在以下問(wèn)題：一是學(xué)生頭腦中仍存在“碎片化”的知識(shí)，缺少整合融通，難以形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；二是“機(jī)械式”練習(xí)，缺少思維的拓展，學(xué)生解決問(wèn)題的能力在低水平徘徊；三是缺少數(shù)學(xué)思想方法的提煉，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)難以落地。

圖1 “ 多邊形的面積”單元主要內(nèi)容

一節(jié)完整的復(fù)習(xí)課，一般包括三個(gè)方面：梳理知識(shí)、形成能力、發(fā)展思維，最終指向的是結(jié)構(gòu)化的深度理解和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。下面，筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談一談在多邊形的面積計(jì)算整理與練習(xí)中如何實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的深度復(fù)習(xí)。

一、知識(shí)整理——溯本求源，重建知識(shí)體系

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為：掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是用許多其他事物與它有意義地聯(lián)系起來(lái)的方式去理解它。簡(jiǎn)言之，知識(shí)的學(xué)習(xí)就是在學(xué)生的頭腦中形成一定的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在多邊形的面積計(jì)算中，各個(gè)圖形面積公式之間是有聯(lián)系的，可以相互轉(zhuǎn)化的?；仡櫟闹攸c(diǎn)不僅是計(jì)算公式，更是讓學(xué)生厘清多邊形面積計(jì)算公式之間的聯(lián)系，使學(xué)生腦中零散的知識(shí)具有連續(xù)性、關(guān)聯(lián)性和生長(zhǎng)性，幫助他們重建知識(shí)體系。

（一）橫向聯(lián)系，將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)

以橫向聯(lián)系的方式將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成知識(shí)鏈，不僅可以幫助學(xué)生理解和記憶公式，還有助于引領(lǐng)學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的理解走向更深層，并能在此過(guò)程中積累寶貴的整理知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。

在課前引導(dǎo)學(xué)生整理時(shí)，教師可以讓學(xué)生回憶本單元所學(xué)習(xí)的平面圖形公式，設(shè)置探究性問(wèn)題：“如果讓你選一個(gè)圖形的面積公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其他圖形的面積公式，你會(huì)選哪一個(gè)？說(shuō)一說(shuō)推導(dǎo)過(guò)程。”部分學(xué)生會(huì)選擇由易到難地整理、推導(dǎo)面積公式，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行整理（見(jiàn)圖2），引導(dǎo)學(xué)生感悟從左往右能看到知識(shí)的生長(zhǎng)和發(fā)展，而從右往左能看到知識(shí)的轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一。

圖2 “ 多邊形的面積”橫向整理結(jié)構(gòu)圖

（二）縱向類比，讓知識(shí)鏈活起來(lái)

在嘗試整理了常規(guī)的推導(dǎo)過(guò)程后，教師應(yīng)尋找學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生思考：如果換一個(gè)方向，從其他圖形出發(fā)，它們之間又有怎樣的聯(lián)系呢？

1.以梯形的面積公式為基礎(chǔ)

在教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生想象，如果將梯形的上底縮短，最終會(huì)變成什么圖形呢？此時(shí)，下底和高不變，上底會(huì)變?yōu)?（見(jiàn)圖3）。

圖3 由梯形推導(dǎo)三角形面積公式

如果將上底延長(zhǎng)，此時(shí)上底和下底相等，高不變（見(jiàn)圖4）。

圖4 由梯形推導(dǎo)平行四邊形（長(zhǎng)方形）面積公式

在這個(gè)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三角形、平行四邊形以及長(zhǎng)方形的面積公式也可由梯形的面積公式推導(dǎo)而得。

2.以平行四邊形的面積公式為基礎(chǔ)

教師在引導(dǎo)學(xué)生以平行四邊形的面積公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)時(shí)，可結(jié)合《九章算術(shù)》中的相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識(shí)（見(jiàn)蘇教版數(shù)學(xué)教材第10 頁(yè)“你知道嗎”），用剪、拼的方法讓學(xué)生經(jīng)歷全新的探究之路（見(jiàn)圖5）。

圖5 以平行四邊形為基礎(chǔ)推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式

3.以三角形的面積公式為基礎(chǔ)

同樣，以三角形為基礎(chǔ)公式也能推導(dǎo)出長(zhǎng)方形、平行四邊形和梯形的面積公式（見(jiàn)圖6）。

圖6 以三角形為基礎(chǔ)推導(dǎo)平行四邊形和梯形的面積公式

這樣的復(fù)習(xí)探究對(duì)五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能并不容易，但因?yàn)榉椒ǖ耐卣?、思路的拓寬，不但使學(xué)生將這些面積公式更自然而緊密地聯(lián)結(jié)在一起，更使學(xué)生明白，知識(shí)之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，使學(xué)生突破思維定式，在知識(shí)融通的過(guò)程中能夠構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、技能鞏固——融會(huì)貫通，多層次設(shè)計(jì)練習(xí)

教師在結(jié)構(gòu)化深度復(fù)習(xí)的理念下設(shè)計(jì)練習(xí)，要先關(guān)注練習(xí)設(shè)計(jì)的關(guān)聯(lián)性，安排有聯(lián)系、有延續(xù)的練習(xí)；接著要關(guān)注練習(xí)設(shè)計(jì)的層次性，查漏補(bǔ)缺和拓展提升都應(yīng)是練習(xí)的重要目標(biāo)。除此之外，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)練習(xí)時(shí)，除了要利用基本圖形的面積探究的經(jīng)驗(yàn)和方法解決土地相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題以及組合圖形的面積問(wèn)題，還可以編制如下題組：

（1）一個(gè)梯形上下底之和為10 厘米、高是6 厘米，面積是多少平方厘米？

（2）正方形的周長(zhǎng)是32 厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米(見(jiàn)圖7)？

圖7

（3）S甲與S乙誰(shuí)的面積大？

圖8

學(xué)生在第（1）題中可直接應(yīng)用梯形的面積公式求得答案，接著教師可引導(dǎo)學(xué)生列舉可能的梯形（見(jiàn)圖9）。

圖9 符合練習(xí)（1）的條件可能存在的梯形圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的梯形例子不能完全列舉完，并在列舉后發(fā)現(xiàn)等底等高的梯形面積是相等的。另外，在整理知識(shí)時(shí)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)由梯形面積公式推導(dǎo)平行四邊形、長(zhǎng)方形，以及三角形的面積公式的過(guò)程，對(duì)于練習(xí)（2）和（3），學(xué)生可以進(jìn)一步運(yùn)用平行四邊形和三角形等積變形的結(jié)論解決問(wèn)題。

這個(gè)題組再一次將多邊形的面積公式進(jìn)行溝通與整合，在練習(xí)的過(guò)程中二次開(kāi)發(fā)，不僅使學(xué)生的知識(shí)體系更為完善，將知識(shí)融會(huì)貫通；還能引發(fā)學(xué)生更深入地思辨，在拓展深化中引發(fā)更多的思考，讓復(fù)習(xí)課走向更高效。

三、思想貫穿——一以貫之，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括。數(shù)學(xué)思想作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》涉及的“四基”之一，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中仍處于重要的位置，已是數(shù)學(xué)學(xué)科教育目標(biāo)的重要組成部分。除了顯性的知識(shí)和方法外，數(shù)學(xué)思想則是潛默和間接的，常常隱藏在知識(shí)背后，但它能使學(xué)生獲得價(jià)值、動(dòng)機(jī)等情感態(tài)度與價(jià)值觀方面的成長(zhǎng)。數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)過(guò)程需要經(jīng)歷操作體驗(yàn)、明朗化、自覺(jué)運(yùn)用和聯(lián)系發(fā)展4 個(gè)階段。指向結(jié)構(gòu)化的深度復(fù)習(xí)，要一以貫之地發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用。

（一）在知識(shí)結(jié)構(gòu)的整理中貫穿

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，但形成的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和概括，也就是將實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)一般化、模式化的過(guò)程。在嘗試從不同角度推導(dǎo)多邊形面積公式時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)滲透，引導(dǎo)學(xué)生抽象和提煉出“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想。新授課時(shí)，教師可以初步引導(dǎo)學(xué)生感悟體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”的思想，復(fù)習(xí)課中繼續(xù)滲透這一數(shù)學(xué)思想，使之發(fā)展到明朗化階段。

（二）在能力提升的練習(xí)中貫穿

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，其形成的過(guò)程需要充分的樣例積累。在解決組合圖形的面積和與土地相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的練習(xí)中已明確：未知圖形的面積可以通過(guò)割補(bǔ)、拼接或者平移和旋轉(zhuǎn)等操作轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積。用相同的思想方法解決不同形式問(wèn)題的經(jīng)歷，能提高歸納的信度，把數(shù)學(xué)思想推進(jìn)到自覺(jué)應(yīng)用和聯(lián)系發(fā)展的階段。在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、數(shù)學(xué)思想方法的感悟，以及數(shù)學(xué)情感態(tài)度的涵養(yǎng)過(guò)程中，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂從“知識(shí)為本”向“素養(yǎng)為本”的轉(zhuǎn)變，從“數(shù)學(xué)教學(xué)”向“數(shù)學(xué)育人”的轉(zhuǎn)變。

數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書(shū)中指出，數(shù)學(xué)思想方法會(huì)影響人的一生。不管學(xué)生今后從事什么工作，即使把所教的知識(shí)、概念、定理、法則和公式全忘了，但銘刻在他們心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法能隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益。教師需進(jìn)一步更新觀念，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的作用和在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值。教師要通過(guò)自己的教學(xué)，讓學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決實(shí)際問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

綜上所述，指向結(jié)構(gòu)化的深度復(fù)習(xí)，要一以貫之地融入數(shù)學(xué)思想進(jìn)行知識(shí)統(tǒng)整，重建知識(shí)體系；進(jìn)行技能統(tǒng)整，上串下聯(lián)地多層次設(shè)計(jì)練習(xí)題組，在整體的視野下，既關(guān)注知識(shí)的梳理和歸納，又關(guān)注技能的習(xí)得，以及思維習(xí)慣、學(xué)科素養(yǎng)的同步發(fā)展。