小學數(shù)學學習中常見的邏輯問題及應對策略

郝高峰 薛維暢 白翠霞

【摘 要】小學數(shù)學學習中存在的循環(huán)論證、以偏概全、碎片說理等邏輯問題雖不可避免，但已成為阻礙學生深度學習的絆腳石。教師必須保持清醒的頭腦和敏銳的眼光，追根溯源，循序漸進，整體建構，逐漸理順知識間的邏輯關系，完善邏輯結構，重塑邏輯體系，積極尋求應對之策，促進學生深度學習，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】邏輯問題；追根溯源；循序漸進；整體建構；深度學習

一、引言

筆者在多年來的教學和聽評課活動中發(fā)現(xiàn)，學生在數(shù)學學習中經常會出現(xiàn)一些邏輯問題，不僅不自知，更是常常被教師所忽略。比如，在教學北師大版數(shù)學四年級下冊“三角形內角和”時，有一個問題是要求學生進行小組活動：每人準備一個三角形，量一量三角形每個內角的度數(shù)，并計算三個內角的和。這個活動的目的是通過測量活動，歸納得出三角形內角和相對固定，即集中在180°左右。從而引發(fā)猜想：三角形內角和會不會就是180°呢？為后面進一步用“拼角”等其他方法驗證做好鋪墊。而學生常常出現(xiàn)“湊180°”的現(xiàn)象（見表1），即把結論誤當成條件，通過三角形內角和是180°和其他兩個角的度數(shù)，推知第三個角的度數(shù)，從而計算出一組“完美”卻不真實的數(shù)據(jù)，完成了一次不自知的虛假測量活動。

再如，對于北師大版數(shù)學五年級上冊“分數(shù)基本性質”的教學，在學生完成了問題1（如圖1）后，教師提出問題2：“請你再舉一組這樣的例子，并與同伴進行交流。”學生往往會直接寫出1個分數(shù)，再給分子和分母同時擴大相同的倍數(shù)，先后得到2個不同的等值分數(shù)，最后給3個分數(shù)分別對應圖形，使得結果看起來“正確”。實際在沒有歸納出分數(shù)基本性質的時候，學生已經不知不覺地運用它來構造分數(shù)，之后又會通過這幾組等值分數(shù)歸納得出分數(shù)基本性質。

不難看出，不管是在沒有得出三角形內角和是180°時，就應用其虛構測量數(shù)據(jù)，再根據(jù)這些數(shù)據(jù)得出結論；還是把分數(shù)基本性質當成條件先構造出等值分數(shù)，再用這些等值分數(shù)作為條件，歸納得出分數(shù)基本性質，都存在循環(huán)論證的邏輯問題。而類似的邏輯問題在小學數(shù)學學習中時有發(fā)生，使得學生學習停留在淺層思維水平，嚴重阻礙了學生深度學習的發(fā)生，應該引起教師的警惕和重視。

二、小學數(shù)學學習中常見的邏輯問題

邏輯（logic），在英文中等同規(guī)律、規(guī)則、法則等意思，在現(xiàn)代漢語中內涵則更為豐富。廣義的邏輯泛指規(guī)律（思維規(guī)律和客觀規(guī)律），狹義的邏輯一般指思維規(guī)律。本文所說的邏輯問題既指解決問題時思維過程違反形式邏輯的基本規(guī)律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，從而導致偷換論題、論據(jù)不真實、循環(huán)論證和形式論證而內涵不符等常見邏輯錯誤［1］；也包括局部雖未有明顯的邏輯錯誤，但整體來看說理方式各行其道，缺少統(tǒng)一而引起的思維混亂。在小學數(shù)學學習中常表現(xiàn)為循環(huán)論證、以偏概全和碎片說理等。

1.循環(huán)論證

循環(huán)論證，是指用來證明論題的論據(jù)本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤［2］。小學生在數(shù)學學習中經常會出現(xiàn)此類現(xiàn)象，他們會不自覺地用自己認為的“事實”理所當然地說明或驗證該“事實”。如前文“三角形內角和”的學習中，探究三角形內角和時，學生不明就里地將需要證明的結論當作已知事實，運用三角形內角和等于180°推算出三角形內角的度數(shù)，以推算出來的數(shù)據(jù)代替實際測量數(shù)據(jù)，并循環(huán)使用這些數(shù)據(jù)說明三角形內角和就是180°，這顯然違反了邏輯規(guī)律。當然，學生在經過測量計算、提出猜想、拼角驗證等方法得出三角形內角和等于180°之后，再應用其解決求內角度數(shù)的問題又是另外一回事了。

2.以偏概全

以偏概全的現(xiàn)象在小學數(shù)學學習中普遍存在。它是指解決問題的過程中囿于各種原因用片面的部分規(guī)律來看待整體問題。小學生的思維特點傾向于直觀和具體，因此多數(shù)概念、性質的學習都是通過具體實例，用不完全歸納法得出。于是，會出現(xiàn)用“分數(shù)除以整數(shù)”和“整數(shù)除以單位分數(shù)”的算理代替整個“分數(shù)除法”的算理等現(xiàn)象，造成以偏概全［3］，從而人為地避開學習中的難點，偷換概念，讓學習看起來“一帆風順”。

3.碎片說理

碎片說理，是指面對同一類學習對象，分別按照不同的邏輯方式碎片化講述各自的道理。局部來看雖無明顯邏輯錯誤，但整體考量卻各講各的理，各行其道，缺少進一步的加工、整合，以及整體一致性的溝通，從而造成邏輯上的混亂。比如，同為加減運算，整數(shù)強調數(shù)位對齊，小數(shù)則要求小數(shù)點對齊，分數(shù)則是先通分成同分母分數(shù)再相加減；同為小數(shù)四則運算，加減法強調小數(shù)點對齊，乘法要求末位對齊，除法則先要將除數(shù)轉化成整數(shù)再計算。再比如，同樣是研究倍數(shù)特征，2、5的倍數(shù)看個位，3、9的倍數(shù)得看各個數(shù)位之和。整體來看，這些知識的邏輯并不統(tǒng)一，如果不加以整理、歸類，學生很容易陷入混亂。

三、歸因分析

小學數(shù)學學習之所以會存在以上種種邏輯問題，究其根本，主要是由小學生的思維特點和認知基礎所決定的。另外，教材“混而不錯”的編排及教師對教學內容理解的局限性和認知的不斷發(fā)展也是造成這種現(xiàn)象普遍存在的直接原因。

1.小學生的思維特點和認知基礎

小學生的思維特點是以具體形象思維為主要形式，并逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡。而在過渡期間，適量的直觀形象支撐不可或缺。皮亞杰的認知發(fā)展理論也指出，小學生的認知水平基本處于具體運算階段，即位于前運算階段和形式運算階段之間。隨著年齡的增長，特別是到了第三學段，開始逐漸向形式運算階段過渡。他們雖逐步具備了一定的邏輯運算能力，但其運算仍離不開具體事物的支持，運算的形式也沒有完全與內容分離。而高度的抽象性是數(shù)學的本質特征。擅長具體形象思維的小學生要逐步走近高度抽象的數(shù)學，就必然會經歷暫時的邏輯混亂階段，以形象幫助理解抽象，因此在邏輯的嚴謹性上可能有所欠缺。

2.教材編寫中的“混而不錯”

基于小學生的思維特點和認知基礎，蘇步青認為，小學數(shù)學教材編寫要堅持“混而不錯”的原則，從而保持一定的邏輯嚴謹性。這也成了小學數(shù)學教材編寫者長期的一個共識。適度的“混”一定程度上適應了小學生的思維特點和認知規(guī)律，給學生的數(shù)學學習以緩沖，在小學數(shù)學教育教學中能發(fā)揮積極的作用。但“混”到什么程度，什么該“混”，什么又堅決不能“混”都是極有講究的。另外，面對不斷變化的小學生，幾近不變的“混而不錯”的教材編排也很難保證不會培養(yǎng)出“混而有錯”的學生。更何況中小學教材要完全做到“混而不錯”也并不容易［4］。

3.教師對教學內容理解的局限性和認知的不斷發(fā)展

教師作為教學活動的組織者、引導者和合作者，對教材及其他教學內容內在邏輯的準確理解和個性化解讀，是影響學生深度學習的關鍵因素之一。實踐表明，一些教師對教材的盲目“迷信”，以及對教學內容理解的局限性，使得學生長期處在“混亂”的邏輯環(huán)境中，嚴重阻礙了小學生思維能力的發(fā)展。另外，隨著教育理念的日益革新，教師的認知也在不斷發(fā)展。如以前看著理所當然的邏輯在“大單元”“大概念”等理念的沖擊下暴露了它的不足，即缺乏邏輯的整體性和一致性，愈發(fā)顯得支離破碎，問題頻出。

四、應對之策

張奠宙曾指出，如果一味地將未加證明的“發(fā)現(xiàn)”不加懷疑地當作真理，久而久之，養(yǎng)成一種不加論證就斷然肯定的思維習慣，必將對以后學習數(shù)學理性文明帶來負面影響［5］。因此，面對已經暴露出來或隱藏在小學數(shù)學學習過程中的邏輯問題，教師必須保持清醒的頭腦和敏銳的眼光，積極尋求應對之策，為實現(xiàn)學生的深度學習創(chuàng)造條件。

1.追根溯源，理順邏輯關系

面對循環(huán)論證等邏輯問題，教師在教學中要幫助學生厘清邏輯起點，理順“條件”與“結果”之間的邏輯關系。尤其是在概念建立初期就要明確因果關系，盡可能追根溯源，厘清知識的來龍去脈，從而為后續(xù)學習奠定堅實的邏輯基礎。以前文中“分數(shù)基本性質”的教學為例，問題2顯然是在問題1的基礎之上，讓學生自己通過數(shù)形結合的方式找出一組相等的分數(shù)。比如教材給出了兩組分數(shù)（如圖2），讓學生進行交流。第一組是先把1個正方形平均分成2份，涂出其中的1份，即[12]，再把每1小份平均分成2份，相應地正方形被平均分成了4份，涂色部分也可以表示為[24]，繼續(xù)細分，涂色部分還可以表示為[48]等。因為涂色部分都占了這個正方形的“一半”，說明3個分數(shù)的大小相等，即[12]=[24]=[48]。而第二組則是“合并”的過程，即將[812]中的2小份合并成1份得到[46]，再合并得到[23]。因為這3個分數(shù)所表示的陰影部分面積一樣大，所以它們相等，得到[812]=[46]=[23]。最后通過觀察多組等值分數(shù)的分子、分母之間的關系，歸納出分數(shù)基本性質?？梢?，本節(jié)課正確的邏輯關系應是在問題1示例的基礎上，先借助數(shù)形結合，根據(jù)分數(shù)的意義找出若干組等值分數(shù)，再通過觀察這些等值分數(shù)歸納出分數(shù)基本性質，最后才是應用這一性質解決問題。只有當師生都理順了教材的邏輯關系，學生才能在學習中真正觸及知識本質，明確什么是“因”，什么是“果”，并建立起正確的因果關系，使得學習從淺表走向深入。

2.循序漸進，完善邏輯結構

由于小學生的思維現(xiàn)狀，教師不得不退而求其次，常常以合情推理代替嚴格的演繹推理，致使邏輯結構出現(xiàn)一定的漏洞。在教學中，教師決不可礙于此而止步不前。相反，教師更應該在順應小學生思維水平的基礎上，循序漸進，積極引導學生的思維水平向更深的層次發(fā)展。以北師大版數(shù)學四年級上冊“乘法分配律”學習為例。教師一般結合“廚房貼瓷磚”情境，先引導學生列式計算、對比得出兩組等式（3+5）×10=3×10+5×10和（4+6）×8=4×8+6×8，再引導學生觀察規(guī)律，同時寫出幾組類似的等式，進而用字母表示為（a+b）×c=a×c+b×c，明確這就是乘法分配律。實際上，學生即使舉出再多的例子，通過不完全歸納法也只能得出一個猜想，而非結論。教學中，教師不能僅僅滿足于此，可分三個階段逐步完善邏輯結構。

階段一：在傳統(tǒng)教學的基礎上，教師可著重引導學生從算式本身的意義角度來解釋乘法分配律。比如（3+5）×10=3×10+5×10可理解為（3+5）個10，即8個10，等于3個10加上5個10；進一步，8個10還可以理解成1個10加上7個10或2個10加上6個10等。教師應逐步引導學生感受（a+b）個c實際就是a個c加上b個c。

階段二：單元復習時，教師可進一步引導學生體會（3+5）×10=3×10+5×10也可理解為10個（3+5），即10個8，等于10個3加上10個5。再進一步，10個8還可以理解成10個1加上10個7等，引導學生感受c個（a+b）實際就是c個a加上c個b。同時，教師可以通過面積模型（如圖3）等方式，讓學生直觀理解乘法分配律的原理。

階段三：在五、六年級再次應用乘法分配律，最晚到六年級總復習時，教師可引導學生體會乘法分配律和加法交換律、結合律之間的因果關系，進一步完善邏輯結構。即

（a+b）×c=[（a+b）+（a+b）+（a+b）+…+（a+b）c個（a+b）]

=[（a+a+a+…+a）c個a]+[（b+b+b+…+b）c個b]

=a×c+b×c

3.整體建構，重塑邏輯體系

目前的小學數(shù)學學習內容存在“碎片式”說理現(xiàn)象，表現(xiàn)為教師更多關注知識本身，對知識之間的關聯(lián)不夠，尤其是缺失邏輯的整體性和一致性。隨著“大單元”“大概念”等思想深入人心，特別是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的出臺，重新審視當下的教學內容和數(shù)學課堂，完成教學內容的整體建構，重塑知識間的邏輯體系已勢在必行。其中，鞏子坤等對于“數(shù)與代數(shù)”領域中數(shù)的概念與運算的一致性研究較為深入［6］。

筆者以“圖形與幾何”領域中“周長”“面積”和“體積”教學的一致性為例，進行簡要說明。在傳統(tǒng)教學中，周長被描述為圖形一周的長度，面積指物體的表面或封閉圖形的大小，體積則是物體所占空間的大小，它們的計算各不相同。學生在學習中往往不明就里，孤立地掌握了一個又一個公式。教師可以抓住單位這個核心概念，從度量的角度進行整體建構。所謂周長，就是以長度單位度量圖形的“一周”，即以“長”度“周（長）”；面積則是用面積單位度量平面圖形“面的大小”，即以“面”積“面”；體積則是用體積單位度量物體（圖形）的“空間大小”，即以“體”積“體”。學生明確了三者單位的區(qū)別也就理解了這三個概念。它們和數(shù)的認識與運算也具有一致性，即本質是“單位”和“單位的個數(shù)”的問題。這樣，我們就跨越代數(shù)與幾何領域完成了一次整體建構，重塑了一個統(tǒng)一的邏輯體系。

綜上所述，小學數(shù)學學習中普遍存在的循環(huán)論證、以偏概全、碎片說理等邏輯問題已成為學生深度學習的絆腳石。教師既要基于學情，認清現(xiàn)狀，也要敢于作為，勇于突破。對于基本知識，要懂得追根溯源，理順知識間的邏輯關系；遇到難點知識，要嘗試循序漸進，分階段完善知識間的邏輯結構；面對碎片化知識，要善于整體建構，重塑知識間的邏輯體系，走向結構化教學，促進學生深度學習，最終實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的整體提升。

參考文獻：

［1］李凌燕.數(shù)學分析論證形式邏輯推理中易出現(xiàn)的錯誤及分析［J］.景德鎮(zhèn)學院學報，2019（3）：17-20.

［2］陳曉燕.小學數(shù)學教學中“循環(huán)論證”邏輯錯誤案例及分析［J］.中小學數(shù)學（小學版），2015（Z1）：16-18.

［3］郝高峰.智慧老人，你為何“以偏概全”：“除數(shù)是分數(shù)的除法”算理教學的思考及重構［J］.小學數(shù)學教師，2021（1）：53-56.

［4］張奠宙.適合兒童年齡特征和避免數(shù)學差錯：關于“找規(guī)律”及其他［J］.小學教學（數(shù)學版），2014（3）：8-9.

［5］張奠宙.小學數(shù)學課程必須堅持“混而不錯”的原則：以“平行與垂直”的教材編排為例［J］.小學教學（數(shù)學版），2015（2）：4-6.

［6］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

（責任編輯：羅小熒）