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    從問(wèn)題解決談思維進(jìn)階的教學(xué)嘗試與思考

    2023-03-21 00:40:40史厚勇
    關(guān)鍵詞:思維進(jìn)階問(wèn)題解決數(shù)學(xué)思維

    史厚勇

    【摘 要】數(shù)學(xué)是思維的體操,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。在教學(xué)中,教師要聚焦學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程,引領(lǐng)學(xué)生的思維由表及里、由點(diǎn)成體、由淺入深、由窄到寬、由單到合,促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階、發(fā)展。

    【關(guān)鍵詞】問(wèn)題解決;數(shù)學(xué)思維;思維進(jìn)階

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用[1]1,為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式[1]6。這種思考方式是指學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)學(xué)科相結(jié)合的“獨(dú)特”思考角度,即學(xué)生以個(gè)性化的眼光,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化思維的審視過(guò)程,認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要聚焦學(xué)生思維,促使學(xué)生將“隱性”的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行多元化的表達(dá),從而實(shí)現(xiàn)思維的“可視化”,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階、深化。筆者嘗試聚焦學(xué)生的問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)階進(jìn)行了一些思考和探索。

    一、關(guān)注過(guò)程,引思維由表及里

    學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)是思維不斷地自我構(gòu)建和自我完善的過(guò)程。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都體現(xiàn)在自身的思維之中,隱藏于自身的思維深處,很難“外化”于“可見(jiàn)”層面。同時(shí),教師評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度往往以結(jié)果來(lái)衡量,評(píng)價(jià)顯得片面,可能會(huì)掩蓋某些存在的誤區(qū)。筆者認(rèn)為,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度,要根植于學(xué)生的思維過(guò)程,將學(xué)生隱藏的思維“外顯”,由表及里,層層推進(jìn),這樣才能真正地引導(dǎo)學(xué)生追溯知識(shí)的本質(zhì),使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”。

    例如,蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法和除法”中有一道練習(xí)題:“每套衣服用布2.2米,30米布可以做多少套這樣的衣服?”教材的編寫意圖很明確,即通過(guò)除法豎式運(yùn)算,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題用“四舍五入”法取近似值不符合生活實(shí)際,從而突出以生活實(shí)際為依據(jù)取商的近似值的合理性。學(xué)生在解答時(shí),呈現(xiàn)了如圖1所示的解法。

    從學(xué)生解答的結(jié)論來(lái)看,學(xué)生已經(jīng)達(dá)成教材的編寫意圖,但仔細(xì)觀察學(xué)生的解答過(guò)程,我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的不足。解法1中,學(xué)生將商的小數(shù)部分“0.6363…”錯(cuò)誤地理解為剩余布的米數(shù);解法2中,學(xué)生將余數(shù)“14”錯(cuò)誤地理解為“剩余14米布”。如果只看結(jié)論,不關(guān)注過(guò)程,教師很難看出學(xué)生思維的不足。為了幫助學(xué)生真正進(jìn)行數(shù)學(xué)理解,筆者對(duì)題目做了一些改進(jìn)。題目改為:“每套衣服用布2.2米,30米布可以做多少套這樣的衣服?小華的解答如圖2所示,你能讀懂嗎?”

    從改進(jìn)的題目看,豎式過(guò)程與學(xué)生的思維過(guò)程相同,關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算過(guò)程的實(shí)際意義進(jìn)行理解。即從小數(shù)2.2(除數(shù))“擴(kuò)大”成整數(shù)22開(kāi)始,厘清30÷2.2與300÷22的轉(zhuǎn)化過(guò)程,將“30里面有幾個(gè)2.2”的除法意義遷移至“300里面有幾個(gè)22”。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)“14”是經(jīng)過(guò)放大10倍后的數(shù)值,它實(shí)際表示“14分米”,也就是13套衣服做好后,還剩下14分米(1.4米)布,不足以再做一套衣服。在豎式繼續(xù)除下去的過(guò)程中,需要在“14”后面添“0”繼續(xù)除,“14”轉(zhuǎn)化成“140”,其實(shí)際表示“140厘米”。學(xué)生通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的解讀、理解,不僅獲得結(jié)論,而且把握了知識(shí)的本質(zhì),思維由淺層向深層發(fā)展。

    二、前后串聯(lián),引思維由點(diǎn)成體

    美國(guó)教育家杜威認(rèn)為,一次完整的思維包含著兩種運(yùn)動(dòng),即既包含歸納——從一些既定的局部性和凌亂的資訊,聯(lián)想到綜合的(或包含的)整體情況,又包含演繹——從一個(gè)整體(一定的內(nèi)涵、外延的意義,一種看法)回過(guò)來(lái)思索那些具體的事實(shí),使它們互相連接,而且與留心聯(lián)想到的事實(shí)相連接。其思維的過(guò)程就是在觀察到的事實(shí)和推想之間來(lái)回運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)中,讓一些原本不相聯(lián)結(jié)的細(xì)節(jié)相互聯(lián)系,最終構(gòu)成了一次完整的體驗(yàn)。[2]筆者認(rèn)為,學(xué)生思維的成功與否,在于把思維過(guò)程中的每一個(gè)點(diǎn)、每一條線、每一個(gè)面串聯(lián)起來(lái),即在于點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的歸納構(gòu)建。學(xué)生只有將所獲得的知識(shí)點(diǎn)連成線、形成面、構(gòu)成體,這樣的思維才是深刻的,才具有生長(zhǎng)的可能。例如,在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”中,教材有如下練習(xí)題。

    練習(xí) 圖3中正方形的周長(zhǎng)是20厘米,平行四邊形的面積是多少平方厘米?

    學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn),正方形和平行四邊形等底等高,因此正方形的面積與平行四邊形的面積相等,據(jù)此求出平行四邊形的面積。此題的解答可謂“水到渠成”,但如果只局限于問(wèn)題解決,顯然還不夠。此題的本質(zhì)是圖形間的“等積變形”,教師要有意識(shí)地通過(guò)圖形間的關(guān)聯(lián),將“等積變形”的核心在平面圖形中延伸,從而幫助學(xué)生建立起平面圖形的整體結(jié)構(gòu)意識(shí),發(fā)展學(xué)生的空間思維。

    為此,筆者設(shè)計(jì)了如下題目,將“等積變形”進(jìn)一步發(fā)散、拓展,引發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維。

    題1 圖4中哪幾對(duì)三角形的面積相等(兩條虛線互相平行)?你還能畫(huà)出和△ABC面積相等的三角形嗎?

    題2 圖5中哪幾個(gè)梯形的面積相等?為什么?

    題3 我們?cè)?jīng)用下面的方法解決了求三角形面積的問(wèn)題(如圖6)。有了這樣的經(jīng)驗(yàn),你能求出圖7中幾何體的體積嗎?把你的想法畫(huà)出草圖并列式計(jì)算(單位:厘米,π取3.14)。

    教師通過(guò)多種題型的設(shè)計(jì),從基礎(chǔ)的“點(diǎn)”走向脈絡(luò)的“線”,形成立體的“面”,層層推進(jìn),不斷豐富“等積變形”的表象,提升學(xué)生思維的廣度和思考的深度,使學(xué)生思維的立體感更強(qiáng)。

    三、動(dòng)態(tài)發(fā)展,引思維由淺入深

    動(dòng)態(tài)思維是一種運(yùn)動(dòng)的、調(diào)整性的、不斷優(yōu)化的思維活動(dòng)。它要求思維根據(jù)不斷變化的環(huán)境和條件來(lái)改變自己的思維程序和思維方向,對(duì)事物進(jìn)行調(diào)整、控制,以達(dá)到優(yōu)化的思維目標(biāo)。[3]學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)再改造的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、類比、分析、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,從動(dòng)態(tài)發(fā)展的角度去思考、體會(huì),實(shí)現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用和認(rèn)知的延伸,從而培養(yǎng)動(dòng)態(tài)思維。

    例如,對(duì)于平面圖形的面積推導(dǎo),蘇教版數(shù)學(xué)教材的整體思路是將陌生的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的圖形,然后推導(dǎo)出新圖形的面積公式(如圖8)。

    這種思路明確且自然,但教材只是提供一種思路,圖形面積推導(dǎo)的路徑并非僅此一種,教師如果僅用固化的方式進(jìn)行課堂教學(xué),那么學(xué)生的思維必然有所限制。其實(shí),對(duì)于圓的面積公式的推導(dǎo),教師還可以借助運(yùn)動(dòng)的變化來(lái)引導(dǎo)學(xué)生,即將一個(gè)圓看作是由無(wú)數(shù)條曲線組成(如圖9)。由圖9可知,最外面的曲線就是圓的周長(zhǎng)2 r,最短的曲線是圓心,將圓沿半徑剪開(kāi),以圓的半徑為高,得到一個(gè)三角形。則三角形的高就是圓的半徑,三角形的面積與圓的面積相等,從而推導(dǎo)出圓的面積公式。

    另外,梯形、長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形的面積公式可以實(shí)現(xiàn)通用。如將梯形的上底延長(zhǎng),可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形;將梯形的上底縮短為一個(gè)點(diǎn),可以轉(zhuǎn)化為三角形(如圖10)。這種具有聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng),讓學(xué)生用動(dòng)態(tài)的思維進(jìn)行思考,使學(xué)生思維得到更深刻的鍛煉。

    四、開(kāi)放追問(wèn),引思維由窄到寬

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,要發(fā)展質(zhì)疑問(wèn)難的批判性思維,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度,初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì),逐步形成理性精神[1]6。學(xué)生發(fā)展批判性思維并非無(wú)意識(shí)地批判,而是在教師引導(dǎo)從思維深處聯(lián)想、融會(huì)貫通后,對(duì)情境中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行充分的觀察、提取、加工和概括,再結(jié)合個(gè)人的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),提出質(zhì)疑和問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難。在學(xué)生提問(wèn)時(shí),教師要不呵斥、不打斷、不敷衍[4],這樣才能看到學(xué)生思維的深處,提升學(xué)生思維的寬度。例如,在容積的學(xué)習(xí)中,學(xué)生曾遇到如下練習(xí)題。

    練習(xí) 如圖11,用一張長(zhǎng)40厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮,在四個(gè)角剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形之后,做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器(焊接處和鐵皮厚度不計(jì))。這個(gè)容器的容積是多少立方厘米?

    學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),在長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形,所做成的長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去2個(gè)5厘米,長(zhǎng)方體的寬是原來(lái)長(zhǎng)方形的寬減去2個(gè)5厘米,長(zhǎng)方體容器的深度便是所剪的正方形的邊長(zhǎng),無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的容積也就迎刃而解。學(xué)生對(duì)此題的解答,關(guān)鍵在于能夠?qū)⒊ニ膫€(gè)角剩下的圖形(如圖12)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖,然后再還原成長(zhǎng)方體容器。這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生需要具備一定的空間觀念,有一定的難度,但這種難度尚處于淺層次。學(xué)生只要理解去除四個(gè)角,就能解決問(wèn)題。

    教師可以引導(dǎo)學(xué)生再繼續(xù)觀察,并提出設(shè)想:從長(zhǎng)方形鐵皮中剪下的四個(gè)角,如果還用在這個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮中,是不是可以增加這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的容積?如果可以,那么這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器又該如何剪拼?由于長(zhǎng)方形鐵皮沒(méi)有任何損耗,所做的長(zhǎng)方體容器的容積肯定會(huì)變大,學(xué)生猜想正確。但如何驗(yàn)證成為學(xué)生問(wèn)題解決的難點(diǎn),是學(xué)生思維最大的障礙,也是學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。此時(shí)需要教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo),幫助學(xué)生完成這種“生長(zhǎng)”,使學(xué)生從“混沌”思維中突破,變得“清明”。

    師:我們從四個(gè)角剪下相同的正方形,目的是使剩下的圖形可以折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器。如果只剪一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)相同的正方形,再進(jìn)行重新組合,能不能拼成長(zhǎng)方體?請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?/p>

    師:如果我們把長(zhǎng)方形鐵皮分成兩部分,一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面,另一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的四個(gè)面,又需要怎樣操作?

    在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生不斷地猜想、嘗試,形成兩種剪拼方式:(1)從長(zhǎng)方形鐵皮中只剪下兩個(gè)角,然后焊接到另一面,做成一個(gè)新的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器(如圖13);(2)將長(zhǎng)方形鐵皮平均分成兩部分,一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面,另一部分再平均分成四份,做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的四個(gè)面(如圖14)。

    學(xué)生通過(guò)充分的剪拼活動(dòng),形成新的思考方式,其思維進(jìn)一步拓寬,由窄變寬,思維在“再創(chuàng)造”中,走向深入,走向深刻。

    五、學(xué)科拓展,引思維由單到合

    學(xué)科拓展是一種關(guān)注整體和整合的教育理念。學(xué)生生活的世界是一個(gè)系統(tǒng)、有機(jī)的整體,所面臨的生活實(shí)際問(wèn)題是綜合性的。如果單純從數(shù)學(xué)學(xué)科角度解決實(shí)際問(wèn)題,其效果具有一定的局限性。因此需要多種知識(shí)協(xié)同合作解決,用跨學(xué)科、整體化的思想推進(jìn)學(xué)科課程,形成學(xué)科內(nèi)容的綜合化、協(xié)同化,幫助學(xué)生建立不同學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)知識(shí)與生活的整合,使學(xué)生能以數(shù)學(xué)的眼光觀察、思考、表達(dá)世界,形成數(shù)學(xué)的理性思維。

    需要注意的是,學(xué)科整合拓展不是一味地做“加法”,也不是一味地做“減法”,而是基于共同的需求,在目標(biāo)一致的基礎(chǔ)上進(jìn)行整合,將數(shù)學(xué)知識(shí)的“點(diǎn)”與其他學(xué)科的“點(diǎn)”進(jìn)行融合,形成具有挑戰(zhàn)性的作業(yè)。例如,組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)手抄報(bào)的設(shè)計(jì)創(chuàng)作便是數(shù)學(xué)學(xué)科拓展的典例之一。在整理和復(fù)習(xí)平面圖形知識(shí)時(shí),有學(xué)生將小學(xué)階段所學(xué)的平面圖形進(jìn)行圖形展示,然后將各個(gè)圖形的要點(diǎn)內(nèi)嵌于圖形之中,做到圖形與知識(shí)間的對(duì)等關(guān)聯(lián),最終以圖文并茂的手抄報(bào)形式呈現(xiàn),將平面圖形的知識(shí)要點(diǎn)表現(xiàn)得淋漓盡致。也有學(xué)生從平面圖形的面積推導(dǎo)入手,以思維導(dǎo)圖形式設(shè)計(jì)手抄報(bào)。學(xué)生在分析各個(gè)平面圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程后,發(fā)現(xiàn)各個(gè)平面圖形的推導(dǎo)過(guò)程均以轉(zhuǎn)化作為推導(dǎo)的內(nèi)在思想,于是通過(guò)轉(zhuǎn)化這一思維點(diǎn)關(guān)聯(lián)各個(gè)圖形的面積推導(dǎo)過(guò)程,關(guān)聯(lián)面積公式,關(guān)聯(lián)面積計(jì)算等,以思維前行的方式將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合,將隱性的思維點(diǎn)、抽象的知識(shí)點(diǎn)和顯性的圖形點(diǎn)進(jìn)行完美融合。數(shù)學(xué)思維從單一的問(wèn)題解決走向綜合應(yīng)用,這樣的思維更具有理性的質(zhì)感。

    總而言之,思維雖然隱匿于學(xué)生頭腦之中,其發(fā)展提升更是不可摸、不可感,但只要我們抓住學(xué)生思維的“弦”,從多層次、多點(diǎn)面、多視角、多關(guān)聯(lián)、多學(xué)科去審視、去表達(dá)、去整合,就能將學(xué)生思維“可視化”,實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階與發(fā)展。

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

    [2]杜威.我們?nèi)绾嗡季S[M].伍中友,譯.北京:新華出版社,2010.

    [3]姚鳳云,朱光.創(chuàng)造學(xué)與創(chuàng)新管理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2015.

    [4]邢瑾.基于“精彩觀念的誕生”問(wèn)學(xué)課堂的建構(gòu)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究,2021(5):39-40,53.

    (責(zé)任編輯:羅小熒)

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