簡約識“倍”新視界
——王圣昌老師“倍的認(rèn)識”教學(xué)片段賞析

江蘇省常州市新北區(qū)春江中心小學(xué) 張曉鋒 姚靈娣

倍數(shù)關(guān)系是常見的數(shù)量關(guān)系之一。建立倍的概念，能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘法和除法的含義，擴(kuò)大應(yīng)用乘、除法計(jì)算解決實(shí)際問題的范圍。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體直觀到抽象思考，理解“倍比”是對相關(guān)數(shù)量進(jìn)行比較的數(shù)學(xué)方法。理解倍的含義，關(guān)鍵是建立“倍”的概念。有些教師是以告知的方式，引導(dǎo)學(xué)生圈一圈、比一比，初步理解倍的含義，這可稱之為告知“倍”。王圣昌老師先引導(dǎo)學(xué)生和“倍”的內(nèi)涵互動，通過解決問題，借助除法算式發(fā)展概念，可稱之為生長“倍”。

王圣昌老師教學(xué)“倍的認(rèn)識”，僅用3 張演示文稿（PPT），就呈現(xiàn)了一節(jié)非常有味道、有思維含量的數(shù)學(xué)課。3 張PPT，對應(yīng)3 項(xiàng)逐步進(jìn)階的核心任務(wù)，每項(xiàng)核心任務(wù)中的幾個(gè)子問題能較好地彰顯學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)理念——低門檻、大空間、多層次，為每個(gè)學(xué)生提供思考與表達(dá)的機(jī)會，這也是全課最鮮明的特點(diǎn)。王老師充分肯定和鼓勵每個(gè)學(xué)生的表達(dá)，并且把每個(gè)學(xué)生的想法都展示出來，資源捕捉意識特別好。他引導(dǎo)學(xué)生先和“倍”的內(nèi)涵互動，從發(fā)現(xiàn)關(guān)系到明確關(guān)系再到用算式表達(dá)，通過解決問題發(fā)展概念，概念教學(xué)指向有意義的建構(gòu)，真正體現(xiàn)了以學(xué)生的學(xué)為中心。這樣的課應(yīng)該就是如吳正憲老師說的“好吃又有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)課。

片段1：明確關(guān)系初識“倍”

呈現(xiàn)第一張PPT（見圖1），圖中包含4 根黃瓜和12根香蕉的圖片以及3 個(gè)問題。

圖1

師：誰能說說你的發(fā)現(xiàn)？說一個(gè)就可以！

生1：黃瓜有4 根。

師：這是不是數(shù)學(xué)信息呢？誰還有不一樣的發(fā)現(xiàn)呢？

生2：香蕉有12 根。

師：他說得對嗎？還有不同的嗎？

生3：黃瓜和香蕉一共有16 根。

師：非常棒，黃瓜加香蕉有16 根。

生4：香蕉比黃瓜多8 根。

師：太棒了，你們能聽懂他的意思嗎？

生5：我認(rèn)為還可以說黃瓜比香蕉少8 根。

師：好，你把它倒過來了，黃瓜比香蕉少8 根。

生6：香蕉是黃瓜的3 倍。

師：你們怎么看？他突然講了我們好像沒學(xué)過的知識——香蕉是黃瓜的3 倍。懂他意思的同學(xué)請舉手。誰來說一說這是什么意思？

生7：黃瓜有4 根，香蕉有12 根，12 除以4 等于3，也就是說香蕉是黃瓜的3 倍。

師（追問）：你們怎么看出來有3 倍？3 倍在哪里？第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍呢？每倍都是幾根？誰決定的？

（學(xué)生回答略）

師：你們能列出算式表示這4 個(gè)數(shù)學(xué)信息里兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生用算式表示“黃瓜加香蕉有16 根，香蕉比黃瓜多8 根，黃瓜比香蕉少8 根，香蕉是黃瓜的3 倍”，算式分別為：4+12=16，12-4=8，12-8=4,12÷4=3。

師組織生交流。

師：你們都能列出算式表示它們之間的關(guān)系。誰來解釋3 倍這個(gè)問題？

生8：3×4=12。

師：誰來解釋這個(gè)算式中每個(gè)數(shù)表示什么意思？

生9：4 是香蕉的根數(shù)，3 是把香蕉平均分成了3 份，12 是香蕉的總數(shù)。

師：這里有一個(gè)解釋怪怪的，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生10：4 是黃瓜的數(shù)量，3 是3 倍，12 是香蕉的總數(shù)。

生11：12 是香蕉的數(shù)量，4 是黃瓜的數(shù)量，12÷4 表示……（生一時(shí)語塞）

生12：12÷4 表示把香蕉平均分成3 份。

師：為什么除以4？為什么平均分3 份，每幾根一份？

一名學(xué)生上講臺指著圖片演示平均分3 份的等分過程。

……

【賞析】三個(gè)問題層次清晰、逐級遞進(jìn)。首先通過問題“你看到了哪些數(shù)學(xué)信息？”引導(dǎo)學(xué)生對黃瓜和香蕉的數(shù)量進(jìn)行感悟。其次，教師通過問題“它們的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生尋找合適的路徑，表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系——求和關(guān)系、相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系，并對不同關(guān)系用文字表達(dá)，完整建構(gòu)出數(shù)量之間的關(guān)系。其間，教師還可以結(jié)合圖形直觀幫助學(xué)生思考，再通過追問幫助學(xué)生重點(diǎn)理解倍數(shù)關(guān)系。最后通過問題“你能用算式表示它們之間的關(guān)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生用算式表示倍數(shù)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生用抽象的算式表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，既為學(xué)生提供表達(dá)關(guān)系的工具，也是數(shù)學(xué)化的過程，學(xué)生感悟了關(guān)系，明白了本質(zhì)，就能用算式抽象表達(dá)，真正理解算式的含義，加深對倍數(shù)關(guān)系本質(zhì)的理解。這是關(guān)于倍的概念的核心問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”的關(guān)鍵——先確定標(biāo)準(zhǔn)，然后比較，看另一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)，也就是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的幾倍。這樣設(shè)計(jì)，循序漸進(jìn)，從直觀到抽象，從文字語言到符號語言，最后緊扣數(shù)量關(guān)系中的倍數(shù)關(guān)系，師生、生生多邊互動，可有效實(shí)現(xiàn)對“倍”的概念的完整認(rèn)知與深度理解，學(xué)生自主建構(gòu)，初步識“倍”，一步步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。

片段2：結(jié)合算式表達(dá)“倍”

呈現(xiàn)第二張PPT（圖略），這是一道有思維含量的趣味練習(xí)，PPT 上呈現(xiàn)了無序排列、大小相同的藍(lán)色、綠色、黃色3 種不同顏色的圓。藍(lán)色有18 個(gè)，黃色有9 個(gè)，綠色有3 個(gè)。課件中呈現(xiàn)3 個(gè)學(xué)習(xí)提示：你能找到它們之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？如果要找出倍數(shù)關(guān)系，需要找到哪些數(shù)學(xué)信息？用算式表達(dá)你找出的倍數(shù)關(guān)系。

師：數(shù)一數(shù)，從圖中你可以找到哪些倍數(shù)關(guān)系？要結(jié)合算式哦。

生先數(shù)再列出除法算式。

師：我建議你們數(shù)一個(gè)寫一個(gè)，因?yàn)檫@道題的倍數(shù)關(guān)系不止一種。

師板書：綠3 個(gè)、黃9 個(gè)、藍(lán)18 個(gè)。

小組討論發(fā)現(xiàn)的倍數(shù)關(guān)系。

師：請你來說一說。

生1：藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2 倍。

師：他是怎么知道的？算式應(yīng)該怎樣列？

生2：18÷9=2。

師：為什么用18÷9=2 就能知道藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2 倍？誰再來說一說每幾個(gè)一份？

生3：把18 平均分成2 個(gè)9，每9 個(gè)一份，可以分成2 份。

師：誰再來說說誰是誰的幾倍？

生4：黃色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的3 倍。

生5：9÷3=3，9 可以分成3 個(gè)3。

生6：藍(lán)色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的6 倍，

18÷3=6。

師：也就是18 里面有6 個(gè)3。

【賞析】用大小相同、無序排列的3 種顏色的圓設(shè)計(jì)一組練習(xí)，特別有創(chuàng)意。這樣可以催生學(xué)生不同的想法：藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2 倍，藍(lán)色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的6 倍，黃色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的3 倍。因?yàn)榻處熖峁┑膱D片中反映的數(shù)量關(guān)系比較豐富，所以學(xué)生找到的數(shù)量關(guān)系與表達(dá)的形式也較為豐富。學(xué)生能跳出圖形直觀，從圖形個(gè)數(shù)的角度思考，用除法算式表達(dá)它們之間的倍數(shù)關(guān)系，不受圖形無序排列的影響。這道練習(xí)通過“問題驅(qū)動—尋找信息—用算式表達(dá)”的遞進(jìn)順序，讓學(xué)生體會倍數(shù)關(guān)系的內(nèi)涵，并明白數(shù)量和算式之間的邏輯關(guān)系，從而更好地理解“倍”的概念本質(zhì)，知其然并知其所以然。借助除法算式學(xué)習(xí)“倍”，有利于促進(jìn)學(xué)生理解從算式的角度表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，從而逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。

片段3：實(shí)踐感悟深入“倍”

呈現(xiàn)第三張PPT，圖上有3 種不同顏色的扣條和方塊（見圖2）。活動要求：用你手中的學(xué)具表示出4 倍的關(guān)系。

圖2

王老師為每一組學(xué)生準(zhǔn)備了適量的兩種學(xué)具，即扣條和方塊，這兩種學(xué)具都可以拼接。學(xué)生分組合作操作，他們選用若干扣條或方塊，用合適的方式直觀表達(dá)4 倍關(guān)系。

分組操作前，王老師做適當(dāng)引導(dǎo)。

師：操作前同學(xué)們首先要知道一個(gè)叫1 倍，一個(gè)叫4倍。4 倍關(guān)系不僅僅是數(shù)量上的，找找看，除了數(shù)量上有倍數(shù)關(guān)系，還能在其他地方找到倍數(shù)關(guān)系嗎？

學(xué)生分組操作2 分鐘。

師：我們來看一下有幾種表示方式。

展示第一種：4 個(gè)方塊（成田字格形狀）是1 個(gè)方塊的4 倍。

師：有沒有4 倍？除了數(shù)量是4 倍關(guān)系，還看到哪里有4 倍關(guān)系？

生：我看到大小有4 倍關(guān)系。

師：從哪里看出大小有4 倍關(guān)系？拿著1 倍來比，第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍、第4 倍呢？

學(xué)生逐一放上去比對。

展示第二種：4 條是1 條的4 倍。

師：有沒有4 倍？除了數(shù)量是4 倍關(guān)系以外，還有什么是4 倍關(guān)系？

生：我看出長度也是4 倍關(guān)系。

師：到前面來比對。

學(xué)生到前面一倍一倍地比對，發(fā)現(xiàn)長度是4 倍關(guān)系。

師：現(xiàn)在有個(gè)同學(xué)搭了這樣的1 倍，你覺得他的4倍應(yīng)該有幾個(gè)？（師高舉著由4 個(gè)方塊拼成一排的組合體）

生：應(yīng)該有16 個(gè)。

教師拿出4 個(gè)方塊的組合體和16 個(gè)方塊的組合體，然后一倍一倍地比對，從長度上比對出是4 倍關(guān)系。

師：如果這樣是1 倍，4 倍應(yīng)該有幾個(gè)？（師高舉2個(gè)方塊的組合體）

師：如果是這樣呢？（師高舉由3 個(gè)方塊拼成一排的組合體）

……

【賞析】這個(gè)練習(xí)比較開放，能很好地幫助每個(gè)學(xué)生自主操作、深度參與，加深對“倍”數(shù)關(guān)系的理解。先放手讓學(xué)生利用學(xué)具扣條和方塊，自主創(chuàng)造倍數(shù)關(guān)系，使其在應(yīng)用中深化對倍的理解；再通過豐富的直觀模型，從數(shù)量、大小、長度等不同維度表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，凸顯倍數(shù)關(guān)系模型的本質(zhì)?？蹢l可以表征個(gè)數(shù)、長度、面積的倍數(shù)關(guān)系，方塊可以表征個(gè)數(shù)、長度、面積、體積之間的倍數(shù)關(guān)系，多維度表示倍數(shù)關(guān)系促使學(xué)生的認(rèn)知更豐富、更多元。

縱觀全課，教師僅用了3 張演示文稿，第一張建構(gòu)概念，讓學(xué)生感受并表達(dá)數(shù)量關(guān)系，通過從圖形直觀到用算式表達(dá)的過程，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生建構(gòu)對倍的認(rèn)識；第二張鞏固理解，并適度抽象，加強(qiáng)數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用算式表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，借助精選的學(xué)習(xí)素材——3 種顏色的圓片，幫助學(xué)生概括一般化的模型，進(jìn)一步數(shù)學(xué)化；第三張實(shí)踐深化，學(xué)生借助學(xué)具自主創(chuàng)造倍數(shù)關(guān)系，在豐富多樣的表達(dá)“倍”的方式中探尋共同的本質(zhì)屬性，從而達(dá)成對概念本質(zhì)的深度理解——倍數(shù)關(guān)系可以是個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，可以是長度之間的關(guān)系，可以是面積大小之間的關(guān)系，還可以是體積大小之間的關(guān)系。教師充分利用學(xué)具即興變式，在與學(xué)生對話和互動中促進(jìn)學(xué)生借助豐富的直觀模型深化認(rèn)知，加深對倍數(shù)關(guān)系模型內(nèi)涵實(shí)質(zhì)的理解。