讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)與探究中成長(zhǎng)

陳棟

［摘 要］“最短路徑問(wèn)題”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)的熱門(mén)考點(diǎn)。在“最短路徑問(wèn)題”教學(xué)中，嘗試自編闖關(guān)游戲，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在不斷闖關(guān)的過(guò)程中理解最短路徑問(wèn)題的內(nèi)涵與本質(zhì)，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］最短路徑問(wèn)題；發(fā)現(xiàn)；探究；成長(zhǎng)

［中圖分類(lèi)號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）35-0004-04

“最短路徑問(wèn)題”是蘇科版八年級(jí)上冊(cè) “軸對(duì)稱(chēng)圖形”一章中的重要內(nèi)容。在歷年的中考或數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，“最短路徑問(wèn)題”是熱門(mén)考點(diǎn)。但是，在日常的課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生不容易理解這個(gè)問(wèn)題，在解題時(shí)常不知從何下手。為了讓學(xué)生能理解這個(gè)問(wèn)題并能有效解答問(wèn)題，筆者嘗試自編闖關(guān)游戲，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在不斷闖關(guān)的過(guò)程中理解最短路徑問(wèn)題的內(nèi)涵與本質(zhì)。

一、教學(xué)流程

環(huán)節(jié)1：分享經(jīng)典數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生的求知欲

經(jīng)典數(shù)學(xué)故事：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)萬(wàn)里專(zhuān)程前來(lái)向海倫求教一個(gè)他百思不得其解的問(wèn)題：如圖1所示，將軍從A地出發(fā)先到河邊飲馬，然后再到B地軍營(yíng)視察，他按什么樣的路線(xiàn)走，路程最短？精通數(shù)學(xué)與物理的海倫略加思索，便解答了這個(gè)問(wèn)題，這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題。

評(píng)析：引入經(jīng)典數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并給學(xué)生留下懸念：海倫是如何解決這個(gè)問(wèn)題的？將軍如何走才能使路程最短？解決這個(gè)問(wèn)題需要哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？我能不能解決這個(gè)問(wèn)題呢？讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂，有利于進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲。

環(huán)節(jié)2：自編闖關(guān)游戲，引導(dǎo)學(xué)生智慧闖關(guān)

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“興趣是最好的老師。”當(dāng)我們對(duì)某種事物有了研究的興趣，就會(huì)自主地去求知、去探究，無(wú)須他人督促，且在艱難的求知與探索過(guò)程中產(chǎn)生的情緒與體驗(yàn)是愉悅的，獲得的知識(shí)也是永久的。

教師自編闖關(guān)游戲，將全班學(xué)生分成五個(gè)小組，每個(gè)小組選出一名組長(zhǎng)，由組長(zhǎng)帶領(lǐng)其他組員過(guò)關(guān)斬將，每個(gè)小組只有答對(duì)了才能進(jìn)入下一關(guān)解答下一道題。以闖關(guān)成功次數(shù)最多、用時(shí)最少的為冠軍，其次為亞軍、季軍。評(píng)出闖關(guān)最優(yōu)秀的三個(gè)小組，由教師頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書(shū)及獎(jiǎng)品，以資鼓勵(lì)。

評(píng)析：教師自編闖關(guān)游戲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；把重難知識(shí)點(diǎn)融入闖關(guān)游戲中，引導(dǎo)學(xué)生小組協(xié)作闖關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神：把“最短路徑問(wèn)題”涉及的題型分類(lèi)逐步呈現(xiàn)，由淺入深，層層遞進(jìn)，最終完成全部任務(wù)。

第一關(guān)：如圖2所示，工廠(chǎng)[A]與工廠(chǎng)[B]想在公路[m]旁修建一座共用的倉(cāng)庫(kù)[O]，并且要求[O]到[A]與[O]到[B]的距離之和最短，請(qǐng)你在[m]上確定倉(cāng)庫(kù)應(yīng)修建的[O]點(diǎn)位置，同時(shí)說(shuō)明你選擇該點(diǎn)的理由。

生1：如圖3所示，連接[AB]交直線(xiàn)[m]于點(diǎn)[O]，則點(diǎn)O即為所求的點(diǎn)。理由：因?yàn)檫B接兩點(diǎn)的所有線(xiàn)中線(xiàn)段最短，所以[OA+OB]最短。

評(píng)析：這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，雖然也是兩定點(diǎn)、一動(dòng)點(diǎn)與定直線(xiàn)，但是兩定點(diǎn)在定直線(xiàn)的兩側(cè)，學(xué)生只要了解“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”就可以解答這個(gè)問(wèn)題。讓學(xué)生說(shuō)明作圖的理由，旨在從實(shí)際問(wèn)題邁向數(shù)學(xué)問(wèn)題，為解決其他“最短路徑問(wèn)題”提供理論依據(jù)。

第二關(guān)：如圖4所示，某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路[l]旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏加工廠(chǎng)，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地[A]、[B]的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益。請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠(chǎng)所在的位置[P]，使[A]、[B]兩地到加工廠(chǎng)[P]的運(yùn)輸路程之和最短。（要求：保留作圖痕跡，寫(xiě)作法和證明）

生2：如圖5所示，作點(diǎn)[A]關(guān)于直線(xiàn)[l]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[A′]，連接[BA′]交直線(xiàn)[l]于點(diǎn)[P]，則點(diǎn)[P]即為所求加工廠(chǎng)的位置。證明：在直線(xiàn)[l]上取不同于點(diǎn)[P]的點(diǎn)[P′]（如圖5），連接[AP′]、[BP′]，因?yàn)閇A]和[A′]關(guān)于直線(xiàn)[l]對(duì)稱(chēng)，所以根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得[PA=PA′]，[P′A=P′A′]，在[△A′BP′]中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得[A′B

評(píng)析：這個(gè)問(wèn)題就是本節(jié)課要探究的主題，即“將軍飲馬”問(wèn)題，教師要善于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。本關(guān)的實(shí)際問(wèn)題是：在公路旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏加工廠(chǎng)，使這個(gè)廠(chǎng)到[A]、[B]兩個(gè)水果生產(chǎn)基地的路程之和最短，該如何選址呢？數(shù)學(xué)問(wèn)題是：在直線(xiàn)[l]的同側(cè)有兩個(gè)固定點(diǎn)[A]、[B]，如何在直線(xiàn)[l]上找一點(diǎn)[P]，使[PA+PB]的值最?。拷鉀Q方案是：作其中一固定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)[l]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連接另一固定點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連線(xiàn)與直線(xiàn)[l]的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，其本質(zhì)就是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，方法是利用軸對(duì)稱(chēng)“化折為直”。

第三關(guān)：如圖6所示，草地邊緣[OM]與小河河岸[ON]在點(diǎn)[O]處形成30°的夾角，牧馬人從[A]地出發(fā)，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到[A]地。已知[OA=2 km]，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一條路線(xiàn)，使所走的路徑最短，并求出整個(gè)過(guò)程所行的路程 。

生3：如圖7所示，分別畫(huà)出點(diǎn)[A]關(guān)于[OM]、[ON]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[B]、[C]，連接[BC]交[OM]、[ON]于點(diǎn)[D]、[E]，連接[AD]、[AE]，則線(xiàn)段[AD]、[DE]、[EA]即為所求的路徑，由題意可知點(diǎn)[A]、[B]關(guān)于直線(xiàn)[OM]對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得[OB=OA=2]，[∠AOM=∠BOM]，因?yàn)辄c(diǎn)[A]、[C]關(guān)于直線(xiàn)[ON]對(duì)稱(chēng)，所以根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得[OA=OC=2]，[∠AON=∠CON]，因?yàn)閇∠MON=∠AOM+∠AON=30°]，所以[∠BOC=60°]，因?yàn)閇OB=OC=2]，所以三角形[OBC]為等邊三角形，所以[BC=2]，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得[BD=AD]，[AE=CE]，所以[AD+DE+AE=BC=2]，所以其總路程為2 km。

評(píng)析：第三關(guān)的實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：有兩條固定直線(xiàn)的夾角為30°，在夾角內(nèi)有一固定點(diǎn)[A]，它到夾角頂點(diǎn)的距離為2 km，在固定直線(xiàn)上各確定一點(diǎn)，使這兩個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)[A]組成的三角形周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)。這個(gè)問(wèn)題在第二關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)上增加了難度，因?yàn)樯弦粋€(gè)問(wèn)題只需作一次軸對(duì)稱(chēng)即可，而這個(gè)問(wèn)題則需要作兩次軸對(duì)稱(chēng)，上一個(gè)問(wèn)題是求作使兩條線(xiàn)段和最小的一個(gè)點(diǎn)，而這個(gè)問(wèn)題是求作使三條線(xiàn)段和最小的兩個(gè)點(diǎn)，拓寬了學(xué)生的思維空間，進(jìn)一步凸顯了軸對(duì)稱(chēng)在解決“最短路徑問(wèn)題”中的作用。

第四關(guān)：如圖8所示，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊(duì)從[A]處出發(fā)，先到公路[m]上設(shè)卡檢查，再到公路[n]上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)[B]處執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？畫(huà)出圖形并說(shuō)明作法。

生4：如圖9所示，作點(diǎn)[A]關(guān)于直線(xiàn)[m]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[A′]，作點(diǎn)[B]關(guān)于直線(xiàn)[n]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[B′]，連接[A′B′]交直線(xiàn)[m]、[n]于[M]、[N]兩點(diǎn)，連接[AM]、[BN]，則[AM]—[MN]—[NB]即為最短路線(xiàn)。

評(píng)析：這一關(guān)的問(wèn)題在上一關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)上又增加了難度，上一關(guān)的問(wèn)題是一個(gè)定點(diǎn)、兩條定直線(xiàn)，求作兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使形成三條線(xiàn)段的和最小，而這一關(guān)的問(wèn)題是兩個(gè)定點(diǎn)、兩條定直線(xiàn)，求作兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使形成的四條線(xiàn)段的和最小。兩關(guān)的相同點(diǎn)是作兩次軸對(duì)稱(chēng)，利用軸對(duì)稱(chēng)“化折為直”，其底層邏輯仍是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”。其作圖的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)軸，作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，繼而確定最短路徑。

第五關(guān)：如圖10所示，直線(xiàn)[l1]、[l2]表示一條河的兩岸，且[l1]∥[l2]，現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），橋建在何處才能使從村莊[A]經(jīng)過(guò)河到村莊[B]的路線(xiàn)最短？畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理由。

生5：如圖11所示，讓點(diǎn)[A]向上平移到點(diǎn)[A′]，使[AA′]與河等寬，且[AA′]垂直于河岸，然后連接[BA′]，與河岸的交點(diǎn)為[C]，過(guò)點(diǎn)[C]作[CD]垂直于河岸，交另一河岸于點(diǎn)[D]，則[CD]就是所求的橋的位置。理由：由作圖過(guò)程可知，[CD]與[AA′]相等且互相平行，所以四邊形[ADCA′]為平行四邊形，所以[A′C]可以看作是由[AD]平移得到，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”得[A′B]最小，由于河寬不變，[CD]即為橋。

評(píng)析：第五關(guān)與前面四關(guān)的不同點(diǎn)在于把平移也加入了作圖中，相當(dāng)于在第一關(guān)的基礎(chǔ)上由一條定直線(xiàn)變?yōu)閮蓷l平行的定直線(xiàn)，兩個(gè)固定點(diǎn)仍在固定直線(xiàn)的兩側(cè)，此時(shí)需要把一個(gè)固定點(diǎn)通過(guò)平移得到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)代替原來(lái)的點(diǎn)，然后利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”求得最短路徑。第五關(guān)突出了平移在作圖中的作用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用平移與軸對(duì)稱(chēng)找最短路徑。

第六關(guān)：如圖12所示，在銳角[△ABC]中，[AC=7 cm]，[S△ABC=21 cm2]，[AD]平分[∠BAC]，[M]、[N]分別是[AD]和[AB]上的動(dòng)點(diǎn)，求[BM+MN]的最小值并說(shuō)明理由。

生6：根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形，作[N]關(guān)于[AD]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[R]，則[BM+MN=BR]，作[AC]邊上的高[BE]（[E]在[AC]上），根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”得出[BM+MN≥BE]，所以[BE]的長(zhǎng)就是[BM+MN]的最小值。如圖13所示，作[N]關(guān)于[AD]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[R]，[作AC]邊上的高[BE]（[E]在[AC]上），因?yàn)閇AD]平分[∠BAC]，[△ABC]為銳角三角形，所以點(diǎn)[R]必在[AC]上，因?yàn)閇N]關(guān)于[AD]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為[R]，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得[MR=MN]，所以[BM+MN=BM+MR]，根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”得[BM+MN=BR≥BE]，因?yàn)閇S△ABC=21 cm2]，[AC=7 cm]，所以[12×7×BE=21]，解得[BE=6]（cm），所以[BM+MN]的最小值為6 cm。

評(píng)析：本題的數(shù)學(xué)模型是兩動(dòng)點(diǎn)、一定點(diǎn)、兩條定直線(xiàn)。雖然第三關(guān)的問(wèn)題也是兩動(dòng)點(diǎn)、一定點(diǎn)、兩條定直線(xiàn)，但是兩者的不同點(diǎn)在于雙方定點(diǎn)的位置不同，第六關(guān)的定點(diǎn)在其中一條定直線(xiàn)上，而第三關(guān)的定點(diǎn)在兩條定直線(xiàn)之間。雙方所求最小值的目標(biāo)也不同，第六關(guān)求兩條線(xiàn)段和的最小值，第三關(guān)求的是三條線(xiàn)段和的最小值。第六關(guān)顯然是第三關(guān)的升級(jí)版，其底層邏輯是“垂線(xiàn)段最短”，線(xiàn)段公理研究的是兩點(diǎn)之間的最短距離，而“垂線(xiàn)段最短”研究的是點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離。同時(shí)，本題還加入了“角是軸對(duì)稱(chēng)圖形”這一知識(shí)點(diǎn)。

第七關(guān)：如圖14所示，[A]、[B]兩個(gè)工廠(chǎng)位于一段直線(xiàn)形河的兩側(cè)，[A]廠(chǎng)距離河邊[AC=5 km]，[B]廠(chǎng)距離河邊[BD=1 km]，經(jīng)測(cè)量[CD=8 km]，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠(chǎng)[E]。（1）設(shè)[ED=x]，請(qǐng)用[x]的代數(shù)式表示[AE+BE]的長(zhǎng)；（2）為了使兩廠(chǎng)的排污管道最短，污水處理廠(chǎng)[E]的位置應(yīng)怎樣來(lái)確定？此時(shí)需要管道多長(zhǎng)？（3）通過(guò)以上的解答，充分展開(kāi)聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，求代數(shù)式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值。

生7：（1）在Rt[△ACE]中，根據(jù)勾股定理可得[AE=（8-x）2+25]，在Rt[△BDE]中，根據(jù)勾股定理可得[BE=x2+1]，所以[AE+BE=（8-x）2+25+x2+1]。

（2）如圖15所示，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可知，連接[AB]，其與[CD]的交點(diǎn)就是污水處理廠(chǎng)[E′]的位置。過(guò)點(diǎn)[B]作[BF]垂直[AC]的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)[F]，則有[BF=CD=8]，[CF=BD=1]，所以[AF=AC+CF=6]。在[Rt△ABF]中，由勾股定理得[BA=AF2+BF2=62+82=10]，所以最少需要管道1[0 km]。

（3）根據(jù)以上推理，可以構(gòu)造如圖16所示的圖形，設(shè)[ED=x]，[BD=3]，[CD=15]，[AC=5]，點(diǎn)[E]是[CD]上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)[A]、[E]、[B]三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，[AE+EB]的值最小，等于[AB]的長(zhǎng)。在Rt[△ABF]中，[AF=8]，[BF=CD=15]，由勾股定理得[AB=82+152=17]，所以代數(shù)式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值為17。

評(píng)析：這一關(guān)是利用幾何模型解決代數(shù)問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合的典型案例，如何求得定直線(xiàn)兩側(cè)兩定點(diǎn)之間的最短距離，是一件簡(jiǎn)單易行的事，但是利用幾何模型來(lái)求兩個(gè)二次根式和的最小值，卻不是一件容易的事。這一關(guān)解決了如何求兩個(gè)二次根式和的最小值的問(wèn)題，這是本節(jié)課難度最大的一關(guān)。

二、教學(xué)反思

本節(jié)課以“生活情境—數(shù)學(xué)知識(shí)演繹—生活問(wèn)題解決”為路徑進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。

教材只是個(gè)例子，教師在精確把握教材中的重難點(diǎn)內(nèi)容的同時(shí)，要學(xué)會(huì)加工處理教材，為學(xué)生設(shè)計(jì)形式多樣、內(nèi)容新穎的情境，如本節(jié)課自編闖關(guān)游戲來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生解決最短路徑問(wèn)題，逐步化解難點(diǎn)，課程內(nèi)容由易到難、層層遞進(jìn)，注重與基礎(chǔ)知識(shí)的銜接，注重不同知識(shí)點(diǎn)之間的融合，如軸對(duì)稱(chēng)與平移、軸對(duì)稱(chēng)與線(xiàn)段公理、軸對(duì)稱(chēng)與垂線(xiàn)段最短，注重代數(shù)與幾何知識(shí)的融合，使學(xué)生真正掌握解決問(wèn)題的方法。

情境教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)有利于促進(jìn)學(xué)生思維螺旋式上升。本節(jié)課采用情境教學(xué)與任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)相結(jié)合的方法，以學(xué)生的自主探究為主，以學(xué)習(xí)小組的合作交流為輔。在真實(shí)情境下，學(xué)生先思考再討論最后動(dòng)手，手眼腦協(xié)同作業(yè)。在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生培養(yǎng)了綜合分析圖形的能力，思維得以由點(diǎn)到面地進(jìn)行發(fā)散。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 朱華平.最短路徑怎么找［J］.初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2021（29）：34-35.

［2］? 王莉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的理解與路徑探究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（20）：54-56.

［3］? 周濤.任務(wù)驅(qū)動(dòng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（24）：84-85.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）