2021年新高考數(shù)學Ⅰ卷第17題解法探究與推廣引申

陳應全

(廣東省茂名市廣東高州中學 525200)

2021年高考是新高考的第一年，其中新高考數(shù)學Ⅰ卷是一份突出通性通法，落實四基四能的“方向卷”.其試題突出數(shù)學本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導向，體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔功能與育人導向.這份試題好題眾多，第17題數(shù)列題就是其中一題.下面筆者對該題進行解法探究并嘗試對該題進行推廣引申，旨在打開該類問題的“思維重門”，以期拋磚引玉.

1 試題呈現(xiàn)

(1)記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)求{an}的前20項和.

2 試題分析

作為高考第一道解答題，該題主要考查了“奇偶項交織”的遞推關(guān)系的數(shù)列通項與求和問題，它與過去幾年數(shù)列解答題考查普通數(shù)列的通項與求和有所不同.雖然試題難度不大，但是學生的答題情況并不理想，究其原因主要是學生對核心概念理解不透，缺乏分析問題、解決問題的能力.事實上，該題是一道極具選拔功能的好題，較好地滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學思想，有效考查了學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考素養(yǎng)導向命題思想以及“四翼”要求中的基礎性與綜合性.

3 解法探究

3.1 第(1)問解析

解析由a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2(k∈N*)，故a2k+2=a2k+3.即bn+1=bn+3.

所以bn+1-bn=3.

故{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.

評析本小問主要是利用題目條件結(jié)合等差數(shù)列的定義法證明{bn}為等差數(shù)列.

3.2 第(2)問解析

即S20=(1+29)+(2+28)+(4+26)+(5+25)+(7+23)+(8+22)+(10+20)+(11+19)+(13+17)+(14+16)=30×10=300.

解法2 由(1)可知bn=a2n=3n-1.

因為a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1，

所以S20=a1+a2+a3+…+a20

=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

=2(a2+a4+…+a20)-10

=2(b1+b2+…+b9+b10)-10

=300.

解法3 由bn=a2n=3n-1可知{an}的偶數(shù)項是成等差數(shù)列.由a2n+1=a2n+2=a2n-1+3，所以{a2n-1}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列.

所以a2n-1=1+3(n-1)=3n-2.

所以S20=a1+a2+a3+…+a20

=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

=300.

解法4由(1)可知a2n=3n-1，且a2n+1=a2n+2=a2n-1+3,所以{a2n-1}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列.

所以a2n-1=1+3(n-1)=3n-2.

所以a2n+a2n-1=3n-1+3n-2=6n-3.

記dn=6n-3，則{dn}是以3為首項，6為公差的等差數(shù)列.

評析解法1采用了枚舉法，即把數(shù)列的前20項列舉出來后再求和，此法的特點：思維要求不高但運算量稍大，適用于項數(shù)不多的數(shù)列求和；解法2利用(1)的結(jié)論找出奇數(shù)項與偶數(shù)項的關(guān)系并將奇數(shù)項均轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項再求和；解法3分別求出奇數(shù)項與偶數(shù)項的通項公式再采用分組法求和；解法4在分別求出奇數(shù)項與偶數(shù)項的通項公式基礎上，再將相鄰奇偶項合并為一個數(shù)列后再求和，后三種解法均體現(xiàn)了多想少算的命題思想.我們不難發(fā)現(xiàn)，處理“奇偶項交織”遞推數(shù)列問題策略：由題設條件中的奇偶間的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項間的遞推關(guān)系或者偶數(shù)項的遞推關(guān)系，進而求得奇數(shù)項與偶數(shù)項的通項公式；對于求和問題一般有兩個常用處理策略：(1)利用奇數(shù)項與偶數(shù)項的規(guī)律，將奇數(shù)項與偶數(shù)項分別相加，從而求得Sn，如解法2,3；(2)將相鄰的奇數(shù)項和偶數(shù)項合并后得到新數(shù)列再求和，如解法4.

4 推廣引申

(1)記bn=a2n,cn=a2n-1，求數(shù)列{bn}與{cn}的通項公式.

(2)求{an}的前n項和Sn.

解析(1)記bn=a2n,cn=a2n-1，則

b1=a2=t+p,c1=a1=t.

由bn=a2n=a2n-1+p=a2(n-1)+q+p，所以{bn}是以b1=t+p為首項，q+p為公差的等差數(shù)列.

所以bn=t+p+(n-1)·(p+q)

=(p+q)·n+t-q.

由cn=a2n-1=a2n-2+q=a2(n-1)-1+p+q，所以{cn}是以c1=t為首項，q+p為公差的等差數(shù)列.

所以cn=t+(n-1)·(p+q)

=(p+q)·n+t-p-q.

即S2n=n[(p+q)n+2t-q]

=(p+q)n2+(2t-q)n.

由S2n-1=S2n-a2n=S2n-bn

=n[(p+q)n+2t-q]-[(p+q)n+t-q]

=(p+q)n2+(2t-p-2q)n+q-t.

評析筆者對例題從條件符號化與問題一般化兩個角度進行了拓展.對于(2)求和，則先求出S2n與S2n-1，然后合并得到Sn.縱觀整個解答過程，合理的化歸是解決問題的關(guān)鍵，其次，在解題中不能忽視S2n與S2n-1的轉(zhuǎn)化關(guān)系，常常可以有效簡化運算.

5 考題再現(xiàn)

“奇偶項交織”的遞推數(shù)列問題是高考的常見題型，下面提供兩道考題供讀者參考.

考題1 (2022年云南昆明一模(文)15)已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=4，an+2-an=(-1)n+3，則數(shù)列{an}的前10項和為____．

解法1 由題意，當n為奇數(shù)時，an+2-an=(-1)+3=2.所以數(shù)列{a2n-1}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，所以a2n-1=2+2(n-1)=2n.

當n為偶數(shù)時，an+2-an=1+3=4，所以數(shù)列{a2n}是公差為4，首項為4的等差數(shù)列.

所以a2n=4+4(n-1)=4n.

設數(shù)列{an}的前10項和為S10，

所以S10=a1+a2+…+a10

=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a10)

=90.

解法2 與解法1類似可求得a2n-1=2+2(n-1)=2n，a2n=4+4(n-1)=4n.

即bn=a2n-1+a2n=6n.

所以{bn}是以6為首項，6為公差的等差數(shù)列.

所以S10=a1+a2+…+a10

=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a9+a10)

考題2(2012年全國Ⅰ卷理16)已知數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為____.

解法1 由題意得當n為奇數(shù)時，an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1，所以an+2+an=2.

當n為偶數(shù)時，an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1，所以an+2+an=4n.

所以S60=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)

=1830.

解法2 由題意，當n為奇數(shù)時，an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1.所以an+2+an=2，a2n+1+a2n-1=2.

當n為偶數(shù)時，an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1.所以an+2+an=4n，a2n+2+a2n=8n.

令bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n，則{bn}是一個以10為首項，16為公差的等差數(shù)列.

在教學中，教師對例題的琢磨與開發(fā)在一定程度上體現(xiàn)教師的教學智慧，教學過程實質(zhì)上就是數(shù)學知識、方法與能力的培養(yǎng)過程，更是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程.因此，在教學中我們不僅要認真篩選典型例題，還要注重一題多解的實施，重視問題的推廣引申，以此引導學生探究問題的本質(zhì)以及總結(jié)解決問題的策略方法，讓學生在解決問題的過程中提升能力，發(fā)展素養(yǎng).