融通“作法”　明晰“作理”

濮磊

摘 要：幾何作圖是融合了觀察、分析、構(gòu)思、判斷的思維活動，新課標(biāo)提高了對初中階段幾何作圖的要求，與此相應(yīng)，對作圖題的命制也應(yīng)有所改觀.以一道作圖壓軸題的命制為例，基于對命題思路的解讀，闡述了可用于當(dāng)前考試的作圖題命題策略，分為：深度理清教材線索，恰當(dāng)把握命題主線；合理兼顧各類作圖，著力凸顯殊途同歸；遞進設(shè)計作法推理，充分關(guān)注執(zhí)果索因；適度開展差異賦分，分層評價邏輯水平；全面考察作圖思維，創(chuàng)新引導(dǎo)幾何探究.

關(guān)鍵詞：幾何作圖；新課標(biāo)；命題策略

幾何作圖是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和推理能力的重要載體.在解決作圖問題的過程中，學(xué)生除了可以感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還能逐步體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)、形成學(xué)科基本觀念［1］.為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“新課標(biāo)”）提高了對初中階段幾何作圖的要求，提出了“通過尺規(guī)作圖等直觀操作方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系”“經(jīng)歷作圖的過程”“理解作圖的基本原理與方法”等表述［2］，希望教師能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)思圖形、設(shè)計流程、作圖驗證的過程［3］.

事實上，初中階段的幾何作圖不僅包含基于演繹幾何的尺規(guī)作圖，還有大量基于實驗幾何的操作性作圖，如方格紙中的作圖和折紙活動等，它們同樣承載著發(fā)展學(xué)生幾何作圖能力的功能.為了落實新課標(biāo)的相關(guān)要求、發(fā)揮幾何作圖的育人價值，將作圖原理和方法融為一體是可行的方向［4］.本著評價引領(lǐng)教學(xué)的想法，筆者在近期的全區(qū)七年級下學(xué)期期中考試中命制了如下壓軸題，希冀能通過對同一目標(biāo)下不同類型幾何作圖“一圖多法”的考查，引導(dǎo)學(xué)生感悟作圖原理的“多法歸一”.

1 試題呈現(xiàn)

平行的思考.

【畫平行】

（1） 在如圖1所示的方格紙中，過點P畫直線l1，使得l1∥AB.（限用沒有刻度的直尺）

【說平行】

（2） 說明（1）中所畫l1∥AB的理由.

【作平行】

（3） 如圖2，過P作l2∥AB.（限用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，保留作圖痕跡，不必寫出作法和理由）

【折平行】

現(xiàn)有一張長方形紙片ABCD，小明和小麗分別折平行線.

小明：如圖3，折出BD，展平后再折疊紙片，使點A、C分別落在BD所在直線上的點A′、C′處，展平紙片，得到折痕BM、DN.

小麗：如圖4，將邊MC折至MC′處，再將邊AD折至A′D′處，使得MC′和A′D′在一條直線上，展平紙片，得到折痕MN、EF.

【證平行】

（4） 小明發(fā)現(xiàn)BM∥DN，小麗發(fā)現(xiàn)MN∥EF.請你選擇一個證明.

（選擇小明的，全部正確得2分；選擇小麗的，全部正確得4分）

2 命題思路解讀

從題目本身來看，本題既響應(yīng)了新課標(biāo)倡導(dǎo)的基于圖形性質(zhì)或關(guān)系作圖的導(dǎo)向，又落實了新課標(biāo)對幾何作圖基本原理和方法的強調(diào)，從學(xué)生熟悉的方格紙內(nèi)畫圖入手，依次通過“畫—說—作—折—證”五個環(huán)環(huán)相扣的活動，引導(dǎo)學(xué)生體驗、發(fā)現(xiàn)并逐步確認(rèn)作圖的原理，從合理性的角度運用學(xué)過的幾何知識解釋圖形之所以成立的原因.其中，“說”的活動需要學(xué)生從圖形變化的角度給出l1∥AB的理由，看似淡化了證明，但卻從合情推理的角度加強了對學(xué)生幾何變換理解程度的考查.“折”的活動需要學(xué)生根據(jù)文字描述領(lǐng)會折紙的步驟，借助折紙過程于手中或頭腦里的再現(xiàn)，探索邊角之間的關(guān)系.“證”的活動尊重七年級學(xué)生邏輯推理能力的差異，允許不同學(xué)生選取適合自己的折法進行論證，支持學(xué)生在自己的能力范圍內(nèi)深度理解作圖的道理.

從學(xué)生作答的典型表現(xiàn)來看，本題的解答過程能夠較全面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自己的幾何作圖能力，利用日常學(xué)習(xí)時發(fā)展出的幾何直覺在畫圖與說理活動的不斷更迭中，從合情推理過渡到演繹論證，逐步深入對兩直線平行的認(rèn)識.在“說”的活動中，學(xué)生基于對方格紙中線線關(guān)系的判斷和平移性質(zhì)的應(yīng)用，從點的平移、線的平移或形的平移給出對l1∥AB的合理解釋（如圖1、2、3）.在“證”的活動中，大部分學(xué)生能夠根據(jù)自己對兩個折紙活動背后道理的理解，選擇一個自己認(rèn)為能勝任的發(fā)現(xiàn)開展論證，但不少選擇證明小麗發(fā)現(xiàn)的學(xué)生對于自己給出的證明持有懷疑態(tài)度.

總地來說，本題通過不同類型的作圖體驗、不同方式的說理論證，考查了“作平行”的不同變式和“驗平行”的不同角度，旨在系統(tǒng)洞悉學(xué)生對同一目標(biāo)下幾何作圖不同方法和基本原理的掌握情況，力求經(jīng)由有序編排的作圖與論證活動，在作圖方法與作圖原理的不斷融通中，引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光看，用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)的語言說”.

3 基于新課標(biāo)的作圖題命題策略思考

幾何作圖通過圖形語言將幾何思維外化，是融合了觀察、分析、構(gòu)思、判斷的思維活動，目標(biāo)明確、聚焦過程、注重具體操作的可行性與合理性.由此，幾何作圖試題理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先借助幾何直觀開展邏輯分析，再以目標(biāo)導(dǎo)向的方式構(gòu)建圖形，進而經(jīng)由演繹推理實施論證，是一個逐步知法明理的過程.但是，新課標(biāo)頒布以前，無論是否使用尺規(guī)的幾何作圖，都常常淪為了對畫圖步驟或基本作圖的識記與再現(xiàn)，難以發(fā)揮該活動的理性價值.為了落實新課標(biāo)的精神，需要從試題的命制入手，利用評價對教學(xué)的導(dǎo)向作用，改進作圖題的設(shè)計方式.結(jié)合上文，可行的策略如下.

3.1 深度理清教材線索，恰當(dāng)把握命題主線

前述試題的形成始于一張被學(xué)生折了又折后丟棄在走廊上的紙.當(dāng)仔細(xì)研究紙上的折痕時，筆者“模糊地”發(fā)現(xiàn)了折痕中藏著的重合與平行關(guān)系.在查閱新課標(biāo)中關(guān)于折紙和尺規(guī)作圖的內(nèi)容要求后，研讀蘇科版教材時，筆者發(fā)現(xiàn)：《平行》在教材七上第六章6.4中第一次出現(xiàn)，其教學(xué)目標(biāo)是“會用直尺和三角尺、方格紙畫平行線，并在操作、思考活動中探索平行線的基本性質(zhì)”；之后的“數(shù)學(xué)實驗室”欄目呈現(xiàn)了方格紙畫平行線的內(nèi)容，但此時沒有提及平行的理由；七下第一章是對七上第六章的延續(xù)和提高，要求學(xué)生探索直線平行的條件和平行線的性質(zhì)，通過具體實例認(rèn)識平移并探索平移的基本性質(zhì)，但缺失了性質(zhì)得到之后的再次論證過程.不難發(fā)現(xiàn)，教材依次呈現(xiàn)了方格紙、尺規(guī)和折紙三種類型的平行線作圖，對平行性質(zhì)的編排是逐步從操作驗證到說理論證的過程.認(rèn)清教材這兩部分內(nèi)容的脈絡(luò)后，筆者在試題中交錯設(shè)計了關(guān)于作圖和論證的活動，從操作開始層層深入到嚴(yán)格的邏輯證明.

從上可見，深度理解教材不僅是教師備課與教學(xué)的前置環(huán)節(jié)，更能為命題素材的獲取、命題念頭的觸發(fā)提供啟發(fā).由于各版教材均未將幾何作圖單獨成節(jié)，所以如果需要命制作圖解答題，常會發(fā)生涉及的內(nèi)容在教材中雖都出現(xiàn)，但受限于章節(jié)知識間的關(guān)聯(lián)性，它們散落在不同的位置的情況.此時，就需要命題者挖掘不同作圖之間的聯(lián)系，串珠成線，識別出相關(guān)作圖的暗線，繼而貫徹新課標(biāo)并重作圖原理和方法的要求創(chuàng)設(shè)命題思路.

3.2 合理兼顧各類作圖，著力凸顯殊途同歸

作圖是將“想象”的幾何圖形“構(gòu)造”出來的途徑，有助于對幾何概念及其關(guān)系的直觀理解［5］.學(xué)生需要“能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形”［2］.對初中階段來說，由于處于實驗幾何和演繹幾何齊頭并進的時期，圖形性質(zhì)和圖形運動規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、理解及驗證常常都離不開直觀操作的活動過程，借助折紙、方格紙和尺規(guī)是常見的手段，目的是形成對其中一般化結(jié)論的認(rèn)識.就本題而言，雖然教材沒有將平行線的作圖和平行的性質(zhì)關(guān)聯(lián)起來，也沒有顯化不同作圖手段間的一致性，但考慮到① 三種作圖手段都可以得出平行的性質(zhì)，② 三種作圖手段的方法本質(zhì)相同、只是嚴(yán)謹(jǐn)程度有所差異，③ 圖形運動中的不變性是說明不同圖形中線線平行的共同依據(jù)，同時編排了三類作圖活動，分別以圖形語言和文字語言呈現(xiàn)，用以要求學(xué)生在將它們轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言加以理解的過程中逐漸深化對平行基本性質(zhì)的領(lǐng)悟.

幾何性質(zhì)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是通過呈現(xiàn)變化的圖形和圖形的變化幫助學(xué)生掌握“變中之不變”.從這個意義上說，用于評價幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)結(jié)果情況的試題需要利用基本圖形在不同情形中的變式考查學(xué)生對圖形變化規(guī)律的掌握程度.因此，命制作圖題時，應(yīng)當(dāng)緊扣圖形變化規(guī)律的本質(zhì)設(shè)計問題，通過設(shè)置不同作圖手段的要求，既關(guān)注學(xué)生對不同類型作圖的操作性理解，也要基于對圖形間共性的呈現(xiàn)考查學(xué)生對圖形變化本質(zhì)的認(rèn)識程度.

3.3 遞進設(shè)計作法推理，充分關(guān)注執(zhí)果索因

在本題“畫—說—作—折—證”的五個活動中，一方面，“畫”“作”“折”與作法直接相關(guān)，而這三個活動的實施過程都離不開對作圖原理的理解，因此，它們與作圖原理間接相關(guān)；另一方面，“說”和“證”與作圖原理直接相關(guān)，但其過程都基于對作法步驟的逐個執(zhí)行而展開，間接地運用了作法.也就是說，獨立地看，本題的五個活動均離不開作圖的方法與原理，推進的線索是從直觀的操作到想象的操作、從基于觀察的說理到嚴(yán)格的“三段論”說理.除此之外，考慮五個活動之間的聯(lián)系可以發(fā)現(xiàn)兩點：① 前兩個活動和后兩個活動各自構(gòu)成了一個完整的閉環(huán)，都是從作圖到論證的過程，區(qū)別在于第一個閉環(huán)著眼于直觀驗證、第二個閉環(huán)則著眼于邏輯論證；② 第三個活動不僅起到從考查幾何直觀能力到考查幾何論證能力的過渡作用，還是對平行線作圖本質(zhì)的直接反映.

可以看到，作圖是由因到果的過程，需要基于對目標(biāo)圖形的設(shè)想構(gòu)造出符合條件的圖形；而作圖后的驗證則是從果到因的過程，需要根據(jù)圖形中各要素之間的關(guān)系逆向思考出作圖結(jié)論之所以成立的理由.因此，在作圖題的命題中，不僅要關(guān)注目標(biāo)圖形的形成，更要注重作圖過程與驗證過程的相輔相成，在從直觀感知到演繹推理逐步邏輯化的進程中，同步考查學(xué)生的空間觀念和推理能力.

3.4 適度開展差異賦分，分層評價邏輯水平

本題最后一個活動“證”的評分標(biāo)準(zhǔn)借鑒了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中的“滿意原則”和“加分原則”，為選擇不同折紙方式的正確論證賦予了不同的分?jǐn)?shù).從表面上看，這除了是考慮到兩種折紙方式背后證明過程所涉及知識的復(fù)合程度，還考慮了折紙步驟的可理解性和與前面幾個活動的關(guān)聯(lián)性.對小明發(fā)現(xiàn)的證明只要使用一次折疊所產(chǎn)生的直接結(jié)論后再現(xiàn)“說”活動中的理由即可；對小麗發(fā)現(xiàn)的證明，除了需要多次運用折疊的知識，還會多次用到平行的判定與性質(zhì)，并且需要將不同的結(jié)論綜合后才能形成完整的證明過程.而從根本上看，選擇小明或是小麗的發(fā)現(xiàn)，不僅僅意味著是對證明難易程度的選擇，更是對幾何直觀水平和作圖思想方法層次的選擇.換句話說，選擇小麗的發(fā)現(xiàn)并能順利完成整個證明代表了邏輯思維的水平更高；而設(shè)置差異賦分則是為了讓不同水平的學(xué)生都能經(jīng)歷適合自己的邏輯論證過程.

長期以來，正確程度和精準(zhǔn)程度都是作圖題的考查重點，考試中的尺規(guī)作圖基本上都是程序性的，只需要學(xué)生按照要求完成某種基本作圖或疊加多種基本作圖，流程清晰、操作機械，其賦分自然也只圍繞作圖步驟的執(zhí)行即可.但是，新課標(biāo)對作圖方法和原理的強調(diào)使得遵循先前模式的作圖題已不能滿足發(fā)展學(xué)生幾何推理能力的需求.因此，在基于新課標(biāo)開展評價實踐的初期，考慮到師生對待作圖題的固有觀念尚待扭轉(zhuǎn)，差異化賦分不失為一種鼓勵學(xué)生嘗試作圖論證、支持教師改進作圖教學(xué)的方式.

3.5 全面考察作圖思維，創(chuàng)新引導(dǎo)幾何探究

綜觀本題可知，五個活動雖然都要求將答案呈現(xiàn)為靜態(tài)的圖形或符號語言，但實際上，無論是作圖還是論證，每一個活動的完成都離不開學(xué)生思維活動的參與.這種思維起始于對目標(biāo)圖形的設(shè)想，依賴于對幾何要素間關(guān)系的分析和基本作圖模型的回顧及調(diào)用，之后是根據(jù)題目規(guī)定的作圖手段考慮可行的構(gòu)圖流程并逐步執(zhí)行，最后是結(jié)合作圖的過程和涉及的相關(guān)幾何知識開展邏輯清晰的推理驗證.本題正是無處不在地考查了這樣的作圖思維過程.比如，“說”的活動需要學(xué)生在捋清“畫”之方法后利用平移和正方形的相關(guān)結(jié)論說理；再比如，“折”的活動需要學(xué)生讀懂文字表述和箭頭所示的折疊方法，根據(jù)折疊過程的邊角關(guān)系認(rèn)識其中的平行線.對這一思維的反復(fù)關(guān)注，使得本題已然成為了引導(dǎo)和考查學(xué)生幾何探究能力的載體，學(xué)生在作圖和說理的不斷循環(huán)中，體悟?qū)ψ鲌D方法的摸索和對作圖原理的研究.

幾何的學(xué)習(xí)離不開作圖，作圖的本質(zhì)是利用所掌握的幾何知識和相應(yīng)的思維方式探索未知的圖形及其中的結(jié)論.從這個意義上說，作圖題的使命在于洞察和激發(fā)學(xué)生的作圖思維并引導(dǎo)學(xué)生實施探究.那么，作圖題的命制就需要從作圖方法和原理雙管齊下，給學(xué)生經(jīng)歷猜想、構(gòu)思、實踐、證實的過程留有空間，方能實現(xiàn)經(jīng)由作圖發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

參考文獻：

［1］ 位惠女.為什么要在小學(xué)增加“尺規(guī)作圖”內(nèi)容——馬云鵬教授、吳正憲老師訪談錄（八）［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（12）：4-7.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］ 史寧中.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)教育——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》修訂的理念與要點［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2022（7）：4-12.

［4］ 劉金英.尺規(guī)作圖 畫出精彩——基于2022年中考感悟尺規(guī)作圖的育人價值［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（12）：41-45.

［5］ 李文革.從七大變化把握數(shù)學(xué)改革要義——以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》初中部分為例［J］.基礎(chǔ)教育課程，2022（19）：12-20.

基金項目：江蘇省教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃重點課題“數(shù)學(xué)評優(yōu)課磨課活動的典型機制與文化特色研究”（項目編號：C－b/2021/01/22）.