“雙棒”在磁場中運(yùn)動問題分類剖析

■福建省漳州招商局經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)海濱學(xué)校 周乾坤

“雙棒”在磁場中運(yùn)動問題涉及電磁感應(yīng)和電路的綜合應(yīng)用,遇到“雙棒”在磁場中的運(yùn)動問題,只要抓住“單棒”切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv,“雙棒”切割磁感線產(chǎn)生的總感應(yīng)電動勢可以同向串聯(lián)或反向串聯(lián),以及閉合電路歐姆定律,即可順利求解。下面選取常見的兩類“雙棒”在磁場中的運(yùn)動問題,探究其求解方法,供同學(xué)們參考。

一、“雙棒”在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動

兩根導(dǎo)體棒與水平導(dǎo)軌組成閉合回路,兩根導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動,產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,形成雙電源問題。求解這類問題時(shí),分析感應(yīng)電動勢的大小是關(guān)鍵環(huán)節(jié),可以先求出初、末二態(tài)磁通量的變化量,再運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出總感應(yīng)電動勢;也可以先求出每一根導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢,再根據(jù)兩感應(yīng)電流的方向相同,兩感應(yīng)電動勢取和,兩感應(yīng)電流的方向相反,兩感應(yīng)電動勢取差,求出總感應(yīng)電動勢。

1.“雙棒”在水平導(dǎo)軌上同向運(yùn)動。

例1兩根足夠長固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌上垂直放置兩根導(dǎo)體棒1和2,在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)磁場,其俯視圖如圖1 甲所示。已知兩導(dǎo)軌間的距離為L,兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R,回路中其余部分的電阻不計(jì),勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好且均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行,開始時(shí)兩導(dǎo)體棒均靜止,間距為x0?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒1向右的初速度v0,并開始計(jì)時(shí),得到如圖1乙所示的Δv-t圖像,其中Δt=v1-v2,v1表示導(dǎo)體棒1 的瞬時(shí)速度,v2表示導(dǎo)體棒2 的瞬時(shí)速度,則下列說法中正確的是( )。

圖1

A.在0～t2時(shí)間內(nèi),回路中產(chǎn)生的焦耳熱

B.t1時(shí)刻回路中的感應(yīng)電動勢E=BLv0

C.t1時(shí)刻導(dǎo)體棒2 的加速度a=

D.t2時(shí)刻兩導(dǎo)體棒間的距離x=x0+

解析：根據(jù)F安=BIL可知,兩導(dǎo)體棒所受安培力等大反向,由兩導(dǎo)體棒組成的整體不受外力作用,動量守恒。t2時(shí)刻Δv=v1-v2=0,說明兩導(dǎo)體棒同速,根據(jù)動量守恒定律得mv0=(m+m)v,解得,根據(jù)能量守恒定律得,解得,選項(xiàng)A 正確。t1時(shí)刻Δv=v1-,根據(jù)動量守恒定律得mv0=mv1+mv2,解得。t1時(shí)刻兩導(dǎo)體棒均向右做切割磁感線運(yùn)動,形成雙電源,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得E=BLv1-BLv2,其中,解得,根據(jù)閉合電路歐姆定律得,對導(dǎo)體棒2應(yīng)用牛頓第二定律得BIL=ma,解得a=,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,C正確。在0～t2時(shí)間內(nèi),對導(dǎo)體棒2應(yīng)用動量定理得,即,又有,解得x=,選項(xiàng)D 正確。

答案：ACD

點(diǎn)評:在0～t2時(shí)間內(nèi),導(dǎo)體棒1向右做初速度為v0的減速運(yùn)動,導(dǎo)體棒2由靜止開始向右做加速運(yùn)動,根據(jù)右手定則判斷出兩導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流方向相反,且導(dǎo)體棒1的速度大于導(dǎo)體棒2的速度,導(dǎo)體棒1 切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢較大,因此回路中的總感應(yīng)電動勢E=BLv1-BLv2。

2.“雙棒”在水平導(dǎo)軌上反向運(yùn)動。

例2兩根足夠長固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌上垂直放置兩根金屬棒,在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)磁場,其俯視圖如圖2所示。已知兩導(dǎo)軌間的距離d=0.2 m,勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2 T,兩根金屬棒的電阻均為r=0.25 Ω,回路中其余部分的電阻不計(jì)。兩根金屬棒在平行于導(dǎo)軌的拉力作用下沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移,速度大小均為v=5 m/s,兩根金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好,不計(jì)金屬棒與導(dǎo)軌之間的摩擦。在兩根金屬棒的間距增加s=0.4 m 的滑動過程中,下列說法中正確的是( )。

圖2

A.每根金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢均為E=0.2 V

B.回路中的感應(yīng)電流I=0.4 A

C.作用在每根金屬棒上的拉力大小F=3.2×10-2N

D.回路中產(chǎn)生的熱量Q=2.56×10-2J

解析：兩根金屬棒同時(shí)沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移,兩根金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等,方向相同,兩根金屬棒與導(dǎo)軌構(gòu)成閉合回路,其等效電路如圖3所示。根據(jù)法拉第感應(yīng)定律得每根金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小E1=E2=Bdv=0.2 V,根據(jù)閉合電路歐姆定律得回路中的感應(yīng)電流,選項(xiàng)A 正確,B錯(cuò)誤。金屬棒沿導(dǎo)軌勻速移動,受到的拉力等于安培力,則F=F安=BId=3.2×10-2N,選項(xiàng)C 正確。在兩根金屬棒的間距增加s=0.4 m 的滑動過程中,回路中產(chǎn)生的熱量等于兩根金屬棒克服安培力做功而轉(zhuǎn)化的電能,也等于外力F做的總功,則Q=,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

圖3

答案：AC

點(diǎn)評:兩根金屬棒沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移,根據(jù)右手定則判斷出兩根金屬棒中的感應(yīng)電流方向相同,兩根金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢之和等于閉合回路的總感應(yīng)電動勢。

注意：在兩根金屬棒的間距增加s的滑動過程中,每根金屬棒的位移均為,而不是s。

二、“雙棒”在不同面導(dǎo)軌上運(yùn)動

兩根導(dǎo)體棒與不在同一個(gè)平面內(nèi)的導(dǎo)軌組成閉合回路,不僅要考慮導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢,還要考慮動能、勢能、內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。求解這類問題時(shí),一般情況下需要將兩根導(dǎo)體棒視為一個(gè)整體,靈活選用動量定理、動量守恒定律、能量守恒定律等物理規(guī)律列式求解。

例3如圖4所示,半徑為r的光滑四分之一圓弧軌道MN、M'N'與足夠長的水平光滑金屬軌道NP、N'P'平滑連接,兩軌道等高且平行,軌道間距為L,電阻不計(jì)。電阻為R,質(zhì)量為m的金屬棒cd鎖定在水平軌道上距離NN'連線足夠遠(yuǎn)的位置,整個(gè)裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中。現(xiàn)在外力作用下使電阻為R,質(zhì)量為m的金屬棒ab從軌道最高端MM'位置開始以大小為v0的速度沿圓弧軌道做勻速圓周運(yùn)動,金屬棒ab在運(yùn)動過程中始終與軌道垂直且接觸良好,重力加速度為g,則( )。

圖4

A.金屬棒ab剛好運(yùn)動到NN'連線位置時(shí)金屬棒cd受到的安培力大小為,方向水平向左

B.金屬棒ab從MM'連線位置運(yùn)動到NN'連線位置時(shí),回路中產(chǎn)生的焦耳熱為

C.若金屬棒ab運(yùn)動到NN'連線位置時(shí)撤去外力,則金屬棒ab沿軌道能夠運(yùn)動的距離為

D.若金屬棒ab運(yùn)動到NN'連線位置時(shí)撤去外力并解除金屬棒cd的鎖定,則從金屬棒ab開始運(yùn)動到最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的整個(gè)過程中,回路中產(chǎn)生的焦耳熱為

解析：金屬棒ab剛好運(yùn)動到NN'連線位置時(shí),回路中的瞬時(shí)電流,金屬棒cd受到的安培力大小,方向水平向左,選項(xiàng)A 正確。金屬棒ab從MM'連線位置運(yùn)動到NN'連線位置的過程中做勻速圓周運(yùn)動,設(shè)金屬棒ab運(yùn)動到圓弧軌道上的某位置時(shí),該位置與圓心連線跟水平方向之間的夾角為θ,根據(jù)v0t=rθ可得,感應(yīng)電動勢,因此回路中電流的有效值,又有金屬棒ab沿圓弧軌道運(yùn)動的時(shí)間,故回路中產(chǎn)生的焦耳熱,選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。從撤去外力到金屬棒ab停止運(yùn)動的過程中,根據(jù)BILt=mv0和,解得x=,選項(xiàng)C 錯(cuò)誤。金屬棒ab運(yùn)動到NN'連線位置時(shí)撤去外力并解除金屬棒cd的鎖定,從撤去外力到兩金屬棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中,根據(jù)動量守恒定律得mv0=2mv,根據(jù)能量守恒定律得,解得。因此從金屬棒ab開始運(yùn)動到兩金屬棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中,回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=Q1+Q2=,選項(xiàng)D 正確。

答案：AD

點(diǎn)評:金屬棒ab沿圓弧軌道下滑,金屬棒cd鎖定時(shí),金屬棒ab切割磁感線產(chǎn)生正弦式感應(yīng)電動勢,計(jì)算回路中產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)代入感應(yīng)電流的有效值。金屬棒ab運(yùn)動到NN'連線位置時(shí)撤去外力并解除金屬棒cd的鎖定后,兩根金屬棒在水平軌道上平動,滿足動量守恒定律和能量守恒定律。