陣元位置誤差下的嵌套陣列DOA 估計方法

賀 順, 賀小艷, 楊志偉, 孫 兵, 謝永妮

(1. 西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安 710600;2. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071;3. 中國衛(wèi)星海上測控部, 江蘇 江陰 214430)

0 引言

波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理的重要內(nèi)容,被廣泛應(yīng)用于聲納、雷達和無線通信等領(lǐng)域[1-3]。 嵌套陣列是一種經(jīng)典稀疏陣列,通過均勻線陣和稀疏陣列組合的靈活布陣方式,從而提高陣列的自由度和孔徑[4-5]。 然而,在實際工程應(yīng)用中,由于陣元位置誤差不可避免,陣列流型存在一定的偏差或擾動,導致基于嵌套陣列的DOA估計方法性能嚴重惡化甚至失效[6-8]。

陣元位置誤差的校正方法主要分為2 大類:第1 類為自校正方法[9-10],這類方法通過構(gòu)造優(yōu)化函數(shù),聯(lián)合優(yōu)化求解陣元位置誤差和信源方位;第2類是有源校正算法[11-13],通過在空間中人為放置方位已知的校正源實現(xiàn)陣元位置誤差的校正。 文獻[12]在假設(shè)校正源方位已知情況下,提出迭代最大似然校正算法,有效提高角度估計精度。 文獻[13]提出改進的迭代最大似然算法,能夠進一步提高DOA 估計精度,但在小快拍情況下性能不佳。近年來,稀疏重構(gòu)對強噪聲具有良好魯棒性,引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[14-16],同時為陣元位置誤差校正算法提供了新的研究思路。 文獻[17]結(jié)合陣元位置稀疏特性和壓縮感知理論,提出適用于任意陣型的L1-SVD 方法,但存在基不匹配問題,使得陣元位置估計性能下降。 文獻[18]進行Toeplitz 預(yù)處理后,采用優(yōu)化后的核范數(shù)恢復算法得到協(xié)方差矩陣,該方法能夠避免因網(wǎng)格離散化處理產(chǎn)生的基不匹配問題,同時有效提升陣元位置誤差下的DOA 估計性能,但易受陣元位置誤差的影響。

針對上述問題,在嵌套陣列基礎(chǔ)上,本文提出了一種基于陣列流型分離的最小原子范數(shù)DOA 估計方法。 通過單輔助信源估計實際陣元位置,并建立陣元位置誤差情況下嵌套陣列的虛擬域接收信號模型,再利用AMS-ANM 方法分離陣列流型中的位置信息和角度信息,并且求解最小原子范數(shù)問題,最后結(jié)合root-music 方法進行DOA 估計。

1 嵌套陣列信號模型

1.1 理想條件下的信號模型

理想條件下的嵌套陣列結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。 嵌套陣列由2 個均勻線性子陣組成,均勻子陣1 包含N個陣元,陣元間距為d1,均勻子陣2 包含M個陣元,陣元間距為d2=(N+1)d1,其中N和M是整數(shù),d1=d=λ/2 為半波長。

圖1 嵌套陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry structure of nested array

以第一個陣元為參考陣元,陣元位置集合PNA為:

假設(shè)有K個互不相關(guān)的遠場窄帶信號入射到嵌套陣列上,其入射角度為θ=[θ0,θ1,…,θK-1]。 則嵌套陣列接收信號的第l個快拍為:

式中,x(l)= [x0(l),x1(l),…,xN+M-1(l)]T為接收信號矢量;s(l)= [s0(l),s1(l),…,sK-1(l)]T為源信號矢量;A=[a(θ0)a(θ1) …a(θK-1)]為陣列流型矩陣;a(θk)= [ej2πP0cosθk/λ,ej2πP1cosθk/λ,…,ej2πPN+M-1cosθk/λ]T為導向矢量,其中,Pq為集合PNA中第q +1 個元素;n(l) 為高斯白噪聲矢量。

1.2 陣元位置誤差模型

導向矢量可寫為:

式中,°表示Schur-Hadamard 積;Γ(θk) 為陣元位置誤差導致的相位擾動矩陣。

陣元位置誤差下的陣列流型矩陣和接收信號的矢量形式為:

則嵌套陣列L個快拍下接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為:

2 陣元位置誤差校正與DOA 估計

2.1 陣元位置誤差估計

由此可得第q +1 個陣元位置誤差的估計值為:

式中, angle(·) 代表求相位。

通過求解各個陣元位置誤差Δ,可得嵌套陣列實際陣元位置集合為:

2.2 虛擬陣列生成

為了充分利用嵌套陣列自由度優(yōu)勢,對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行向量化操作,得到差分聯(lián)合陣列的接收數(shù)據(jù):

差分聯(lián)合陣列的集合可以表示為:

理想情況下,通過去除重復位置差得到虛擬ULA 位置集合,然而,當陣元位置誤差存在時,集合不存在重復位置差。 因此,針對陣元位置誤差,提出了一種虛擬陣列提取方法,定義虛擬陣列的陣元位置集合C′為:

式中,Δm=min,min{·}表示集合“·”中的最小值。

此時,虛擬陣列的接收數(shù)據(jù)可表示為:

式中,A′=[a′(θ0)a′(θ1) …a′(θK-1)] 是陣元位置集合C′對應(yīng)的陣列流型矩陣,其中a′(θk)=為第k +1 個信號的導向矢量;C′q表示集合C′中第q +1 個元素;I′C為中心元素為1、其余元素為0 的(2Lmax+1)×1 維列向量。

2.3 基于AMS-ANM 的DOA 估計方法

采用Jacobi-Anger 展開公式將陣列流型中的位置誤差信息和角度信息進行分離,從而提取陣列流形A′的范德蒙德結(jié)構(gòu),構(gòu)建原子范數(shù)最小化問題求解角度參數(shù)。

根據(jù)Jacobi-Anger 展開公式:

式中,Jh(r) 是以r為自變量的h階第1 類貝塞爾函數(shù)。

由此,可將a′(θk) 中的第q +1 個數(shù)據(jù)展開:

根據(jù)第1 類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可得,隨著階數(shù)h的增加,Jh(r) 的值迅速衰減為0。 假設(shè)其最大階數(shù)為正整數(shù)H,并且最大階數(shù)的引入所帶來的模型誤差忽略不計。

由式(16)可推出虛擬陣列流型A′為:

式中,

則式(14)可轉(zhuǎn)化為:

定義矩陣形式的原子集合為:

式中,A k代表集合A中的一個原子。 因此,可以定義矩陣Z在集合A上的原子范數(shù)為:

式中, inf ·{ } 表示集合“·”的下確界。

因此,將陣元位置誤差下的嵌套陣列的DOA 估計問題可表示為如下的原子范數(shù)最小化問題:

式中,γ為平衡擬合誤差和原子范數(shù)的正則化參數(shù)。

式(24)所示模型可轉(zhuǎn)換為如下半定規(guī)劃問題:

式中,T(u) 是由向量u =[u0,u1,…,u2H] ∈2H+1構(gòu)成的Toeplitz 矩陣。 根據(jù)文獻[19],式(25)所示的半定規(guī)劃問題,可以由CVX 工具箱求解得到T(u) ,結(jié)合root-music 方法[20]求得θ的估計值。

綜上,陣元位置誤差條件下的嵌套陣列DOA 估計方法具體步驟如下。

輸入: θs , R~s , PNA , R~ , H , I′C , γ ;步驟1:根據(jù)式(9)和式(10)得到P^NA ;步驟2:根據(jù)式(11)得到 Z~co ;步驟3:根據(jù)式(13)和式(14)得到C′和Z′;步驟4:根據(jù)式(18)構(gòu)造矩陣V;步驟5:利用CVX 工具箱求解式(25)得到T(u);步驟6:結(jié)合root-music 方法實現(xiàn)DOA 估計;

3 仿真實驗與結(jié)果分析

對所提AMS-ANM 方法進行性能仿真及性能分析。 陣列結(jié)構(gòu)為二級嵌套陣,其中子陣1 和子陣2的陣元數(shù)均為4,假設(shè)第一個陣元為參考陣元。 仿真實驗中分辨概率和均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)運行結(jié)果均由200 次獨立的蒙特卡羅實驗統(tǒng)計獲得,如無特殊說明,在每次蒙特卡羅實驗中,給陣元位置添加[-0.1λ,0.1λ]的隨機誤差,將正則化參數(shù)設(shè)置為0.15。

3.1 陣元位置估計結(jié)果

設(shè)置單輔助校正源從θs =50°方向入射,信噪比為30 dB,快拍數(shù)為500,假設(shè)陣列所在平面為x-y平面,各陣元僅在x軸方向上存在位置誤差,設(shè)置各陣元位置誤差分別為0,-0.105λ,-0.085λ,0.04λ,0.025λ,-0.08λ,0.055λ,-0.065λ。 對陣元位置的估計結(jié)果如圖2 所示。

圖2 陣元位置估計結(jié)果Fig.2 Estimation results of array element position

由圖2 可知,在輔助信源精確無偏條件下,本文方法估計的陣元位置與實際陣元位置相一致。

3.2 Bessel 函數(shù)的最高階數(shù)的選取

假設(shè)12 個窄帶信號源均勻分布在 [40°,120°] ,信噪比為10 dB,快拍數(shù)為1 000,設(shè)置陣元位置的隨機誤差為[-0.15λ,0.15λ] 。 角度估計均方誤差和運行時間隨最階數(shù)H的變化關(guān)系如圖3所示。

圖3 RMSE 和運行時間隨最高階數(shù)的變化Fig.3 RMSE and running time versus highest order

由圖3 可知,隨著最高階數(shù)H的增大,本文所提方法的角度估計精度提高,但最高階數(shù)超過55 后,增大最高階數(shù)H并不能提高所提方法的估計精度,H的增加反而會導致運算量的負擔。 因此,本文在后續(xù)仿真實驗中,將最高階數(shù)設(shè)置為55。

3.3 分辨概率的比較結(jié)果

為了驗證AMS-ANM 方法對相近的2 個信源的區(qū)分和估計能力,在不同信噪比和角度間隔下,仿真對比L1-SVD 方法[17]和矩陣重構(gòu)[18]方法。 分辨概率隨著信噪比和角度間隔的變化曲線如圖4 和圖5所示。 圖4 中,設(shè)置θ1=40°,θ2=44°,快拍數(shù)為512,將信噪比從-5 dB 變化到20 dB。 圖5 中,固定θ1=40°,θ2與θ1的間隔變化范圍1°~7°,信噪比為15 dB。 如果和都小于,則認為2 個角度被成功分辨。

圖4 分辨概率隨信噪比的變化Fig.4 Resolution probability versus SNR

圖5 分辨概率隨角度間隔的變化Fig.5 Resolution probability versus angular interval

由圖4 和圖5 可知,在固定角度間隔為4°的情況下,由于基不匹配問題,L1-SVD 方法空間分辨率較低,矩陣重構(gòu)方法未完全消除陣元位置誤差的影響導致其分辨率不高,而AMS-ANM 方法通過陣列流型分離技術(shù)避免了陣元位置誤差的影響,總體上優(yōu)于對比算法。 在信噪比為15 dB 和快拍數(shù)為512的情況下,對比方法無法分辨相距較小的信源,而AMS-ANM 方法在角度間隔為2°時,分辨率可達100%。 因而本文方法在不同信噪比和角度間隔下均具有明顯的空間分辨優(yōu)勢。

3.4 RMSE 隨信噪比和快拍數(shù)變化的比較結(jié)果

DOA 估計的均方誤差隨快拍數(shù)和信噪比的變化關(guān)系分別如圖6 和圖7 所示。

圖6 估計精度隨信噪比的變化Fig.6 RMSE versus SNR

圖7 估計精度隨快拍數(shù)的變化Fig.7 RMSE versus snapshot number

圖6 中,設(shè)置2 個信源的入射角分別為40°和75°,快拍數(shù)設(shè)置為512,信噪比從-5 dB 變化到20 dB。 圖7 中,設(shè)置2 個信源的入射角分別為40°和60°,信噪比設(shè)置為15 dB,快拍數(shù)從2 變化到50。

由圖6 和圖7 可知,相比于其他方法,本文所提方法估計性能優(yōu)良,即使在快拍數(shù)和信噪比較低的情況下具有良好的估計性能。

3.5 RMSE 隨陣元位置誤差變化的比較結(jié)果

下面驗證陣元位置誤差情況下的AMS-ANM 方法的估計性能,圖8 表示DOA 估計RMSE 隨陣元位置誤差變化的關(guān)系。 實驗中,設(shè)置10 個窄帶信源號均勻分布在[40°,120°] ,快拍數(shù)為512,信噪比為15 dB,給陣元位置添加[-αλ/2,αλ/2]的隨機誤差,將α從0 變化到0.35。

圖8 估計精度隨陣元位置誤差的變化Fig.8 RMSE versus element position errors

由圖8 可知,在欠定DOA 估計條件下,隨著陣元位置誤差增大,L1-SVD 和矩陣重構(gòu)方法的性能惡化嚴重。 該實驗結(jié)果表明,本文所提AMS-ANM 方法在不同陣元位置誤差下具有魯棒性。 同時,該實驗證明了本文方法可實現(xiàn)欠定信號估計。

4 結(jié)束語

針對嵌套陣列DOA 估計方法在陣元位置誤差條件下性能下降的問題,提出了一種基于陣列流型分離的最小原子范數(shù)DOA 估計方法,通過引入陣列流型分離技術(shù)有效消除陣元位置誤差對嵌套陣列的影響。 仿真實驗表明,相比于現(xiàn)有方法,本文所提方法具有更高的角度分辨率和估計精度,在不同陣元位置誤差情況下,本文算法具有良好的魯棒性,能夠?qū)崿F(xiàn)欠定DOA 精確估計。 然而,所提方法的運算量較大,如何降低運算量還需要進一步的研究。