鏈接高考，發(fā)散思維，總結(jié)規(guī)律

姜瑞民

摘 要：圓錐曲線中的最值應(yīng)用問題，體現(xiàn)“動”與“靜”結(jié)合，巧妙融合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等，是每年高考中的常見題型之一.本文結(jié)合一道模擬題實(shí)例，追根溯源，鏈接高考，拓展思維，剖析破解問題的視角與技巧方法，總結(jié)規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：橢圓；直線；面積；最值

圓錐曲線中的最值（或取值范圍等）問題，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的常見熱點(diǎn)綜合應(yīng)用題型之一.此類問題?？汲Ｐ?，創(chuàng)新新穎，形式各樣，變化多樣，主要以選擇題、填空題、解答題的壓軸題形式出現(xiàn).涉及圓錐曲線的最值（或取值范圍等）問題，對考生的代數(shù)恒等變形能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，推理論證能力等都有較高的要求，同時突出對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等的全面考查，具有較好的選拔性與區(qū)分度，備受命題者青睞，需引起教育工作者的高度重視.

1 問題呈現(xiàn)

問題（廣東省六校（珠海一中等）2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），A，B兩點(diǎn)分別為橢圓的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且∠FAB=π/6，直線l與橢圓相切于點(diǎn)P（P在第一象限），與y軸相交于Q（Q異于P）.記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPQ是等邊三角形，且△OPQ的面積為3/2.

（1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） C，D兩點(diǎn)均在直線m：x=a上，且C在第一象限.設(shè)直線AD、BC分別交橢圓于點(diǎn)S、點(diǎn)T，若S，T關(guān)于原點(diǎn)對稱，求|CD|的最小值.

該問題中，第一小問結(jié)合直角三角形的邊長關(guān)系確定橢圓中參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合等邊三角形的面積來確定對應(yīng)的邊長，進(jìn)而結(jié)合橢圓的切線方程的定義，并結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系對參數(shù)關(guān)系加以確定，難度不高，但知識點(diǎn)交匯眾多，綜合性強(qiáng).當(dāng)然也可以采用交點(diǎn)法，并結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式來處理.

第二小問通過橢圓中關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)S，T以及它們與對應(yīng)頂點(diǎn)連線與直線m：x=a的交點(diǎn)，進(jìn)而確定直線m上的兩個交點(diǎn)之間的距離的最值問題.解決實(shí)際時，可以采用設(shè)點(diǎn)法，通過點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系來構(gòu)建；可以采用參數(shù)方程法，通過三角關(guān)系式的構(gòu)建來處理；還可以采用二次曲線系法來處理，也是一種不錯的解題方法與技巧.

2 鏈接高考

以上問題改編自2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷第20題，在原高考真題的基礎(chǔ)上加以合理取舍，創(chuàng)新改編，綜合應(yīng)用.

高考真題（2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓Г：x2/a2+y2=1（a＞1），A，B兩點(diǎn)分別為Г的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)均在直線l：x=a上，且C在第一象限.

（1） 設(shè)F是橢圓Г的右焦點(diǎn)，且∠AFB=π/6，求Г的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 若C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2，1，請判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓Г上，并說明理由；

（3） 設(shè)直線AD、BC分別交橢圓Г于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，若P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，求|CD|的最小值.

答案：（1） x2/4+y2=1；（2） 直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓Г上；（3） |CD|的最小值為6.

解后反思：平面解析幾何綜合應(yīng)用問題中，曲線系有其廣泛的應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要拓展與提升，對于問題的解決有一定的普遍性，關(guān)鍵在于正確掌握曲線系的構(gòu)建與相應(yīng)的應(yīng)用.借助平面解析幾何的曲線系法，結(jié)合特殊或退化的曲線上確定的點(diǎn)的代入與應(yīng)用，可以很好優(yōu)化解題過程，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升解題效益.

4 規(guī)律總結(jié)

結(jié)合原問題與相應(yīng)的高考真題，并剖析原問題的分析與解析過程，可以進(jìn)一步合理歸納，總結(jié)以下相關(guān)的規(guī)律與結(jié)論.

結(jié)論：已知橢圓（x2/a2）+（y2/b2）=1（a＞b＞0），A，B兩點(diǎn)分別為橢圓的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)均在直線m：x=a上，且C在第一象限.設(shè)直線AD、BC分別交橢圓于點(diǎn)S、點(diǎn)T，若S、T關(guān)于原點(diǎn)對稱，則|CD|的最小值為6b.

該結(jié)論的證明可以參考原問題的解析過程，從不同思維視角與技巧方法加以展開，這里不再加以敘述.

5 教學(xué)啟示

5.1 技巧方法歸納，解題策略總結(jié)

平面解析幾何中的最值（或取值范圍等）問題，常常巧妙借助于動點(diǎn)、動直線、動角等相關(guān)的軌跡問題來創(chuàng)設(shè)，類型較多，靈活多樣.

具體解決時，結(jié)合平面解析幾何中的相關(guān)定義，一般是借助坐標(biāo)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)最值的方法，或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法等來分析與解決.具體解決時，不要完全依賴代數(shù)方法求最值，還應(yīng)注意結(jié)合平面幾何與解析幾何的相關(guān)知識，借助直觀圖形，利用數(shù)形結(jié)合來分析與求解.

5.2 知識交匯融合，提升能力素養(yǎng)

平面解析幾何中的最值（或取值范圍等）問題是一類較為常見的探索性綜合應(yīng)用問題，“難”在于它綜合性強(qiáng)、靈活性高，“熱”在于它融眾多知識和技巧于一體，深得命題者偏愛與青睞.

此類綜合應(yīng)用問題是平面解析幾何與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識的全面交匯與融合的一個重要場所，正確理解題設(shè)條件，合理構(gòu)建與之相關(guān)的參數(shù)或代數(shù)式所對應(yīng)的不等式、代數(shù)式或幾何直觀模型等，借助不等式的求解、函數(shù)的值域的確定以及數(shù)形結(jié)合等方式來解決與處理，能夠有效提升學(xué)生解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與核心素養(yǎng).