求解拋物線內(nèi)三角形面積最值問(wèn)題的兩種思路

呂慶華

拋物線內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題較為復(fù)雜.一般地，拋物線內(nèi)三角形上的頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，要求其面積的最值，往往需先根據(jù)題意確定動(dòng)點(diǎn)的位置，或求得三角形面積的表達(dá)式.這就需要靈活運(yùn)用三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、弦長(zhǎng)公式以及拋物線的幾何性質(zhì)來(lái)解題.下面，介紹求解拋物線內(nèi)三角形面積最值問(wèn)題的兩種思路，以供大家學(xué)習(xí)、參考.

一、割補(bǔ)圖形

有時(shí)我們很難快速求出在拋物線內(nèi)三角形的底與高，此時(shí)不妨采用割補(bǔ)法，將三角形分割或填補(bǔ)為易于求得出面積的幾個(gè)圖形，這樣便可快速求出三角形面積的表達(dá)式.然后將其看作關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得最值.

例1.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y=-2x-1與y軸交于點(diǎn)A，與直線y=-x交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C .

先過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的一條平行線，就可以把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，再計(jì)算兩個(gè)小三角形的面積，即可求出原三角形的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.在割補(bǔ)三角形時(shí)，需根據(jù)已知條件和三角形的形狀將三角形割補(bǔ)為規(guī)則的三角形、梯形，這樣便于快速求出三角形的面積.

二、利用切線法

若拋物線內(nèi)三角形底邊的長(zhǎng)度不變，就只需要求得三角形的高的最值，即可求得三角形面積的最值.若已知拋物線內(nèi)三角形的底邊所在直線的方程，則只需采用切線法，過(guò)三角形的頂點(diǎn)作出與三角形底邊平行的切線，那么該切線與三角形底邊之間的距離即為三角形的高的最大值，此時(shí)三角形的面積就最大.

先結(jié)合圖形，根據(jù)直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，三角形的高最大，來(lái)確定三角形頂點(diǎn)E的位置；然后作出過(guò)點(diǎn)E的拋物線的切線；再根據(jù)切線的特征，建立關(guān)系式△=0，從而求得直線的斜率和拋物線內(nèi)面積的最值.

總之，在求解拋物線內(nèi)三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，要先觀察題目中給出的三角形的特點(diǎn)，再?lài)L試求出其底和高，若不能，則需要通過(guò)割補(bǔ)或者作切線，來(lái)求三角形的面積，從而求得面積的最值.

（作者單位：華東師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)中學(xué)）