立體幾何中動點軌跡問題的通性通法總結(jié)

■安徽省蕪湖市第一中學(xué) 劉海濤

在立體幾何的高考復(fù)習(xí)備考過程中,頻繁出現(xiàn)有關(guān)動點軌跡的問題,該類問題一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn),主要考查空間中點、線、面的平行與垂直關(guān)系,空間中的距離、角度,解析幾何中的點的軌跡等知識,綜合性強,難度較大,已成為高考復(fù)習(xí)備考的一大課題。本文通過幾道典型例題歸納總結(jié)出有關(guān)立體幾何中動點軌跡問題的通性通法,現(xiàn)與讀者交流。

一、由動點保持平行性求軌跡

例1在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點,P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(含邊界),若AP∥平面BDEF,則點P的軌跡長為( )。

解析:如圖1 所示,分別取棱A1B1,A1D1的中點M,N,連接MN,B1D1。因為M,N,E,F為所在棱的中點,所以MN∥B1D1,EF∥B1D1,則MN∥EF。又MN?平面BDEF,EF?平面BDEF,所以MN∥平面BDEF。連接NF,由NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB,可得NF∥AB,NF=AB,則四邊形ANFB為平行四邊形,則AN∥FB。而AN?平面BDEF,FB?平面BDEF,則AN∥平面BDEF。又AN∩NM=N,所以平面AMN∥平面BDEF。又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點,且AP∥平面BDEF,所以點P在線段MN上。又MN=B1D1,所以點P的軌跡長為。故選B。

圖1

評注:由P是動點,得AP為動直線,考慮將AP放入過定點A且平行于平面BDEF的平面(記為α)內(nèi),又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(含邊界),故P點的軌跡為所求平面α與上底面A1B1C1D1的交線(線段MN),于是只需確定M,N兩點的位置即可。

通性通法:處理由一動點P(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一定點A形成的動直線AP與定平面β平行,求動點P的軌跡問題時,一般有兩種處理策略:①將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行,即過點A作平面α,使得α∥β,α與γ(或Γ)的交線即為動點P的軌跡;②利用法向量垂直關(guān)系求軌跡,即設(shè)點P的坐標(biāo)得到直線AP的方向向量,利用·n=0(n為平面β的法向量),得到動點P的軌跡方程。

二、由動點保持垂直性求軌跡

例2在棱長為1 的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為BD1,B1C1的中點,點P在正方體的表面上運動,且滿足MP⊥CN。給出下列說法:①P可以是棱BB1的中點;②線段MP的最大值為;③點P的軌跡是正方形;④點P軌跡的長度為2+。其中所有正確說法的序號是____。

解析:如圖2 所示,分別在棱CC1,DD1,AA1,BB1上取點E,F,G,H,使得C1E=D1F=AG=BH,連接EF,FG,GH,HE,FH,D1H,FB。在正方形CC1D1D中,由C1E=D1F,得EF∥CD,EF=CD。同理AB∥GH,AB=GH。又AB∥CD,AB=CD,所以EF∥GH,EF=GH,則四邊形EFGH為平行四邊形。由AB⊥平面BB1C1C,HE?平面BB1C1C,得AB⊥HE。又AB∥GH,所以HE⊥GH,故四邊形EFGH為矩形,其中GH=1,HE=,FH=。在 正 方 形BB1C1C中,tan∠NCC1·tan∠HEC=×2=1,則∠NCC1+∠HEC=90°,所以CN⊥HE。由AB⊥平面BB1C1C,CN?平面BB1C1C,得CN⊥AB。又AB∥GH,所以CN⊥GH。又GH∩HE=H,所以CN⊥平面EFGH。由題知D1F∥HB,D1F=HB,則四邊形D1FBH為平行四邊形。又M為BD1的中點,則M也為FH的中點,所以M∈平面EFGH。由MP⊥CN,CN⊥平面EFGH,M∈平面EFGH,點P在正方體的表面上運動,得點P的軌跡為矩形EFGH,顯然①和③錯誤,②和④正確。故填②④。

圖2

評注:由P是動點,得MP為動直線,考慮將MP放入過定點M且與定直線CN垂直的平面(記為α)內(nèi),又點P在正方體的表面上運動,故P點的軌跡為所求平面α與正方體表面的交線(矩形EFGH),于是只需確定E,F,G,H四點的位置即可。

通性通法:處理由一動點P(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一定點M形成的動直線MP與定直線l垂直,求動點P的軌跡問題時,一般有兩種處理策略:①將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,即過點M作平面α,使得l⊥α,α與γ(或Γ)的交線即為動點P的軌跡;②利用向量垂直關(guān)系求軌跡,即設(shè)點P的坐標(biāo)得到直線MP的方向向量,利用·a=0(a為直線l的方向向量),得到動點P的軌跡方程。

三、由動點保持定距(或等距)求軌跡

例3在棱長為4 的正方體ABCDA′B′C′D′中,E,F分別是AD,A′D′的中點,長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動,另一個端點N在底面A′B′C′D′上運動,則線段MN的中點P的軌跡(曲面)與正方體(各個面)所圍成的幾何體的體積為( )。

解析:如圖3 所示,連接PF,NF。在 正 方 形AA′D′D中,由E,F分別為AD,A′D′的中點,得EF∥AA′,且EF=AA′=4。由AA′⊥平面A′B′C′D′,得EF⊥平面A′B′C′D′。又FN?平面A′B′C′D′,所以EF⊥FN。又P為MN的中點,所以FP=MN=1,故點P的軌跡是以F為球心,1為半徑的球面,則點P的軌跡(曲面)與正方體(各個面)所圍成的幾何體為球F的,所以所求幾何體的體積為V=。故選D。

圖3

評注:由M,N為動點知P為動點,得PF為動線段,連接PF,NF,發(fā)現(xiàn)PF為直角△MNF的斜邊MN上的中線,又MN=2,則PF=1,由此得到動點P到定點F的距離為定值1,根據(jù)球的定義知點P的軌跡是以F為球心,1為半徑的球面,問題轉(zhuǎn)化為求球體與正方體的公共部分的體積。

通性通法:若由兩個動點M,N(或一個動點M與一個定點N)構(gòu)成的動線段MN的長度為定值,處理該線段的中點P的軌跡問題時,一般有兩種處理策略:①根據(jù)問題特征,找到與M,N所在直線(或面)有關(guān)聯(lián)的定點F,研究線段PF的長度是否為定值,根據(jù)題意判斷點P的軌跡是球(或圓);②建立空間直角坐標(biāo)系,將題中幾何語言“翻譯”為代數(shù)語言,得到動點P的軌跡方程。

四、由動點保持定角(或等角)求軌跡

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為AB,A1B1的中點,P是邊C1D1上的一個點(包括端點),Q是平面PMB1上一動點,滿足直線MN與直線AN的夾角與直線MN與直線NQ的夾角相等,則點Q所在軌跡為( )。

A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線 D.拋物線或雙曲線

解析:由題設(shè)知,Q點的軌跡為以AN為母線,MN為軸,AB為底面直徑的圓錐側(cè)面,及其關(guān)于A1B1反向?qū)ΨQ的錐體側(cè)面與平面PMB1的交線,如圖4所示。若P在邊C1D1上移動的過程中,只與下方錐體有相交,則Q點軌跡為拋物線;若P在邊C1D1上移動的過程中,與上方錐體也有相交,則Q點軌跡為雙曲線。故選D。

圖4

評注:由題設(shè)知,直線MN與直線AN的夾角∠ANM為定值,則動直線NQ與定直線MN的夾角為定值,由此得動點Q的軌跡是以AN為母線,MN為軸,AB為底面直徑的圓錐側(cè)面,于是問題轉(zhuǎn)化為動平面PMB1與圓錐體側(cè)面的交線,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷點Q所在軌跡的形狀。

通性通法:已知由一個動點Q(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一個定點N(在某一定平面α內(nèi))構(gòu)成的動直線QN,兩定點M,N構(gòu)成定線段MN,若動直線NQ與定直線MN的夾角為定值(或動直線NQ與平面α所成角為定值),則動點Q的軌跡為圓錐體的側(cè)面與平面γ(或表面Γ)的交線(一般為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的全部或一部分)。若需定量知道曲線的長度(圍成的區(qū)域面積),則可借助空間直角坐標(biāo)系,通過設(shè)動點Q的坐標(biāo),利用向量的夾角公式等,得到動點Q的軌跡方程。

例5如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,CD=AD==2,PA=3,若動點Q在△PAD內(nèi)及邊上運動,使得∠CQD=∠BQA,則三棱錐Q-ABC的體積最大值為____。

圖5

圖6

評注:解答該題的關(guān)鍵是在得到QD=AD后,在平面PAD內(nèi),建立平面直角坐標(biāo)系求出點Q的軌跡是圓(x-3)2+y2=8在△PAD的邊上或內(nèi)部的圓弧,由數(shù)形結(jié)合直觀得出點Q到DA的距離最大為2,即三棱錐Q-ABC的高的最大值為2。

通性通法:已知由一個動點Q(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與四個定點A,B,C,D,若∠CQD=∠BQA,則考慮解△CQD和△BQA,嘗試將問題轉(zhuǎn)化為動點Q到兩定點D,A(或D,B,或C,A,或C,B)的距離相等(或成定比例),利用坐標(biāo)系借助平面解析幾何知識求出動點Q的軌跡方程。

五、投影求軌跡

例61822 年,比利時數(shù)學(xué)家旦德林(Dandelin)利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球,證明了用一個平面去截圓錐,可以得到橢圓(其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點),實現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性。在生活中,有一個常見的現(xiàn)象:用手電筒斜照地面上的籃球,留下的影子會形成橢圓。這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面。如圖7所示,在地面的某個點A1的正上方有一個點光源,將小球放置在地面,使得AA1與小球相切。若A1A=5,小球的半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為____。

圖7

解析:作出過A,A1,A2三點的截面,如圖8 所示,設(shè)球與AA2相切于點D,球與A1A2相切于點F1(橢圓的左焦點)。在Rt△AA1A2中,設(shè)A2F1=x,則DA2=x,AA1=5,A1A2=x+2,AA2=x+3,所以52+(x+2)2=(x+3)2,解得x=10,則長軸長A1A2=2a=12,即a=6,c=6-2=4,所以離心率e=。故填

圖8

評注:由題干中的介紹不難明白小球在地面的影子形成的橢圓,球與地面的切點為該橢圓的左焦點,于是考慮利用光線形成的圓錐的軸截面來解題,得到如圖8 所示的平面圖形,接著利用平面幾何知識可輕松解題。

通性通法:一般地,球的正投影為圓,非正投影為橢圓,這是因為點光源的光線形成圓錐,被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面,其中球與地面的切點為橢圓的一個焦點。

六、翻折與動點求軌跡

例7已知矩形ABCD中,AB=1,AE=,如 圖9 所示,將△ABE沿 著BE進行翻折,使得點A與點S重合,若點S在 平 面BCDE上的射影在四邊形BCDE內(nèi)部(包含邊界),則動點S的軌跡長度為____。

圖9

圖10

圖11

評注:過點A作AM⊥BE于點M,交BC于點G,在翻折的過程中,不改變這一垂直關(guān)系,故可得到BE⊥平面SMG,從而平面SMG⊥平面BCDE,由面面垂直的性質(zhì)定理不難得到,點S在平面BCDE上的射影N落在線段MG上。由翻折過程可知,SM=AM=判斷出S的軌跡是以M為圓心,為半徑的一段圓弧,求出圓心角,利用弧長公式求出弧長。

通性通法:立體幾何中的翻折問題,看似變幻莫測,實則有據(jù)可循,一般情況下,需要始終牢記以下幾點:(1)在折線同側(cè)的量,折疊前后不變。(2)“跨過”折線的量,折疊前后可能會發(fā)生變化;這些變與不變的關(guān)系,構(gòu)建了平面圖形與空間圖形之間的橋梁。因此,在解決立體幾何翻折問題時,常見的解題策略有:①翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡;②翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡;③可以利用空間坐標(biāo)運算求軌跡。

立體幾何中的動點軌跡問題,主要考查空間想象能力,分析變化中的不變量,考查的內(nèi)容以教材中的公理和基本定理為主,若我們能熟練掌握這些基本公理、定理、概念、公式等,牢記文中歸納總結(jié)出的六大類型及其通性通法,定能輕松掌握立體幾何中的動點軌跡問題。