巧借坐標(biāo)法，妙解空間角

■ 甘肅省金昌市第一中學(xué) 高 婷

立體幾何中的空間角(包括異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的平面角)問題,是歷年高考立體幾何解答題中必不可少的一個(gè)基本考點(diǎn)。此類問題借助相應(yīng)的空間幾何體的情景創(chuàng)設(shè),利用空間中直線、平面等元素之間的關(guān)系,合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的空間角,全面考查同學(xué)們的空間想象能力,以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。而其中,借助空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用空間中點(diǎn)、向量的坐標(biāo)表示與代數(shù)運(yùn)算,可以將抽象的邏輯推理轉(zhuǎn)化為直接的數(shù)學(xué)運(yùn)算,是解決空間角問題最為常見的一個(gè)基本技巧方法。

一、異面直線所成的角

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將對(duì)應(yīng)的異面直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定異面直線所成的角。這里需要注意的是異面直線所成的角與向量的夾角這兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。

例1(2023 屆天津市九十五中高三(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷)在如圖1所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,四邊形ADPQ是 梯 形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平 面ABCD,且AD=PD=2QA=2。

圖1

(1)求證:QB∥平面PDC;

(2)求平面CPB與平面PBQ所成角的正弦值;

(3)已知點(diǎn)H在棱PD上,且異面直線AH與PB所成角的余弦值為,求線段DH的長。

解析:(1)由已知可知PD⊥AD,平面ADPQ⊥平面ABCD,PD?平面ADPQ,所以PD⊥平面ABCD。

因?yàn)锳Q∥PD,AB∥CD,AQ∩AB=A,PD∩CD=D,AB?平面ABQ,AQ?平面ABQ,PD?平面PDC,CD?平面PDC,所以平面ABQ∥平面PDC。因?yàn)镼B?平面ABQ,所以QB∥平面PDC。

圖2

關(guān)系歸納:設(shè)異面直線t1,t2的方向向量分別為a,b,則異面直線t1,t2所成角的余弦值等于|cos|。

二、直線與平面所成的角

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將對(duì)應(yīng)直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來,同時(shí)確定相應(yīng)平面的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定直線與平面所成的角。這里需要注意的是直線所對(duì)應(yīng)的方向向量與平面的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值就是所求直線與平面所成角的正弦值,正確區(qū)分兩者之間的關(guān)系,不要混淆。

例2(2022 屆江蘇省七市高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC。點(diǎn)M在棱PB上,PM=2MB,點(diǎn)N在棱PC上,PA=AB=AD=BC=2。

圖3

(1)若CN=2NP,Q為PD的中點(diǎn),求證:A,M,N,Q四點(diǎn)共面;

(2)求直線PA與平面AMN所成角的正弦的最大值。

圖4

圖5

三、二面角的平面角

圖6

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定兩個(gè)半平面的法向量后,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定二面角的平面角。這里需要注意的是兩個(gè)半平面的法向量之間的夾角與二面角的平面角可能相等,也可能互補(bǔ),需要結(jié)合具體圖形加以直觀分析與判斷,不要盲目確定,導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3(2022 屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三下學(xué)期5 月教學(xué)情況調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題)如圖7,在四棱錐SABCD中,底面四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,△SAD為正三角形,平面SAD⊥平面ABCD。

圖7

(1)求二面角S-BC-A的大小。

(2)在線段SC(端點(diǎn)S,C除外)上是否存在一點(diǎn)M,使得AM⊥BD? 若存在,指出點(diǎn)M的位置;若不存在,請說明理由。

解析:(1)取AD的中點(diǎn)O,連接SO,BO,因?yàn)镾A=SD,OA=OD,所 以SO⊥AD。

又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SO?平面SAD,所以SO⊥平面ABCD。

因?yàn)镺B?平面ABCD,所以SO⊥OB。

因?yàn)锽A=BD,OA=OD,所以O(shè)A⊥OB,所以O(shè)A,OB,OS兩兩垂直。

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖8 所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz。

圖8

圖9

圖10

在解決立體幾何中的空間角問題時(shí),除以上借助空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用坐標(biāo)法并通過代數(shù)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化與求解外,還經(jīng)常借助幾何法的邏輯推理,向量法或基底法的向量運(yùn)算與推理等其他方法來解決。而無論采取何種方法來破解立體幾何中的空間角問題,關(guān)鍵是要充分考慮題目條件,展開空間想象力,綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等來綜合分析與處理,借助巧妙運(yùn)算,正確推理,從而輕松破解該類問題。