初中三角形常見問題與解答策略分析

凌云

［摘 要］初中數(shù)學(xué)中，三角形作為幾何知識(shí)的基本元素，對(duì)學(xué)生“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)具有十分重要的意義。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)際，總結(jié)了三角形基本性質(zhì)相關(guān)問題、翻折問題、全等三角形問題、相似三角形問題、直角三角形問題及綜合類問題等幾類問題，旨在為學(xué)生的學(xué)習(xí)提出指導(dǎo)，以期提高學(xué)生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］三角形；常見問題；解答策略

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）35-0027-04

三角形是初中階段學(xué)生接觸最多的幾何圖形之一，由此衍生出各類考點(diǎn)，相關(guān)問題也成為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。中考中，三角形相關(guān)問題的分值占比較大，且三角形的題型多樣，不利于學(xué)生掌握。因此，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，總結(jié)初中三角形常見問題，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握。

一、基本性質(zhì)相關(guān)問題

三角形具有多種性質(zhì)，如三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半；特殊三角形如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等，則有著更多、更特殊的性質(zhì)，如等邊三角形具有角平分線、邊上中線、邊上高重合的“三線合一”性質(zhì)；等腰三角形頂角平分線、底邊上中線、底邊上高重合；等等。這些都是三角形的基本性質(zhì)，也是常見的考點(diǎn)。因此，學(xué)生只有堅(jiān)實(shí)掌握，才能在解題中靈活運(yùn)用。

［例1］如圖1，在[△ABC]中，[AD]為[BC]邊上的中線，點(diǎn)[F]為[AC]邊上一點(diǎn)，[AF=13AC]，連接[BF]交[AD]于點(diǎn)[E]，[EF=5 cm]，求[BF]的長(zhǎng)。

解析：如圖2，取[CF]的中點(diǎn)[M]，連接[DM]，

因?yàn)辄c(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)，

所以[DM]是[△BCF]的中位線，

所以[DM]∥[BF]，[DM=12BF]，即[2DM=BF]。

因?yàn)閇AF=13AC]，

所以[AF=12FC]，

又因?yàn)閇FM=12FC]，

所以[AF=FM]，即點(diǎn)[F]為[AM]的中點(diǎn)，

又因?yàn)閇EF]∥[DM]，

所以點(diǎn)[E]為[AD]的中點(diǎn)，

所以[EF]是[△ADM]的中位線，

所以[EF=12DM]，

所以[BF=2DM=2×2EF=4EF]，

因?yàn)閇EF=5 cm]，

所以[BF=20 cm]。

本題是對(duì)三角形中位線相關(guān)性質(zhì)的考查，如三角形的中位線與第三邊互相平行且長(zhǎng)度為其一半?；诖?，取[CF]的中點(diǎn)[M]，連接[DM]，得到[△BCF]的中位線；而后證明[EF]是[△ADM]的中位線，進(jìn)而根據(jù)其中的關(guān)系，得到[BF]的長(zhǎng)。

二、翻折問題

翻折問題也是三角形中的一個(gè)常見問題，在解答這類問題時(shí)，學(xué)生一定要厘清翻折前后的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的關(guān)系，而后借助翻折前后的對(duì)稱性及三角形的三邊關(guān)系解答相關(guān)問題。

［例2］如圖3，矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，[E]、[F]分別為邊[BC]、[CD]上一點(diǎn)，[EF⊥AE]，將[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，連接[AC']，當(dāng)[BE=]? ? ? ? 時(shí)，[△AEC']是以[AE]為腰的等腰三角形。

解析：①當(dāng)[AE=EC']時(shí)，設(shè)[BE=x]，則[EC=4-x]。

因?yàn)閇△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[EC'=EC=4-x]。

在[Rt△ABE]中，由勾股定理得[AE2=BE2+AB2]，

即[（4-x）2=x2+32]，

解得[x=78]。

②當(dāng)[AE=AC']時(shí)，如圖4，過點(diǎn)[A]作[AH⊥EC']于點(diǎn)[H]。

因?yàn)閇AH⊥EC']，[AE=AC']，

所以[HE=HC']。

因?yàn)閇EF⊥AE]，

所以[∠C'EF+∠AEC'=90°]，[∠BEA+∠FEC=90°]，

因?yàn)閇△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[∠C'EF=∠FEC]，

所以[∠AEB=∠AEH]。

在[△ABE]和[△AHE]中，

[∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE]

所以[△ABE ]≌[△AHE]（AAS），

所以[BE=HE=HC']，

所以[BE=12EC']，

因?yàn)閇EC'=EC]，

所以[BE=12EC]，

所以[BE=13BC=43]。

綜上所述，[BE=78]或[43]。

在本題中，需要對(duì)等腰三角形[AEC']以[AE]為腰的情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)[AE=EC']時(shí)，根據(jù)翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，并結(jié)合三邊的幾何關(guān)系進(jìn)行列式計(jì)算，便可得到結(jié)果；當(dāng)[AE=AC']時(shí)，則首先要根據(jù)翻折特點(diǎn)，證明[△ABE ]≌[△AHE]，得到[BE=HE]，最后根據(jù)相應(yīng)關(guān)系得到[BE=13BC=43]。

三、全等三角形問題

全等三角形的證明，是一個(gè)中考必考的問題，不僅會(huì)出現(xiàn)單獨(dú)的考題，還會(huì)作為中間過程出現(xiàn)在其他證明問題中。因此，學(xué)生需要準(zhǔn)確掌握證明三角形全等的幾種方法及常見的三角形全等模型。如常見的全等三角形模型有角平分線模型和三垂直模型，角平分線模型即過角平分線上 一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，所構(gòu)成的三角形全等；或過角的一邊作角平分線的垂線段的延長(zhǎng)線，交角的另一邊，所構(gòu)成的三角形全等。在實(shí)際解題中，所給出的條件可能較為隱蔽，需要學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行思考。

［例3］如圖5，已知[AB⊥BD]，[ED⊥BD]，[AB=CD]，[BC=DE]。

（1）求證：[AC⊥CE]。

（2）若將[△CDE]沿[CB]方向平移得到圖6的情景，并且[AB=C1D]，試判斷[AC⊥C1E]是否恒成立。

? ? ? ? ?

圖6

解析：（1）因?yàn)閇AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠B=∠D=90°]，

在[△ABC]和[△CDE]中，[AB=CD，∠B=∠D，BC=DE，]

所以[△ABC ]≌[△CDE]（SAS），

所以[∠1=∠E]，

所以[∠1+∠2=∠E+∠2=90°]，

所以[∠ACE=90°]，

即[AC⊥CE]。

（2）[AC⊥C1E]恒成立，證明如下：

因?yàn)閇AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠ABC=∠C1DE=90°]，

在[△ABC]和[△C1DE]中，[AB=C1D，∠ABC=∠C1DEBC=DE，]，

所以[△ABC ]≌[△C1DE]（SAS），

所以[∠ACB=∠C1ED]，

因?yàn)閇∠C1ED+∠DC1E=90°]，

所以[∠ACB+∠DC1E=90°]，

所以[AC⊥C1E]。

本題較為簡(jiǎn)單，屬于常見的三垂直模型，題（1）中由[AB⊥BD，ED⊥BD]，以及相應(yīng)的線段關(guān)系，可得[△ABC ]≌[△CDE]，進(jìn)而得出[AC⊥CE]；題（2）中由[△ABC ]≌[△C1DE]，可得[AC⊥C1E]。

四、相似三角形問題

相似三角形是數(shù)學(xué)中考中出現(xiàn)頻率非常高的一類問題。在解答這類問題時(shí)，需要學(xué)生熟練掌握相似三角形的常見證明方法，而后結(jié)合實(shí)際問題去分析可用的證明方法，進(jìn)而得到證明結(jié)果。相似三角形有諸多常見的模型，如平行“A”字模型、“反射”模型和“沙漏”模型。學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握以上各種模型，以便在解題中遇到相關(guān)模型時(shí)，能夠快速想到解題思路，進(jìn)而提高解題效率。

［例4］如圖7，在矩形[ABCD]上，有一小球[P]的運(yùn)動(dòng)路徑為P→Q→R→S→P，已知反射角與入射角相等，[AB=9]，[BC=12]，[BR=4]，求小球的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度。

解析：由題意可知，[∠PQA=∠BQR]，[∠QRB=∠SRC]，

因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]為矩形，

所以[∠A=∠B=∠C=90°]，

因?yàn)閇∠QRB=∠SRC]，[∠B=∠C=90°]，

所以[△SRC ]∽[△QRB]，

因?yàn)閇BC=12]，[BR=4]，

所以[CR=BC-BR=8]，

所以[BRCR=BQCS=QRSR=12]，

易知[∠QRS+∠RSP=180°]，[∠SPQ+∠RSP=180°]，

所以[RQ]∥[SP]，[RS]∥[QP]，所以四邊形[SPQR]是平行四邊形，[RS=QP]，

可得[△PQA ]≌[△RSC]（SSA），

所以[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，

因?yàn)閇AB=9]，所以[BQ=3]，

在Rt[△RBQ]中，[QR=BQ2+BR2=5]，

則[SR=PQ=2QR=10]，

所以[PQ+QR+RS+SP=30]，

故小球的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為[30]。

在解答本題時(shí)，主要運(yùn)用到了相似三角形的相關(guān)定理，由[△SRC ]∽[△QRB]，得到[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，[BQ=3]，由勾股定理得[QR=5]，進(jìn)而得到小球的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度。

五、直角三角形問題

直角三角形作為一類特殊的三角形，會(huì)出現(xiàn)在各類幾何知識(shí)的考查中，主要考查直角三角形的基本性質(zhì)。解題時(shí)，則需要找到直角三角形與所求問題之間的聯(lián)系，而后借助勾股定理進(jìn)行解答。

［例5］如圖8，民房后有一個(gè)山坡[AB]，為防止山體滑坡，需對(duì)坡面進(jìn)行改造。經(jīng)過勘測(cè)得[AB=26 m]，[BC]∥[AD]，[BE⊥AD]，斜面[AB]的坡比為12∶5，當(dāng)坡角不超過[50°]時(shí)，不易發(fā)生滑坡，若坡角[A]不動(dòng)，則坡頂[B]至少向左移多少米？（[tan50°=1.2]）

解析：設(shè)[B]沿[BC]向左移動(dòng)至點(diǎn)[H]時(shí)，

恰好坡角[∠HAE=50°]，

過點(diǎn)[H]作[HF⊥AD]于點(diǎn)[F]，因?yàn)樾逼耓AB]的坡比為12∶5，

設(shè)[BE=12a m（a>0）]，[AE=5a] m，

在Rt[△AEB]中，[AE2+BE2=AB2]，

即[（5a）2+（12a）2=262]，

解得[a=2]，

所以[BE=24] m，[AE=10] m，[HF=BE=24] m，

所以，在[Rt△AFH]中，

[tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2]，

解得[AF=20] m，[BH=EF=AF-AE=20-10=10] m，

故坡頂[B]至少向左移[10]米，才能保證山體不易發(fā)生滑坡。

本題為直角三角形的實(shí)際運(yùn)用問題，解題的關(guān)鍵為找到[Rt△AFH]和[Rt△ABE]的聯(lián)系，即[HF=BE]，結(jié)合這一關(guān)系，而后根據(jù)不同三角形的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而便可得到最終結(jié)果。

六、綜合類問題

這類問題是對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)的綜合考查，不僅涉及三角形的基本性質(zhì)，還涉及全等三角形、相似三角形的證明。因此，在解答這類問題時(shí)，學(xué)生要先明確解答目標(biāo)，而后厘清題目信息，挖掘隱藏信息，進(jìn)而搭建已知條件與解答目標(biāo)之間的橋梁，厘清解題思路，最后進(jìn)行求解。

［例6］如圖9，已知等邊[△ABC]的邊長(zhǎng)為[10]，點(diǎn)[D]為[AC]邊上一點(diǎn)，[CD=6]，延長(zhǎng)底邊[BC]至點(diǎn)[E]，使得[CE]的長(zhǎng)也為[6]，現(xiàn)有點(diǎn)[F]、[G]分別為[AB]、[DE]的中點(diǎn)，求[FG]的長(zhǎng)。

解析：如圖10所示，連接[DB]，取線段[DB]的中點(diǎn)[H]，連接[FH]，[GH]，再過點(diǎn)[F]作[FP⊥GH]于點(diǎn)[P]，

由題意知，[BE=BC+CE=16]，[AD=AC-CD=4]，

因?yàn)樵赱△BDE]中，[GH]為邊[BE]的中位線，

所以[GH=12BE=8]，

又因?yàn)樵赱△ABD]中，[FH]為邊[AD]的中位線，

所以[FH=12AD=2]，

因?yàn)閇GH]∥[BE]，

所以[∠DHG=∠DBC]，

又[FH]∥[AD]，

所以[∠FHD=∠BDC]，

因?yàn)閇△ABC]為等邊三角形，即[∠DCB=60°]，

所以[∠DHG+∠FHD=∠BDC+∠DBC=120°]，

即[∠FHP=60°]，

因?yàn)閇FH=2]，

根據(jù)勾股定理有[PH=1]，[PF=3]，

所以[PG=GH+PH=9]，

在Rt[△FPG]中，[FG=PG2+PF2=81+3=221]。

在解答本題時(shí)，需要添加輔助線，運(yùn)用中位線定理、勾股定理等相關(guān)知識(shí)。首先根據(jù)題意做合適的輔助線，即連接[DB]，取線段[DB]的中點(diǎn)[H]，連接[FH]、[GH]，再過點(diǎn)[F]作[FP⊥GH]于點(diǎn)[P]，根據(jù)中位線定理得[FH=12AD=2]，而后進(jìn)一步由[∠DCB=60°]計(jì)算出[∠FHP=60°]，最后借助勾股定理完成解答。

綜上所述，本文總結(jié)了初中階段關(guān)于三角形的常見問題，包括基本性質(zhì)相關(guān)問題、翻折問題、全等三角形問題、相似三角形問題、直角三角形問題及綜合類問題。因此，在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要重視對(duì)各類問題解答思路的總結(jié)與歸納，從而提升自身的綜合素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 金木紅.初中數(shù)學(xué)相似三角形模型分析及應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（15）：12-14.

［2］? 張濤.全等三角形的基本模型與輔助線構(gòu)造［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：6-7.

［3］? 顏妮.中位線定理在解三角形問題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：8-9.

［4］? 陳燕.旋轉(zhuǎn)特殊角度，構(gòu)造特殊三角形［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（12）：17-18.

（責(zé)任編輯 羅 艷）