立體幾何中外接球與內(nèi)切球模型歸納

■安徽省蕪湖市第一中學(xué) 周曉剛 江步云

近年來的高考和各級(jí)各類模擬考試中,立體幾何的外接球和內(nèi)切球問題,已成為常考常新試題,通常以選填題的形式出現(xiàn),主要考查空間中的垂直與平行關(guān)系、空間距離、球的表面積和體積等知識(shí)。通過梳理高考真題和模擬題,不難發(fā)現(xiàn)該類問題可以歸結(jié)為幾類模型問題求解,在高考備考中,只要根據(jù)題目條件識(shí)別出問題所屬模型,就可根據(jù)模型快速解題。下面筆者通過一些典型例題對(duì)立體幾何中有關(guān)球的模型進(jìn)行歸納,與讀者交流,以期對(duì)同學(xué)們的高考備考能提供一些幫助。

一、外接球模型

模型一:正棱錐模型

由于正棱錐頂點(diǎn)的投影是底面的外心,由定心法可知正棱錐的外接球球心在底面的高上。若設(shè)正棱錐的高為h,底面外接圓的半徑為r,外接球的半徑為R,由圖1,圖2,圖3知,對(duì)任意正棱錐,有OA=R,O1A=r,OO1=h-R(如圖1,圖3),或OO1=R-h(如圖2)。根據(jù)勾股定理,可得到正棱錐外接球半徑的通用公式為R2=r2+(h-R)2。

圖1

圖2

圖3

例1所有棱長均為2的正四棱錐的外接球半徑為____。

解析:易知底面(邊長為2 的正方形)外接圓的半徑r=,正四棱錐的高h(yuǎn)=,根據(jù)公式R2=r2+(h-R)2,可得R=2。

模型二:線面垂直模型

眾所周知,存在外接球的棱柱均為直棱柱,但直棱柱存在外接球的條件是底面存在外接圓。如圖4,若設(shè)直棱柱的高為h,即OO1=,設(shè)底面外接圓的半徑為r,即O1A=r,設(shè)外接球的半徑為R,即OA=R。由勾股定理知R2=r2+,顯然該公式對(duì)直棱柱的外接球具有一般適用性。而具有線面垂直特征的棱錐都可以補(bǔ)成一個(gè)直棱柱,而且該直棱柱和原棱錐具有相同的外接球。所以公式適用于所有具有線面垂直特征的棱柱與棱錐,其中R是外接球的半徑,h是垂線段的長度,r是垂面外接圓的半徑。

圖4

模型三:增補(bǔ)成長方體的模型

眾所周知,長方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑。將棱錐增補(bǔ)成長方體的操作不僅僅局限于解決外接球問題,在截面等其他問題中也有類似操作。在這里我們主要闡述兩種具體模型:對(duì)棱相等的三棱錐(如圖5)、有三個(gè)面是直角三角形的三棱錐(如圖6,圖7,圖8)。

圖5

圖6

圖7

圖8

例3在三棱錐D-ABC中,∠DAC=∠BCA=∠DBC=90°,BD=BC=5,且直線AC與BD所成角的余弦值為,則該三棱錐的外接球的表面積為____。

解析:觀察到該三棱錐有三個(gè)直角但兩兩不共頂點(diǎn),并沒有線面垂直的特征,不符合模型二,所以只能增補(bǔ)成長方體(如圖9)再作研究。直線AC與BD所成角即∠DBE,由cos∠DBE=知BE=3,DE=4,則外接球的直徑為,表面積為4πR2=50π。

圖9

模型四:一般模型

一般來說,除了上述三種特殊模型,其他均用一般方法——定心法解決。如圖10,面ABC和面DEFG均是任意多面體的兩個(gè)面,而O1,O2是這兩個(gè)面的外心。由球的性質(zhì)知過外心O1,O2分別作這兩個(gè)面的垂線,兩條垂線均過球心,即兩條垂線的交點(diǎn)為球心,此為定心法。

圖10

例4如圖11,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),則三棱錐D1-BEF外接球的表面積為_____。

圖11

評(píng)注:本題是定心法最一般的情況,也是最繁雜的情況,這種情況下會(huì)構(gòu)造出四邊形,而這個(gè)四邊形的已知角是兩個(gè)直角和一個(gè)二面角的平面角,已知邊是二面角的平面角的兩邊,需要解出兩條垂線段中的一條再進(jìn)一步求半徑。

例5已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)面PCD⊥平面ABCD,∠CPD=60°,AB=PD=2,則四棱錐PABCD的外接球的體積為____。

圖12

評(píng)注:本題是將一般題型中的二面角特殊化為直二面角,難度大幅度下降。

圖13

評(píng)注:本題其中一個(gè)面的外心剛好在二個(gè)面的交線上,如同例4 中的四邊形退化成直角三角形。

二、切球模型

模型一:多面體的內(nèi)切球

如圖14,球O為四面體A-BCD的內(nèi)切球,由球的性質(zhì)知四面體O-ABC,O-ABD,O-ACD,O-BCD的高均為內(nèi)切球的半徑r,則VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD不妨設(shè)四面體A-BCD的體積為V,表面積為S,則r=。很顯然此結(jié)論具有一般性,對(duì)所有具有內(nèi)切球的多面體均適用。但應(yīng)用此結(jié)論有兩個(gè)前提:第一是必須為多面體,第二是必須為內(nèi)切球。而第二點(diǎn)同學(xué)們?nèi)菀讓ⅰ皫缀误w能打磨成(裝下)最大的球”誤以為一定是內(nèi)切球,這一論斷的前提是該幾何體必須具有內(nèi)切球。

圖14

例7(1)邊長為2的正四面體的內(nèi)切球的半徑為____。

模型二:其他切球

內(nèi)切問題內(nèi)容豐富,除多面體的內(nèi)切球外,還有旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球、棱切球,以及多個(gè)球與幾何體內(nèi)切等。解決這類問題的思路基本一致,即探尋球心和切點(diǎn)。

例8三個(gè)半徑為3的球兩兩相切放置在水平桌面上,則三個(gè)球與桌面圍成的空間中能放置的最大球的半徑為____。

解析:顯然所求球與三個(gè)球和桌面均相切。設(shè)三個(gè)球的球心分別為O1,O2,O3,與桌面的三個(gè)切點(diǎn)分別為A,B,C,則三棱柱是一個(gè)底面邊長為6,高為3 的正棱柱。如圖15,設(shè)所求球的球心為O,半徑為r,與桌面的切點(diǎn)為D,則三棱錐OO1O2O3為正三棱錐,底面邊長為6,側(cè)棱長為r+3。根據(jù)題意可求三棱錐O-O1O2O3的高為,而根據(jù)相切知OD=r,三棱錐O-O1O2O3的高又為3-r,則=3-r,解得r=1。

圖15

評(píng)注:解決本題的關(guān)鍵在于確定四個(gè)球心和四個(gè)切點(diǎn)的位置。

關(guān)于外接球和內(nèi)切球問題,解題的關(guān)鍵在于記住幾個(gè)特征明顯的模型,方便快速甄別,其他的模型均用一般方法解決。