一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程
——一道圓錐曲線題的本質(zhì)

馬必武

(福建省福鼎市第一中學(xué) 355200)

由特殊到一般的過(guò)程經(jīng)常在教材中出現(xiàn)，比如：在研究指對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)先是由特殊的函數(shù)入手研究它們的性質(zhì)然后推廣到一般的情況.在圓錐曲線這一塊內(nèi)容的教學(xué)中我們也應(yīng)該有這種由特殊到一般的思想.即當(dāng)我們解決了有關(guān)橢圓或拋物線或雙曲線的題目后，是否應(yīng)該思考，這一結(jié)論能否推廣到一般的情況，當(dāng)我們嘗試推廣時(shí)會(huì)有意外的發(fā)現(xiàn).下面以一道題為例進(jìn)行說(shuō)明.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓E的方程

(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,試探究:在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

2 解法探析

(2)假設(shè)在x軸上存在M(t,0)滿足條件.依題意設(shè)P(x1,kx1+m),Q(4,4k+m),

由已知可得m≠0.因?yàn)橐訮Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M,所以∠PMQ=90°.

所以(t-x1,-kx1-m)·(t-4,-4k-m)=0.

即(t-x1)(t-4)+(-kx1-m)(-4k-m)

=0.

①

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)P,所以Δ=0.

即(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0.

化簡(jiǎn),得-m2+3+4k2=0.

②

③

將②③式代入①化簡(jiǎn),得

④

當(dāng)t-1=0且t2-4t+3=0時(shí)④式恒成立.

即t=1,所以M(1,0).

檢驗(yàn):當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),能使以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M.

3 題目引申

對(duì)于一般的橢圓方程這一性質(zhì)也符合.

圖2

證明設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x1,y1),右焦點(diǎn)F(c,0).

系統(tǒng)根據(jù)用戶的需求定義了一系列的訪問(wèn)控制規(guī)則，下面我們就詳細(xì)闡述一下訪問(wèn)控制規(guī)則。訪問(wèn)控制規(guī)則包括三個(gè)元素：敏感話題（ST）、請(qǐng)求者的類型（RC）、訪問(wèn)水平（AL）。用戶可以根據(jù)自己的隱私偏好選擇他想保護(hù)的敏感話題，敏感話題列表由在線社交應(yīng)用提供，用戶在使用前對(duì)自己想要保護(hù)的話題進(jìn)行選擇就可以。用戶還需要將自己社交應(yīng)用上的好友根據(jù)親密程度或者信任程度進(jìn)行分類，然后根據(jù)好友的親密程度將每個(gè)敏感話題的訪問(wèn)水平與請(qǐng)求者類型進(jìn)行對(duì)應(yīng)。通過(guò)這種方式，用戶就可以對(duì)自己的隱私信息進(jìn)行控制，不同類型的請(qǐng)求者訪問(wèn)到的隱私消息的水平不同。下面的三元組就是一個(gè)訪問(wèn)控制規(guī)則：

所以以PQ為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).

上述引申1的逆命題也是成立的.

圖3

又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(x1,y1)的橢圓切線方程為

將點(diǎn)Q代入時(shí)滿足該方程.

所以PQ為橢圓的切線方程.

其實(shí)在這個(gè)推廣中有四個(gè)要素，切線、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、垂直.只要知道三個(gè)要素，就可以證明或求另一個(gè)要素(所謂知三求一).

那在雙曲線和拋物線中是否也成立呢？

答案是肯定的.(讀者可以試著證明)

這樣我們就得到:

引申3 過(guò)圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)上一點(diǎn)M作該圓錐曲線的切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)P,則以MP為直徑的圓過(guò)相應(yīng)圓錐曲線的焦點(diǎn).

先證一個(gè)引理: 如圖4，直線l交圓錐曲線于點(diǎn)M,N,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)P,連接MF交曲線于點(diǎn)E,連接NF,PF.求證:PF平分∠NFE.

圖4

先說(shuō)明圓錐曲線的統(tǒng)一定義,即：圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比為離心率.

證明如圖4,過(guò)點(diǎn)M,N分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M1,N1,由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

由外角平分線定理的逆定理知PF平分∠NFE.

下面證明引申3:

由上述引理的證明可知:當(dāng)直線l與圓錐曲線相交變?yōu)橄嗲袝r(shí),即M,N兩點(diǎn)重合為一點(diǎn)時(shí),∠NFE變?yōu)槠浇?即變?yōu)椤螹FE),此時(shí)PF平分∠NFE,也就平分平角,所以PF⊥ME,即PF⊥MF.所以以MP為直徑的圓過(guò)相應(yīng)的焦點(diǎn).

到此可以發(fā)現(xiàn)引申3應(yīng)該是原題目的本質(zhì)，即一般性結(jié)論，同樣也是知三求一的.

4 一般性結(jié)論的應(yīng)用

例題如圖5,設(shè)點(diǎn)F是圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),直線l是相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線,設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線l′交曲線C于A,B兩點(diǎn),曲線C在A,B兩點(diǎn)處的切線分別為l1,l2,證明:兩切線的交點(diǎn)K一定在準(zhǔn)線l上.

圖5 圖6

證明假設(shè)兩切線的交點(diǎn)K不在準(zhǔn)線l上,那么設(shè)l1與準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為K1,l2與準(zhǔn)線l交點(diǎn)為K2,如圖6.因?yàn)閘1為切線,所以由引申3得K1F⊥l′.

同理得K2F⊥l′.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F不可能有兩條直線垂直于l′.

所以假設(shè)不成立.

所以兩切線的交點(diǎn)K一定在準(zhǔn)線l上.

至此，我們從一道橢圓的題目出發(fā)得到一般的圓錐曲線也符合這一性質(zhì)即得到一般性的結(jié)論，這樣我們經(jīng)歷了一個(gè)由特殊到一般的思維過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中如果能和學(xué)生一起研究，那么對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維很有幫助.