賈曉陽
[摘 要]圖形的折疊問題歷來是中考數(shù)學的必考題型,文章以一些具有代表性的試題為例,探究如何分析、解決此類問題,以提高學生對這一類問題的認識與理解,進而發(fā)展學生的思維。
[關(guān)鍵詞]圖形;折疊問題;三角形
[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]?A[文章編號] 1674-6058(2023)35-0031-03
圖形的折疊問題歷來是中考數(shù)學的必考題型,其常以三角形、平行四邊形、矩形、菱形等為載體,要求學生在觀察、操作等實踐活動中獲得知識,積累活動經(jīng)驗,進而提高學生的實踐操作能力。筆者以一些具有代表性的試題為例,探究如何分析、解決此類問題,以提高學生對這一類問題的認識與理解,進而發(fā)展學生的思維。
一、以三角形為載體的折疊問題
三角形沿中位線折疊后得到梯形,等腰三角形沿對稱軸折疊后得到直角三角形,等腰直角三角形沿對稱軸折疊后仍是等腰直角三角形,三角形沿內(nèi)角平分線折疊后得到的圖形仍是三角形。
[例1]閱讀理解:如圖1所示,在[△ABC]中,[AB1]是[∠BAC]的平分線,沿著直線[AB1]將三角形折疊,并將重復部分剪掉;[A1B2]是[∠B1A1C]的平分線,將余下的部分沿直線[A1B2]折疊,并將重復部分剪掉;如此重復,[AnBn+1]是[∠BnAnC]的平分線,沿直線[AnBn+1]折疊,不論折疊了多少次,只要最后一次折疊時點[Bn]與點[C]重合,則我們稱[∠BAC]是[△ABC]的好角。小明同學展現(xiàn)了兩種[∠BAC]是[△ABC]的好角的現(xiàn)象,現(xiàn)象一:如圖2所示,[△ABC]是等腰三角形,[AB1]是[∠BAC]的平分線,沿著直線[AB1]折疊后,點[B]與點[C]重合;現(xiàn)象二:如圖3所示,[AB1]是[∠BAC]的平分線,沿著直線[AB1]折疊三角形并剪掉重復部分;[A1B2]是[∠B1A1C]的平分線,沿著直線[A1B2]折疊后,點[B1]與點[C]重合。
探究發(fā)現(xiàn):(1)如果在[△ABC]中,[∠B]是[∠C]的2倍,兩次操作后,[∠BAC]是否是[△ABC]的好角呢?(2)小明經(jīng)過三次操作后,實現(xiàn)了點[B2]與點[C]重合,設[∠B>∠C],那么[∠B]與[∠C]有何等量關(guān)系?請根據(jù)上述的探究,猜想經(jīng)過[m]次操作后發(fā)現(xiàn)[∠BAC]是[△ABC]的好角,設[∠B>∠C],那么[∠B]與∠C有何數(shù)量關(guān)系?
分析:(1)在小明展現(xiàn)的第二種現(xiàn)象中,由三角形外角的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì),易得[∠B=2∠C],所以[∠BAC]是[△ABC]的好角;(2)如圖4所示,由軸對稱的性質(zhì)得[∠C=∠A2B2C],[∠B=∠AA1B1],[∠A1B1C=∠A1A2B2],由三角形外性質(zhì)得[∠A1A2B2]等于[∠C+∠A2B2C],[∠AA1B1]等于[∠A1B1C+∠C],所以[∠B]是[∠C]的3倍。由前面的探究可得:如果經(jīng)過[m]次操作得到[∠BAC]是[△ABC]的好角,那么[∠B=m∠C]。
解:(1)[∠B]是[∠C]的2倍,兩次操作后,[∠BAC]是[△ABC]的好角。理由:如圖3所示,因為將[△ABC]沿直線[AB1]第一次折疊,得[∠B=∠AA1B1],將余下部分沿直線[A1B2]第二次折疊,因為點[B1]與點[C]重合,所以[∠A1B1C=∠C];因為[∠AA1B1=∠C+∠A1B1C],所以[∠B=2∠C],所以當[∠B=2∠C]時,[∠BAC]是[△ABC]的好角。
(2)如圖4所示,在[△ABC]中,沿直線[AB1]折疊后剪掉重復部分,得[∠B=∠AA1B1],再將余下部分沿直線[A1B2]折疊并剪掉重疊部分,得[∠A1B1C=∠A1A2B2],再將余下部分沿直線[A2B3]折疊并剪掉重疊部分,得[∠C=∠A2B2C],由三角形外角性質(zhì)得[∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C],[∠AA1B1=∠A1B1C+∠C],所以[∠B=2∠C+∠C],即[∠B=3∠C];因為當[∠B=∠C]時,經(jīng)過一次操作發(fā)現(xiàn)[∠BAC]是[△ABC]的好角;當[∠B=2∠C]時,經(jīng)過兩次操作發(fā)現(xiàn)[∠BAC]是[△ABC]的好角;當[∠B=3∠C]時,經(jīng)過三次操作發(fā)現(xiàn)[∠BAC]是[△ABC]的好角。所以猜想,如果經(jīng)過[m]次操作發(fā)現(xiàn)[∠BAC]是[△ABC]的好角,那么[∠B]等于[m∠C]。
二、以平行四邊形為載體的折疊問題
平行四邊形是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,如果沿過中心的直線折疊平行四邊形,直線兩旁的部分不能互相重合,如果沿垂直于一邊的直線折疊平行四邊形,折疊前后的兩個三角形有一條邊在平行四邊形的一邊上。
[例2]如圖5所示,在平行四邊形[ABCD]中,[AB=3],點[E]為線段[AB]的三等分點(靠近點[A]),點[F]為線段[CD]的三等分點(靠近點[C]),且[CE⊥AB]。將[△BCE]沿[CE]對折,[BC]邊與[AD]邊交于點[G],且[DC=DG]。求四邊形[AECG]的面積。
分析:由折疊可知[B'E=BE=2],得[AB'=1],易證[∠B'=∠B'GA],得[AB'=AG=1],由[AB']∥[CD],得到[B'GCG=AGDG],得[B'G=1],得到[△AGB']是等邊三角形,可由“四邊形[AECG]的面積=直角三角形[EB'C]的面積-等邊三角形[AGB']的面積”求得。
解:∵[AB=3],∴[AE=CF=1],[BE=2],∵將[△BCE]沿[CE]對折得到[△ECB'],∴[B'E=BE=2],∴[AB'=1],∵[DC=DG=3],∴[∠DGC=∠DCG],∵[BB']∥[CD],∴[∠DCG=∠B'],∴[∠B'=∠B'GA],∴[AB'=AG=1],∴[DA=BC=B'C=4],∵[AB']∥[CD],∴[B'GCG=AGDG],∴[B'G4?B'G=13],∴[B'G=1],∴[△AGB']是等邊三角形,在Rt[△BCE]中,[BC=4],[BE=2],∴[EC=23],∴[S四邊形AECG=S△EB'C-S△AB'G=12×2×23?12×1×32=734]。
三、以矩形為載體的折疊問題
以矩形為載體的折疊問題是最常見的一類題型。在教材中,就有用矩形紙片折出最大的正方形,讓矩形的寬與長重合,重疊部分就是最大的正方形;還有用矩形紙片折出一個等邊三角形,讓一個直角頂點放在矩形的一條對稱軸上,得到一個60°的角,從而得到等邊三角形,這些都是矩形的折疊問題。
[例3]如圖6所示,矩形[ABCD]是一張A4紙,其中[AD=2AB],小天用該A4紙玩折紙游戲。游戲1:折出對角線[BD],將點[B]翻折到[BD]上的點[E]處,折痕[AF]交[BD]于點[G]。展開后得到圖6,發(fā)現(xiàn)點[F]恰為[BC]的中點。游戲2:在游戲1的基礎上,將點[C]翻折到[BD]上,折痕為[BP];展開后將點[B]沿過點[F]的直線翻折到[BP]上的點[H]處;再展開并連接[GH]后得到圖7,發(fā)現(xiàn)[∠AGH]是一個特定的角。(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;(2)請你猜想游戲2中[∠AGH]的度數(shù),并說明理由。
圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖7
分析:(1)由折疊的性質(zhì)可得[AF⊥BD],由同角的余角相等得[∠BAG=∠ADB=∠GBF],設[AB=a],則[AD=2a],[BD=3a],由銳角三角函數(shù)分別算得[BG]、[BF]的長即可;(2)由折疊的性質(zhì)可知[∠GBH=∠FBH],[BF=HF],從而可得出[∠GBH=∠BHF],進而得到[BD]∥[HF],由(1)知[AF⊥BD],可得[AF⊥HF],在Rt[△GFH]中求出[∠GHF]的正切值即可。
解:(1)由折疊的性質(zhì)可得[AF⊥BD],∴[∠AGB=90°],∵四邊形[ABCD]是矩形,∴[∠BAD=∠ABC=90°],由“同角的余角相等”得[∠BAG=∠ADB=∠GBF],∵[AD=2AB],設[AB=a],則[AD=2a],[BD=3a],∴[sin∠BAG=sin∠ADB],即[BGAB=ABBD],∴[BGa=a3a],解得[BG=33a],根據(jù)勾股定理可得[AG=63a],[cos∠GBF=cos∠BAG],即[BGBF=AGAB],∴[33aBF=63aa],解得[BF=22a],∵[BC=AD=2a],∴[BF=12BC],∴點[F]為[BC]的中點。
(2)[∠AGH=120°],理由如下:連接[HF],如圖8所示,由折疊的性質(zhì)可知[∠GBH=∠FBH],[BF=HF],∴[∠GBH=∠FBH],[∠FBH=∠FHB],∴[∠GBH=∠BHF],∴[BD]∥[HF],∴[∠DGH=∠GHF],由(1)知[AF⊥BD],可得[AF⊥HF],∴[∠AGD=90°],設[AB=a],則[AD=2a=BC],[BF=HF=22a],∴[BG=33a],∴[GF=66a],
在Rt[△GFH]中,[tan∠GHF=GFHF=66a22a=33],∴[∠GHF=30°],∴[∠DGH=30°],∴[∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°]。
四、以菱形為載體的折疊問題
菱形是初中階段研究的重要四邊形,它具有平行四邊形的一切性質(zhì),還具有自己特殊的性質(zhì),即四條邊相等,對角線互相垂直,它既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,對角線所在的直線就是它的對稱軸,對角線的交點就是它的對稱中心。
[例4]如圖9所示,四邊形[ABCD]是邊長為4的菱形,[∠A=60°],點[Q]為[CD]的中點,[P]為線段[AB]上的動點,現(xiàn)將四邊形[PBCQ]沿[PQ]翻折,得到四邊形[PB'C'Q]。當點[P]在線段[AB]上移動時,設[BP=x],四邊形[BB'C'C]的面積為[S],求[S]關(guān)于[x]的函數(shù)表達式。
分析:如圖10所示,連接[BQ]、[B′Q],延長[PQ]交[CC′]于點[F],用含[x]的代數(shù)式表示[S△QEB],證明[△BEQ ]∽[△QFC],再用含[x]的代數(shù)式表示[S△QFC],最后利用[S=2(S△QEB+S△BQC+S△QFC)]寫出[S]關(guān)于[x]的函數(shù)表達式。
解:如圖10所示,連接[BQ]、[B′Q],延長[PQ]交[CC′]于點[F],∵[PB=x],[BQ=23],[∠PBQ=90°],∴[PQ=x2+12],∵[S△PBQ=12PQ×BE=12PB×BQ],∴[BE=BQ×PBPQ=23xx2+12],∴[QE=12x2+12],∴[S△QEB=12×23xx2+12×12x2+12=123xx2+12],∵[∠BEQ=∠BQC=∠QFC=90°],則[∠EQB=90°-∠CQF=∠FCQ],∴[△BEQ ]∽[△QFC],∴[S△QFCS△BEQ=CQQB2=2232=13],∴[S△QFC=43xx2+12],∵[S△BQC=12×2×23=23],∴[S=2×(S△QEB+S△BQC+S△QFC)=2×123xx2+12+23+43xx2+12=323xx2+12+43]。[S]關(guān)于[x]的函數(shù)表達式為[S=323xx2+12+43]。
五、以正方形為載體的折疊問題
正方形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,共有四條對稱軸,沿著任意一條對稱軸折疊正方形,直線兩旁的部分都能互相重合。如果沿過正方形頂點的一條直線折疊一個角,再沿同一頂點的另一條直線折疊另一個對角,兩個角的頂點重合時,可以得到兩條角平分線。
[例5]如圖11所示,在正方形[ABCD]中,[E]是[DC]邊上一點(與[D]、[C]不重合),連接[AE],將[△ADE]沿[AE]所在的直線折疊得到[△AFE],延長[EF]交[BC]于[G],連接[AG],作[GH⊥AG],與[AE]的延長線交于點[H],連接[CH]。顯然[AE]是[∠DAF]的平分線,[EA]是[∠DEF]的平分線。仔細觀察,請逐一找出圖中其他的角平分線(僅限于小于180°的角平分線),并說明理由。
分析:如圖12所示,過點[H]作[HN⊥BM]于[N],利用“[HL]”證明[△ABG ]≌[△AFG],得[AG]是[∠BAF]的平分線,[GA]是[∠BGF]的平分線;利用“[AAS]”證明[△ABG ]≌[△GNH],得[HN=CN],得到[∠DCH=∠NCH],推出[CH]是[∠DCN]的平分線;再證[∠HGN=∠EGH],可知[GH]是[∠EGM]的平分線。
解析:如圖12所示,過點[H]作[HN⊥BM]于[N],則[∠HNC=90°],∵四邊形[ABCD]為正方形,∴[AD=AB=BC],[∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°],①∵將[△ADE]沿[AE]所在的直線折疊得到△[AFE],∴△[ADE ]≌△[AFE],∴[∠D=∠AFE=∠AFG=90°],[AD=AF],[∠DAE=∠FAE],∴[AF=AB],又∵[AG=AG],∴[Rt△ABG ]≌[Rt△AFG](HL),∴[AG]是[∠BAF]的平分線,[GA]是[∠BGF]的平分線;②由①知,[∠DAE=∠FAE],[∠BAG=∠FAG],又∵[∠BAD=90°],∴[∠GAF+∠EAF=12×90°=45°],即[∠GAH=45°],∵[GH⊥AG],∴[∠GHA=90°-∠GAH=45°],∴△[AGH]為等腰直角三角形,∴[AG=GH],∵[∠AGB+∠BAG=90°],[∠AGB+∠HGN=90°],∴[∠BAG=∠NGH],
[∵]又[∠B=∠HNG=90°],[AG=GH],∴[△ABG ]≌[△GNH](AAS),[∴BG=NH],[AB=GN],∴[BC=GN],∵[BC-CG=GN-CG],∴[BG=CN],[CN=HN],∵[∠DCM=90°],∴[∠NCH=∠NHC=45°][,][∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°],[∴∠DCH=∠NCH],∴CH是∠DCN的平分線③,∵[∠AGB+∠HGN=90°],[∠AGF+∠EGH=90°],由①知[∠AGB=∠AGF],[∴∠HGN=∠EGH],∴[GH]是[∠EGM]的平分線。綜上所述,[AG]是[∠BAF]的平分線,[GA]是[∠BGF]的平分線,[CH]是[∠DCN]的平分線,[GH]是[∠EGM]的平分線。
總之,圖形的折疊問題是中考數(shù)學的必考點,以上分類探析了三角形、平行四邊形、矩形、菱形等折疊問題,以期能給學生解決這一類問題一些啟示。
(責任編輯 黃桂堅)