多視角合理轉(zhuǎn)化，巧妙解決垂直關(guān)系

■江蘇省高郵市第一中學(xué) 王 濤

一、代數(shù)運(yùn)算巧轉(zhuǎn)化

例1如圖1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè) 棱A1A⊥底 面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn)。證明:B1C1⊥CE。

圖1

分析:合理選擇坐標(biāo)原點(diǎn),建立對應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合條件確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),得以確定對應(yīng)直線的方向向量,結(jié)合兩直線的方向向量的數(shù)量積為零來確定兩相應(yīng)的向量垂直,即可證明線線垂直。

圖2

點(diǎn)評:利用代數(shù)運(yùn)算巧妙轉(zhuǎn)化空間垂直關(guān)系,往往是借助勾股定理確定線線垂直,借助空間向量的數(shù)量積為零確定線線垂直等方式來轉(zhuǎn)化,通過合理的代數(shù)運(yùn)算來達(dá)到巧妙轉(zhuǎn)化與證明的目的。

二、推理論證妙證明

例2如圖3,四邊形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)。求證:

圖3

(1)PA∥平面BDE;

(2)平 面PAC⊥平 面BDE。

分析:(1)結(jié)合三角形的中位線定理得到線線平行,利用線面平行的判定加以證明線面平行關(guān)系;(2)通過線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直,結(jié)合線面垂直的判定得以確定線面垂直,再利用面面垂直的判定直接加以推理論證。

where Ceff, CBL, CSi represent the effective front gate oxide capacitance, BL capacitance, and Si channel capacitance.

證明:(1)如圖4,AC∩BD=O,連 接OE。在△PAC中,O是AC的 中點(diǎn),E是PC的中點(diǎn),則有OE∥AP。又因?yàn)镺E?平面BDE,PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE。

圖4

(2)因?yàn)镻O⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,所以PO⊥BD。又因?yàn)锳C⊥BD,且AC∩PO=O,AC?平面PAC,PO?平面PAC,所以BD⊥平面PAC。又因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE。

點(diǎn)評:借助邏輯推理中的推理論證來巧妙證明或轉(zhuǎn)化空間垂直關(guān)系時,往往先尋找現(xiàn)有直線中是否存在對應(yīng)平面的垂線,在前面條件不成立的情況下再借助輔助線的構(gòu)建來分析與解決;如有面面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。

三、代數(shù)運(yùn)算與推理論證相結(jié)合

例3如圖5,A,B,C,D為空間中的四點(diǎn)。在△ABC中,AB=2,AC=BC=。等邊△ADB以AB為軸運(yùn)動。

圖5

(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時,求線段CD的長度。

(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時,是否總有AB⊥CD成立? 證明你的結(jié)論。

分析:(1)取AB的中點(diǎn)E,借助等邊三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)來確定線面垂直與線線垂直,再結(jié)合直角三角形中的代數(shù)運(yùn)算來求解線段的長度;(2)結(jié)合轉(zhuǎn)化過程中的不變情形進(jìn)行分類討論,綜合相應(yīng)的邏輯推理與應(yīng)用來證明。

解:(1)如圖6,取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE。在等邊△ADB中,有DE⊥AB。當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時,由于平面ADB∩平面ABC=AB,則有DE⊥平面ABC,可得DE⊥CE。而在Rt△DEC中,DE=,EC=1,利用勾股定理可得CD=

圖6

(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時,總有AB⊥CD成立。結(jié)論證明如下:

①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時,由于AC=BC,AD=BD,可知C,D都在線段AB的垂直平分線上,則有AB⊥CD;

②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時,由(1)知DE⊥AB成立,而AC=BC,可得AB⊥CE,又DE,CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE,又CD?平面CDE,所以AB⊥CD。

綜上所述,總有AB⊥CD成立。

點(diǎn)評:在判定空間垂直關(guān)系的問題中,代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理論證相結(jié)合是最常見的技巧方法之一,或代數(shù)運(yùn)算,或推理論證,按需推進(jìn),兩者有機(jī)結(jié)合,齊心協(xié)力,共達(dá)目的,演繹完美的轉(zhuǎn)化過程。

四、創(chuàng)設(shè)情境妙創(chuàng)新

例4如圖7,在三棱錐P-ABC中,PA=BC=3,PC=AB=5,AC=4,PB=。

圖7

(1)求 證:PA⊥平 面ABC。

(2)過C作CF⊥PB于點(diǎn)F,試問:在線段AB上是否存在一點(diǎn)E,使得PB⊥平面CEF成立? 若存在,求線段BE的長;若不存在,請說明理由。

分析:(1)利用線段長度,結(jié)合代數(shù)運(yùn)算,并利用勾股定理轉(zhuǎn)化線段之間的垂直關(guān)系,進(jìn)而利用線面垂直的判定定理來證明;(2)先假設(shè)點(diǎn)E的存在性滿足線面垂直,通過邏輯推理,借助線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,并設(shè)出對應(yīng)線段的長度,利用代數(shù)運(yùn)算合理轉(zhuǎn)化并求解對應(yīng)線段的長度,進(jìn)而得以判斷存在性問題。

解:(1)由已知得PC2=PA2+AC2=25,PB2=PA2+AB2=34,所以PA⊥AC,PA⊥AB。又AB∩AC=A,所以PA⊥平面ABC。

(2)假設(shè)在線段AB上存在一點(diǎn)E,使得PB⊥平面CEF。

因?yàn)镃E?平面CEF,所以PB⊥CE。因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥CE。又PA∩PB=P,所以CE⊥平面PAB。因?yàn)锳B?平面PAB,所以CE⊥AB。設(shè)BE=x,因?yàn)锳B2=AC2+BC2,所以∠ACB=90°,所以BC2=BE·AB,即32=5x,解得x=

故在AB上存在點(diǎn)E滿足題意,且BE=

點(diǎn)評:以存在性問題來創(chuàng)新設(shè)置情境,利用代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理的綜合與應(yīng)用,結(jié)合線線垂直、線面垂直等之間的關(guān)系與轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)空間垂直關(guān)系的創(chuàng)新應(yīng)用,得以確定立體幾何中的存在性問題。

空間垂直關(guān)系的巧妙轉(zhuǎn)化是立體幾何化歸與轉(zhuǎn)化思想的一個重要方面,充分融合空間中線線垂直、線面垂直與面面垂直的判定、性質(zhì)等相關(guān)知識,融會貫通,合理轉(zhuǎn)化,在學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中要加以不斷理解和掌握,能有效地培養(yǎng)空間想象力,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),提高解決立體幾何問題的能力。