基于解析模型的永磁同步電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱 托，李 正，張 凱，李 孜

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

永磁(Permanent Magnet，PM)電機(jī)因?yàn)槠涓吣芰棵芏群透咝实奶匦?，被越來越廣泛地應(yīng)用在高速電機(jī)、電動(dòng)汽車等領(lǐng)域[1-2]。永磁電機(jī)的效率是一個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)，而損耗計(jì)算則是設(shè)計(jì)該電機(jī)的基礎(chǔ)[3]。永磁體的周向分塊分段是較為常見的電機(jī)設(shè)計(jì)，在計(jì)算損耗時(shí)，在極坐標(biāo)系下無法使得每段永磁體截面上的總渦流為零[4]。文獻(xiàn)[5～7]在二維直角坐標(biāo)系下計(jì)算了轉(zhuǎn)子的渦流損耗，考慮了永磁體的周向分段。文獻(xiàn)[8～9]采用鏡像法建立三維解析模型，該模型能考慮永磁體的軸向分段和周向分段。相較于文獻(xiàn)[5～6]，文獻(xiàn)[7～9]雖然精度更高，但模型較為復(fù)雜，難以應(yīng)用。文獻(xiàn)[10～11]使用有限元(Finite Element Analysis，F(xiàn)EA)研究永磁體電阻率、銅屏蔽層厚度對(duì)渦流損耗結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[12]在計(jì)算轉(zhuǎn)子渦流損耗時(shí)，比較了時(shí)步有限元和時(shí)諧有限元兩種方法，并認(rèn)為后者可作為前者的高效替代方案。然而，有限元法求解效率較低，且不易看出各變量間的關(guān)系。

電磁轉(zhuǎn)矩是電機(jī)的另一關(guān)鍵參數(shù)。文獻(xiàn)[13～14]使用解析法計(jì)算了Halbach陣列永磁電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[15～16]在解析法的基礎(chǔ)上對(duì)永磁體磁極形狀參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其中文獻(xiàn)[16]使用粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)進(jìn)行求解。

在研究永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM)解析模型時(shí)，很少有文獻(xiàn)能同時(shí)求解渦流損耗和電磁轉(zhuǎn)矩這兩種指標(biāo)。本文依次推導(dǎo)出以上兩種磁場(chǎng)解析模型，并對(duì)比了解析解和時(shí)步有限元的數(shù)值解。在對(duì)定子繞組節(jié)距和永磁體極弧系數(shù)進(jìn)行參數(shù)影響研究后，使用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化迭代，使得電機(jī)設(shè)計(jì)能同時(shí)實(shí)現(xiàn)降低損耗和提高轉(zhuǎn)矩等多種目標(biāo)。

1 電機(jī)模型和參數(shù)

1.1 電機(jī)模型

電機(jī)模型為六相12槽14極永磁同步電機(jī)，AUBVCW這六相繞組在空間上對(duì)稱分布，通電時(shí)序互差60°電角度[17]。電機(jī)的截面圖如圖1所示。

圖1 六相12槽14極永磁同步電機(jī)截面圖Figure 1. Cross-sectional schematic of a 6-phase 12-slot 14-pole PMSM

解析模型在圖1的基礎(chǔ)上增加了保護(hù)套計(jì)算域。

1.2 簡(jiǎn)化假設(shè)

對(duì)于電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)和空載磁場(chǎng)模型，作如下假設(shè)：

(1)將氣隙、保護(hù)套和永磁體區(qū)域看作半無限平面；

(2)忽略端部效應(yīng)，感應(yīng)渦流只有軸向分量；

(3)各個(gè)媒質(zhì)是均勻且各向同性的，其電導(dǎo)率σ、磁導(dǎo)率μ是不變的常數(shù)；

(4)定子和轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無窮大，電導(dǎo)率為0，忽略定子和轉(zhuǎn)子鐵心中產(chǎn)生的渦流；

(5)忽略定子槽域、槽口域，即忽略空載渦流損耗和齒槽轉(zhuǎn)矩；

(6)對(duì)于電樞反應(yīng)磁場(chǎng)，定子繞組電流由分布在定子槽開口的等效電流片模型表示；

(7)解析模型均在二維直角坐標(biāo)系下，即空載磁場(chǎng)中永磁體平行充磁和徑向充磁等同。

1.3 電機(jī)參數(shù)

電機(jī)參數(shù)如表1所示。其中定子繞組的輸入電流均為理想的交流電，計(jì)算數(shù)據(jù)時(shí)忽略保護(hù)套。

表1 結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和參數(shù)

2 電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析模型

電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)計(jì)算模型如圖2。

圖2 電樞反應(yīng)磁場(chǎng)計(jì)算模型Figure 2.Calculation model of armature reaction magnetic field

如圖2所示，電樞反應(yīng)磁場(chǎng)模型中，電機(jī)周向?yàn)閤軸，徑向?yàn)閥軸。計(jì)算域共3層，從上到下依次是厚度為g的氣隙域、厚度為l的保護(hù)套域和厚度為m的永磁體域，每個(gè)計(jì)算域均有對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。電樞反應(yīng)磁場(chǎng)模型將永磁體電密在厚度上積分成永磁體頂層的感應(yīng)電流片，以此來考慮渦流反應(yīng)。

在永磁體域這一層中，由于解析模型考慮了永磁體的周向分段，因此當(dāng)永磁體極弧系數(shù)小于1時(shí)，各極永磁體間會(huì)存在氣隙。

2.1 等效電流片模型

考慮定子繞組排布的空間v次諧波和定子電流時(shí)間k次諧波，A相電流片表達(dá)式為

(1)

式中，ia是A相電流瞬時(shí)值，為∑Ikcoskpnrt；ksov是槽口系數(shù)，為sin(vb0/2Rs)/(vb0/2Rs)；kpv是節(jié)距系數(shù)，為sin(vαy/2)；kdv是分布系數(shù)，為1；kwv是繞組系數(shù)，為kpv×kdv。

對(duì)稱六相繞組的合成等效電流片為

J=JA+JB+JC+JU+JV+JW=

(2)

式中，Jkv是諧波幅值，為6NIkksovkwv/(πRs)。

當(dāng)k≠3n，將式(2)變形如下

(3)

式中，β為vπ/τ；τ為所有計(jì)算域中心高度所對(duì)應(yīng)的一對(duì)極對(duì)應(yīng)極距(基波極距)。

將定子靜止坐標(biāo)x轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)xr，轉(zhuǎn)換式為πx/τ=nrt+πxr/τ。所以式(3)改寫為

(4)

電樞反應(yīng)場(chǎng)中橫坐標(biāo)均為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。

2.2 電樞反應(yīng)磁場(chǎng)控制方程及通解

在電樞反應(yīng)磁場(chǎng)中，氣隙域的上邊界是代表定子磁動(dòng)勢(shì)的電流片。

2.2.1 氣隙域

(5)

(6)

由定子電流片激勵(lì)，式(5)的通解為

(7)

式中，A、B是由邊界條件確定的常數(shù)。

磁通密度的切向和徑向分量為

(8)

2.2.2 保護(hù)套域

(9)

通解為

(10)

[CeλⅡy+De-λⅡy]cos[(kp+ν)nrt+βx]

(11)

2.2.3 永磁體域

為考慮永磁體的周向分段，假設(shè)每一塊寬度為bM的永磁體塊被分為s段。永磁體塊的編號(hào)為ρ(ρ=1,…,2p)，分段編號(hào)為λ(λ=1,…,s)，則任一永磁體塊的任一段記作(λ，ρ)，在永磁體分段內(nèi)的x軸坐標(biāo)為

(12)

式中，τpM是永磁體高度中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)半徑上的極距，為π(Rm+Rr)/2p；bM是永磁體高度中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)半徑上的寬度，為αpτpM。

在永磁體中，為考慮渦流反應(yīng)，在y=m處，定義感應(yīng)電流片AⅢisin[(kp+v)nrt+βx]。這種近似避免了因?yàn)閤軸方向上材料的不連續(xù)分布，而導(dǎo)致在計(jì)算邊界條件時(shí)出現(xiàn)過于復(fù)雜的情況。

由于引入感應(yīng)電流片，永磁體域內(nèi)的λⅢ用β代替。此時(shí)永磁體域周向磁位參考式(7)為

(13)

式中，E、F是由邊界條件確定的常數(shù)。

永磁體域軸向電密為

(14)

式中，JⅢc是附加電流項(xiàng)，其使每個(gè)永磁體塊段內(nèi)電密積分為零。式(14)只在永磁體段內(nèi)有效。

關(guān)于感應(yīng)電流片參數(shù)AⅢi求取，可參考文獻(xiàn)[5]。

2.3 計(jì)算域間邊界條件

電樞反應(yīng)磁場(chǎng)邊界條件如下：

當(dāng)y=g+l+m，有

(15)

當(dāng)y=l+m時(shí)

(16)

當(dāng)y=m，則有

(17)

當(dāng)y=0，則有

(18)

將各計(jì)算域x方向上的磁場(chǎng)強(qiáng)度和y方向上的磁密代入式(15)～式(18)，求得待定常數(shù)A、B、C、D、E和F。

2.4 渦流損耗求解

由式(14)可知，對(duì)于任一永磁體段(λ，ρ)，在一個(gè)電周期T=2π/(pnr)內(nèi)的平均渦流損耗為

(19)

式中，La為永磁體軸向長(zhǎng)度。

每一個(gè)永磁體段(λ，ρ)內(nèi)的渦流損耗功率相等，則永磁體的總渦流損耗為

PⅢ=2psPⅢ，λρ

(20)

在保護(hù)套中，由式(11)得到在一個(gè)電周期T=2π/(pnr)內(nèi)的平均渦流損耗為

(21)

式中，τpS為保護(hù)套高度中間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)半徑上的極距。

3 空載磁場(chǎng)解析模型

電機(jī)的空載磁場(chǎng)計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 空載磁場(chǎng)計(jì)算模型Figure 3. Calculation model of no-load magnetic field

在圖2中，電樞反應(yīng)磁場(chǎng)有電樞電流片激勵(lì)，有永磁體渦流，無永磁體勵(lì)磁。在圖3中，空載磁場(chǎng)無電樞電流片激勵(lì)，無永磁體渦流，有永磁體勵(lì)磁。

3.1 空載磁場(chǎng)控制方程及通解

在空載磁場(chǎng)中，作為勵(lì)磁源，首先求解永磁體域，空載磁場(chǎng)均在靜止坐標(biāo)系下求解。

3.1.1 永磁體域

永磁體中磁密B、磁場(chǎng)強(qiáng)度H和磁化強(qiáng)度M滿足下式。

B=μ0M+μ0μmH

(22)

計(jì)算永磁體域時(shí)，不考慮齒槽以及其引起的空載渦流損耗，即永磁體中無電流密度分布。由磁矢定義可得關(guān)于軸向磁位的泊松方程為

(23)

式中，Mx為永磁體磁化強(qiáng)度切向分量；My為永磁體磁化強(qiáng)度徑向分量。

由文獻(xiàn)[18]可知

(24)

式中，Mxn為0；Myn為4pBrsin(nπαp/2p)/(nπμ0)；θv為永磁體初始位置；Br為永磁體剩磁。

令γ=nπ/τ，將式(24)代入式(23)可得

(25)

式(25)通解為

(26)

式中，Y、Z是由邊界條件確定的常數(shù)。

3.1.2 保護(hù)套域

計(jì)算保護(hù)套域時(shí)，同樣不考慮空載渦流損耗。其中的磁場(chǎng)控制方程為拉普拉斯方程。保護(hù)套域軸向磁位的通解由式(25)可得

(27)

式中，W、X是由邊界條件確定的常數(shù)。

3.1.3 氣隙域

氣隙域磁場(chǎng)控制方程為拉普拉斯方程。氣隙域軸向磁位通解如下

(28)

式中，U、V是由邊界條件確定的常數(shù)。

3.2 計(jì)算域間邊界條件

空載磁場(chǎng)邊界條件如下

當(dāng)y=g+l+m

(29)

當(dāng)y=l+m

(30)

當(dāng)y=m

(31)

當(dāng)y=0

(32)

將各計(jì)算域x方向上的磁場(chǎng)強(qiáng)度和y方向上的磁密代入式(29)～式(32)，可求得待定常數(shù)U、V、W、X、Y和Z。

3.3 電磁轉(zhuǎn)矩求解

由式(7)、式(8)可知，在靜止坐標(biāo)系下，電樞反應(yīng)磁場(chǎng)中氣隙磁密的切向和徑向分量為

(33)

(34)

由式(28)和式(8)可知，空載磁場(chǎng)中，氣隙磁密的切向和徑向分量為

(35)

(36)

負(fù)載磁場(chǎng)中，氣隙磁密的切向和徑向分量為式(37)。

(37)

由麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算電磁轉(zhuǎn)矩，積分路徑為氣隙厚度中心位置處，即Rint=(Rm+Rs)/2。電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

(38)

由表(1)電機(jī)輸入?yún)?shù)和式(38)可知，平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)幅值ΔTvn為

(39)

(40)

式中，Cxav、Cyav、Cxpn和Cypn是電樞反應(yīng)磁場(chǎng)和空載磁場(chǎng)中氣隙磁密切向和徑向分量表達(dá)式中的各次諧波系數(shù)，由式(33)～式(36)可得。

電磁轉(zhuǎn)矩諧波總畸變率THDT如式(41)，以此表征式(40)中電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的含量。

(41)

4 計(jì)算結(jié)果和優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 解析模型驗(yàn)證

用時(shí)步有限元軟件，對(duì)表1參數(shù)電機(jī)進(jìn)行仿真，有限元和解析模型的結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

(a)

(b) 圖4 有限元法與解析法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(a)永磁體渦流損耗 (b)電磁轉(zhuǎn)矩Figure 4. Comparison of calculation results between FEA and analytic model(a)Eddy current loss of PMs (b)Electromagnetic torque

圖4中，永磁體平均渦流損耗Pave有限元數(shù)值解為2 139 W，解析解為2 103 W，誤差為1.7%；平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave有限元數(shù)值解為594.3 N·m，解析解為583.3 N·m，誤差為1.9%。解析模型滿足一定的精度要求。

4.2 電機(jī)尺寸影響分析

本文分析了定子繞組節(jié)距αy和永磁體極弧系數(shù)αp對(duì)渦流損耗和電磁轉(zhuǎn)矩的影響。定子繞組節(jié)距αy的取值范圍為[12°，48°]，永磁體極弧系數(shù)αp的取值范圍為[0.5，1]。參數(shù)示意圖如圖5所示。

圖5 繞組節(jié)距和極弧系數(shù)示意圖Figure 5. Schematic diagram of winding pitch and pole arc coefficient

對(duì)于上述繞組節(jié)距αy和極弧系數(shù)αp，使用解析模型，分別計(jì)算永磁體平均渦流損耗Pave、平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)THDT的響應(yīng)面，如圖6所示。

(a)

(b)

(c) 圖6 各參數(shù)指標(biāo)的響應(yīng)面(a)永磁體平均渦流損耗 (b)平均電磁轉(zhuǎn)矩 (c)電磁轉(zhuǎn)矩諧波總畸變率Figure 6. Response surface of each parameter(a)Average eddy current loss of PMs (b)Average electromagnetic torque (c)Total harmonic distortion rate of electromagnetic torque

由圖6可知，減小繞組節(jié)距或永磁體極弧系數(shù)可降低永磁體平均渦流損耗；繞組節(jié)距在25°左右時(shí)，平均電磁轉(zhuǎn)矩最大，且隨著永磁體極弧系數(shù)的增大而增大；電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)在繞組節(jié)距超過44°時(shí)較大，其值超過10%。在繞組節(jié)距小于44°時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩諧波畸變率分布較為復(fù)雜，總體在1%～10%間波動(dòng)。

4.3 電機(jī)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)

為提高平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave、降低電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)THDT和永磁體平均渦流損耗Pave，對(duì)表1電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化分析。優(yōu)化算法為PSO，優(yōu)化變量為定子繞組節(jié)距αy和永磁體極弧系數(shù)αp。使用加權(quán)法將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)為

(42)

式中，f為簡(jiǎn)化后的單目標(biāo)函數(shù)，其值越小電機(jī)越理想；λ1、λ2和λ3分別是優(yōu)化目標(biāo)永磁體平均渦流損耗Pave、平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)THDT的權(quán)值，依次取0.45、0.45和0.1；Pi=2 103 W，為優(yōu)化前的永磁體平均渦流損耗；Ti=583.3 N·m，為優(yōu)化前的平均電磁轉(zhuǎn)矩；THDi=1.31%，為優(yōu)化前的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。

約束條件如式(43)所示。

(43)

PSO中，粒子數(shù)為20個(gè)，最大迭代數(shù)為200次，收斂曲線如圖7所示。

圖7 粒子群算法收斂曲線Figure 7.Convergence curve of PSO

由圖7可知，在前30次迭代中，最優(yōu)粒子更新較快，在迭代后期，曲線趨于平穩(wěn)，可認(rèn)為在最優(yōu)解附近。

經(jīng)PSO計(jì)算可知，當(dāng)繞組節(jié)距αy=20.6°且極弧系數(shù)αp=0.57時(shí)，最優(yōu)目標(biāo)f=0.69。此時(shí)平均渦流損耗Pave為514 W，降低了76%；平均電磁轉(zhuǎn)矩Tave為454 N·m，降低了22%；電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)THDT為0.42%，降低了68%，電機(jī)較為理想。

以上優(yōu)化方案大幅降低了永磁體的平均渦流損耗和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，但也小幅降低了平均電磁轉(zhuǎn)矩。若想提高平均電磁轉(zhuǎn)矩，需通過調(diào)整合適的權(quán)值λ1、λ2和λ3進(jìn)行優(yōu)化求解。

5 結(jié)束語

本文提出了一種永磁同步電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)基于電樞反應(yīng)磁場(chǎng)和空載磁場(chǎng)兩種解析模型。電樞反應(yīng)磁場(chǎng)計(jì)算永磁體平均渦流損耗，引入感應(yīng)電流片，降低了模型復(fù)雜性，提高了計(jì)算效率。解析模型均使用時(shí)步有限元進(jìn)行精度驗(yàn)證。針對(duì)平均電磁轉(zhuǎn)矩和平均渦流損耗，對(duì)定子繞組節(jié)距和永磁體極弧系數(shù)作參數(shù)影響分析。結(jié)果顯示，兩個(gè)參數(shù)在一定范圍內(nèi)有相似的相關(guān)性，此時(shí)難以確定理想的電機(jī)方案。使用權(quán)值將多目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。相比有限元模型，解析模型在優(yōu)化迭代時(shí)效率更快，能快速收斂，得出給定權(quán)值下的最優(yōu)電機(jī)設(shè)計(jì)。通過調(diào)整權(quán)值，可得到不同指標(biāo)傾向的設(shè)計(jì)方案。

本文忽略了定子齒槽帶來的空載渦流損耗和齒槽轉(zhuǎn)矩，優(yōu)化分析的輸入?yún)?shù)也僅有兩個(gè)。后續(xù)研究可以對(duì)解析模型進(jìn)行修改，也可以增加優(yōu)化算法的參數(shù)維度，或調(diào)整構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。