相位噪聲對數(shù)字陣列波束合成的影響研究

王 璇, 郄錦輝, 李沖霄

(中國電子科技集團公司第五十四研究所, 河北 石家莊 050081)

0 引言

與傳統(tǒng)的模擬相控陣相比,數(shù)字相控陣在多功能一體化、瞬時多波束、高精度波束賦形、動態(tài)范圍和接收靈敏度等功能、性能上有明顯優(yōu)勢[1],因此近些年被越來越廣泛地應(yīng)用于各種通信、雷達與電子對抗系統(tǒng)中[2]。 相位噪聲作為最主要的射頻損傷之一制約著不同系統(tǒng)應(yīng)用的核心性能,對于通信系統(tǒng),積分相位噪聲(Integrated Phase Noise,IPN)影響寬帶通信信號的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR);對于雷達系統(tǒng),強雜波單邊相位噪聲可能會淹沒微弱的目標回波;對于電子對抗系統(tǒng),相位噪聲則直接決定系統(tǒng)的瞬時動態(tài)范圍。 因此,研究相位噪聲在數(shù)字陣列合成中的影響,對于采用數(shù)字相控陣體制的系統(tǒng)應(yīng)用有重要意義。

通過主動利用數(shù)字陣列的可調(diào)節(jié)自由度,結(jié)合分布化器件之間的獨立性,數(shù)字陣列能夠通過去相關(guān)獲得多種系統(tǒng)性能增益[3]。 文獻[4-6]分別驗證了諧波抑制、雜散抑制以及虛假鏡像抑制等系統(tǒng)增益,同時相關(guān)研究驗證了這種陣列合成增益同樣對相位噪聲有效。 文獻[7]分析了多通道采樣器時鐘抖動的合成特性。 文獻[8-9]仿真了相位噪聲合成對誤差矢量幅度(Error Vector Magnitude,EVM)的影響。 文獻[10]驗證了同步本振合成的相位噪聲增益。 大部分研究主要關(guān)注了陣列合成對于性能提升的作用,少部分研究進一步分析了提升所付出的代價。 文獻[11]分析了相位噪聲對陣列方向圖波束指向和副瓣電平的影響。 文獻[12]理論分析了交疊陣列相位噪聲對于干擾抵消器性能的影響。

為了對不同架構(gòu)的數(shù)字陣列進行理論分析和性能評估,需要構(gòu)建一個更完整、高效的分析方法。 基于相位噪聲的統(tǒng)計特性以及實際陣列架構(gòu)的實現(xiàn),通過借鑒陣列激勵誤差所采用的概率方法,引入子陣本振復(fù)用結(jié)構(gòu)差異,以一維均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)為例,理論推導(dǎo)了以相位抖動、子陣劃分以及方位掃描角度為變量的期望功率方向圖和期望SNR 表達式,進一步通過數(shù)值分析更完整地展示了相位噪聲對數(shù)字陣列合成的影響。

1 相位噪聲在數(shù)字陣列中的建模

數(shù)字陣列接收信號的模型可由式(1)表述[13],假定陣列共N個通道,考慮采樣步長為L,共Q個空間源信號[14]。 X 為N×L維接收信號矩陣,A 為N×Q維空間矢量矩陣,S 為Q×L維源矩陣,N0為N×L維噪聲矩陣[15],即:

假定考慮了激勵誤差和相位噪聲的陣列空域濾波N×1 維復(fù)權(quán)值向量由u表示。u的第n個通道權(quán)值表述如下:

式中,an,?n,ξn,δn,?n分別為第n個通道理想的實數(shù)激勵幅度、理想的激勵相位、激勵相對幅度隨機誤差、激勵相位隨機誤差[16]以及相位噪聲誤差[17]。

陣列輸出L個時間點的合成信號如下:

式中,H 為Hermiton 算子;Y 為數(shù)字波束合成(Digital Beam Forming,DBF)后信號,為1×L維向量。

進一步討論式(1)~式(3)所引入的3 種影響性能的因素:熱噪聲N0、幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)以及相位噪聲項exp(j?n)。

N0通常被建模為N行獨立同分布具有零均值的復(fù)高斯隨機向量,即加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)。 自由振蕩的壓控振蕩器的相位噪聲可描述為維納過程,相關(guān)研究通常采用高斯模型建模[11],進而可假定不同通道間相同時刻相位噪聲滿足?n~Ν(0,σ2)[9],反映到陣列合成中的exp(j?n)項為乘性有色的。 加性噪聲以絕對功率能量的形式起作用,在低SNR 場景中為主要矛盾,會限制陣列的接收靈敏度;而乘性噪聲以相對信號能量的形式起作用,在高SNR 的場景中影響較大。 同時由于是有色噪聲,因此一般被定義為相對載波頻率固定頻偏Δf處歸一化到每赫茲帶寬內(nèi)的相對噪聲功率(Spot Phase Noise,SPN)。

在數(shù)學表達式上,相位噪聲項exp(j?n)與幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)中的相位誤差項exp(jδn)有相同的形式,因此可以引入類似的分析方法。 用于分析激勵誤差對陣列性能影響的方法有3 類:蒙特卡羅仿真分析[18]、概率方法[19]和區(qū)間算法[20]。蒙特卡羅仿真對于復(fù)雜陣列結(jié)構(gòu)計算量大,分析效率低,因此主要對比后2 種方法。 基于隨機變量δn和?n的實際物理意義,相位激勵誤差δn是在大量通道單元間服從統(tǒng)計獨立分布的,對于單一通道而言其誤差值是確定且時不變的,同時在理想校準的前提下,校準殘留相位的邊界是由移相步進所限定,而?n則是時變且無法明確限定取值邊界的,更適合引入概率方法[19]進行分析。 在進入理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真前,還需要明確相位噪聲模型的變量σ,以及陣列結(jié)構(gòu)變量k。

為了得到隨機變量?n的方差并方便后續(xù)的推導(dǎo),需要在相位噪聲功率譜密度SPN(f)(dBc/Hz)、IPN(dBc)、均方根相位誤差以及抖動τjitter(10-15s)等幾個等效的量之間完成轉(zhuǎn)化。 通過限定的積分頻偏區(qū)域[Δfmin,Δfmax],通過下式可求解單邊帶的IPN:

圖1 給出了TI 公司寬帶頻率綜合器芯片LMX2595、ADI 公司集成收發(fā)器芯片ADRV9009 以及Xilinx 公司RFSoC 本振源在相應(yīng)載波頻率的SPN(f)曲線。

圖1 集成本振源的相位噪聲相對功率譜密度Fig.1 Phase noise relative power spectral density of integrated local oscillator

根據(jù)芯片所給出的SPN(f)并限定頻偏積分區(qū)間為100 Hz~100 MHz,可計算得到IPN,以及τjitter,計算結(jié)果如表1 所示。 集成芯片的τjitter在幾十到幾百飛秒量級,轉(zhuǎn)化為均方根相位誤差在0.1°~0.7°。

表1 集成本振源IPN 性能Tab.1 IPN performance of integrated local oscillator source

進一步討論積分區(qū)間的貢獻,對于LMX2595 積分區(qū)間從100 Hz~1 kHz 增加到100 Hz~100 MHz,依次計算得到的結(jié)果如表2 所示。 遠端SPN(f)低于-150 dBc/Hz,其對最終τjitter的貢獻可以忽略不計,這意味著在考慮相位噪聲對陣列波束合成的影響時,可以認為陣列滿足窄帶假設(shè),波束合成方向圖在積分區(qū)間保持不變。

表2 LMX2595 不同積分區(qū)間相噪性能對比(9 GHz)Tab.2 Comparison of phase noise performance of LMX2595 in different integration intervals(9 GHz)

完整的陣列相位噪聲模型還需要考慮通道間本振源的相關(guān)性。 引入文獻[2]中以均勻子陣劃分為變量的分析方法,ULA 陣列實際架構(gòu)如圖2 所示,假定通道數(shù)為2K個,每個子陣包含2k個通道,整個陣列的子陣數(shù)為2K-k,子陣內(nèi)部通過射頻與時鐘分配網(wǎng)絡(luò)共用變頻本振和采樣時鐘,子陣間變頻本振和采樣時鐘嚴格同步。

圖2 子陣內(nèi)通道復(fù)用本振源的數(shù)字陣列架構(gòu)Fig.2 Digital array architecture of channel multiplexing local oscillator in subarrays

相應(yīng)考慮陣列第n個通道變頻本振與時鐘所引入的相位噪聲,在不同子陣間?n相互獨立,相同子陣內(nèi)?n完全相關(guān),因此有:

式中,corr(?i,?j)為?i與?j的相關(guān)系數(shù)。

此外,單獨通道相位噪聲方差可能由多個相互獨立的相噪源貢獻,比如圖1 中通道內(nèi)的本振源與時鐘源,可通過得到總的相位噪聲方差,在后面的推導(dǎo)和仿真中只考慮σ2total,不再進行詳細的區(qū)分。

2 引入相噪的陣列SNR 與功率方向圖

基于上面所構(gòu)建的陣列相位噪聲模型,可以進一步推導(dǎo)SNR 和功率方向圖。 完整討論噪聲N0,幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)以及相位噪聲項exp(j?n)超出了所關(guān)注的范圍,因此在后續(xù)推導(dǎo)分析中,僅針對相位噪聲項exp(j?n)求解。 簡化后,ULA 幅度方向圖的頻域F(θ)及時域形式F(t,θ)如下:

式中,Cn為相位梯度;ω為角頻率。

陣列的時域輸入x(t,θ)與輸出信號y(t,θ)如下:

式中,?表示時域卷積;x(t,θ)假定為寬平穩(wěn)復(fù)數(shù)基帶隨機過程。

定義SNR(θ)為理想波束合成輸出功率Pideal(θ)與相位噪聲合成功率Perror(θ)的比值:

式中,E[·]表示數(shù)學期望。 分子理論項yideal(t,θ)與分母誤差項yerror(t,θ)可以通過式(11)的變換得到:

首先推導(dǎo)Pideal(θ),

式中,()?代表復(fù)共軛;期望項為x(t-Cn/ω)的自相關(guān)Rx(γ,θ),γ=(Cn-Cm)/ω。

在頻域進一步簡化式(14)可得:

接下來求解Perror(θ),按式(14)方式展開得到3項求和。 3項分別由來表示。

式中,第1 項即為式(15);第2 項推導(dǎo)得到:

第3 項推導(dǎo)得到式(18),該項即為要求解的功率方向圖與Rx(0,θ)的乘積:

在求解SNR(θ)時,式(12)中分子分母中的Rx(0,θ)會相互抵消,因此在后面的推導(dǎo)中不再考慮該項,利用以?n為變量正余弦函數(shù)的統(tǒng)計量:

以及式(8) 所描述的本振復(fù)用相關(guān)性,可以將Perror(θ)的3 項寫成矩陣形式,以最復(fù)雜的第3 項為例,即矩陣形式的功率方向圖為:

式中,向量G 和D 分別為由式(22)和式(23)給出的1×N維的行向量,且均為θ的函數(shù)。

而M 為N×N維矩陣,利用式(18)~式(20),可得M 中的元素Mi,j為:

通過類似的推導(dǎo)過程,可以得到矩陣形式的Pideal(θ)與Perror(θ)|2,利用式(12)可得到SNR(θ)。其中最重要的情況為波束指向方向的SNR(θB),采用均勻幅度加權(quán),得到:

在接下來的仿真分析中,主要利用本節(jié)得到的SNR(式(25))以及功率方向圖(式(21) ~式(24))針對不同的τjitter以及k值進行分析。

3 不同相噪性能與子陣結(jié)構(gòu)的仿真分析

基于所得到的解析式,以一個K=3,即由23=8 個天線單元及數(shù)字接收通道所構(gòu)成的ULA 陣列進行分析,以討論相位噪聲對陣列波束合成性能的影響。 假定ULA 陣列的工作頻率為10 GHz,并滿足相控陣窄帶假設(shè)(即在相位噪聲積分帶寬內(nèi)方向圖不變),最大掃描角度為90°,對應(yīng)單元間距為15 mm。 假定子陣內(nèi)單元數(shù),即共用本振的單元數(shù)為2k,其中k∈[0,1,2,3],ULA 使用2K-k個獨立本振。 使用抖動τjitter(10-12s)描述IPN 并作為仿真變量在[0.57,3.43,6.3,9.16,12.03]取值。 2 種典型的架構(gòu)為k=3 與k=0:當k=3 時,ULA 共用同一個本振,對應(yīng)的相位噪聲完全相關(guān),可描述為集中化本振;當k=0 時,8 個通道分別使用不同的本振,對應(yīng)的相位噪聲完全獨立,可描述為分布化本振。

首先,使用式(25)分別以2k和τjitter為X軸變量得到的SNR(θB)曲線如圖3 和圖4 所示。 從整體趨勢上來看,k減少對應(yīng)本振去相關(guān)程度的增加,同時獲得SNR 增益,τjitter的增加對應(yīng)SNR 惡化。

圖3 本振分布化對應(yīng)的陣列SNR 曲線Fig.3 Array SNR curve corresponding to local oscillator distribution

在圖3 以SNR=13.5 dB 繪制一條直線,該直線同τjitter=6.3×10-12s以及τjitter=3.43×10-12s 分別相交于k=1(對應(yīng)子陣包含2 個共用本振通道)與k=3(對應(yīng)子陣包含8 個共用本振通道)點,這意味著采用低性能分布化本振,能夠?qū)崿F(xiàn)與集中化高性能本振相同的整陣SNR 性能,這也是文獻[1]所分析的數(shù)字陣列分布化所帶來的主要優(yōu)勢之一。

圖4 中標出了τjitter=0. 57×10-12s 以及τjitter=12.03×10-12s 不同k值下的SNR 數(shù)值。 對于τjitter=0.57×10-12s,本振逐漸分布化所帶來的SNR 增益為3 dB,而隨著τjitter增加,分布化所帶來的SNR 增益會降低,因此對于相位噪聲較差的鏈路,分布化所帶來的SNR 增益會低于預(yù)期。

圖4 抖動增加對應(yīng)的陣列SNR 曲線Fig.4 Array SNR curve corresponding to increased jitter

使用式(21)可以得到圖5 和圖6 所示的波束指向法線方向時的陣列合成歸一化功率Pnorm(θ)方向圖的期望曲線。 整體上,隨著本振分布化以及τjitter(θ)量增加,Pnorm(θ)畸變程度增加,主要體現(xiàn)在主波束增益下降、幅瓣電平抬高及零深回填。

圖5 抖動增加對分布化陣列Pnorm(θ)的影響Fig.5 Effect of increased jitter on distributed arrays Pnorm(θ)

圖6 分布化對陣列Pnorm(θ)的影響(τjitter=6.3×10-12s)Fig.6 Effect of distribution on array Pnorm(θ)(τjitter=6.3×10-12s)

集中化本振與理想Pnorm(θ)重合是由于相位噪聲帶來的瞬時抖動會同時作用于所有通道,不會造成通道間相對與理想激勵相位梯度的相位偏差,因此不會造成的Pnorm(θ)的變化。 相互獨立的相位噪聲合成在數(shù)學建模形式上等同于激勵相位誤差,如果相位誤差同相位噪聲有相同的均值和方差,那么得到的Pnorm(θ)與分布化本振情況完全相同,但二者的實際物理含義和對系統(tǒng)的影響并不相同。 激勵相位誤差可認為是靜態(tài)的,反復(fù)測試得到的Pnorm(θ)是相同的,而相位噪聲所導(dǎo)致的相位抖動是動態(tài)的,得到的Pnorm(θ)是數(shù)學期望,在某些狀態(tài)下副瓣電平有可能超出Pnorm(θ)所得到的期望曲線[19],同時所對應(yīng)的掃描角度在理想方向圖中可能對應(yīng)副瓣也可能對應(yīng)零點。

直覺上,由于分布化所導(dǎo)致的法線增益惡化與SNR 提升相互矛盾,實際上對比所定義的Pnorm(θ)表達式(21)與SNR 表達式(12)可知,法線功率增益惡化是相對于空域濾波所接收到的外界噪聲以及系統(tǒng)所引入的加性熱噪聲而言,而式(12)所定義的是針對相位噪聲所導(dǎo)致的SNR 惡化,二者并不矛盾。

注意圖6 中,k= 1(2 通道共用),τjitter= 6. 3×10-12s 所造成的零深回填并沒有發(fā)生在所有零點,這同圖2 所示的本振共用結(jié)構(gòu)有關(guān)[9]。 使用a,b,c,d 分別來表示ULA 所使用的4 個獨立本振,圖4所采用的8 通道本振復(fù)用排列結(jié)構(gòu)為‘a(chǎn)abbccdd’,即臨近單元共用本振。 圖5 顯示了另外4 種本振復(fù)用排列結(jié)構(gòu)所得到的Pnorm(θ)對比,4 種結(jié)構(gòu)分別為:‘a(chǎn)babcdcd’ ‘a(chǎn)bcdabcd’ ‘a(chǎn)bcddcba’ ‘a(chǎn)bbacddc’,不同結(jié)構(gòu)對應(yīng)了式(21)與式(24)中M 矩陣內(nèi)等于1 元素位置的不同。 對于無幅度加權(quán)的掃描指向,式(22)向量單元全為1,式(23)向量單元全為0,因此由式(21)掃描方向E[F(θB)2]的值為M矩陣所有元素求和,因此復(fù)用結(jié)構(gòu)的變化并不會影響掃描指向的功率增益;而空間調(diào)零的實現(xiàn)基于該方向來波信號到達不同陣列單元的相位反向,當存在相位噪聲導(dǎo)致的相位誤差時,這種反相抵消條件被破壞,導(dǎo)致調(diào)零回填,相關(guān)單元間抵消所產(chǎn)生的調(diào)零點受到的影響較小。 為了更好地顯示不同結(jié)構(gòu)對零深回填的影響,圖7 仿真分析采用波束指向θB=-40°方向。

圖7 不同本振復(fù)用結(jié)構(gòu)對零深回填位置的影響Fig.7 Influence of different local oscillator multiplexing structures on nulling filling position

為了進一步分析相位噪聲對陣列抗干擾的影響,依然保持θB=-40°波束指向角度,對陣列引入副瓣抑制30 dBc 的切比雪夫幅度加權(quán),同時使用文獻[22]所采用的空間調(diào)零方法在θ=29°引入調(diào)零點。

分布化本振結(jié)構(gòu)不同抖動性能下的零深回填如圖8 所示。 如果采用分布式的本振,即便是τjitter=3.43×10-12s 的相位噪聲性能指標,也會導(dǎo)致副瓣性能的嚴重惡化,理論上-30 dBc 的副瓣抑制度惡化為只有-20 dBc。

圖8 分布化本振結(jié)構(gòu)不同抖動性能下的零深回填Fig.8 Nulling filling under different jitter performance of distributed local oscillator structure

不同本振復(fù)用結(jié)構(gòu)對零深的影響如圖9 所示,τjitter=6.3×10-12s 從集中化到部分相關(guān)再到分布化的過程中,零深從理論上的大于-50 dBc 最終惡化到-20 dBc。

圖9 不同本振復(fù)用結(jié)構(gòu)對零深的影響Fig.9 Effect of different local oscillator multiplexing structures on nulling

表3 以二維矩陣的形式給出了不同分布化程度(即不同k值)和抖動性能下θ= 29°的調(diào)零深度變化。

表3 相位噪聲合成后陣列的調(diào)零零深Tab.3 Nulling depth of array after phase noise synthesis

數(shù)字陣列的優(yōu)勢之一是能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的幅相控制,從而實現(xiàn)高精度的波束指向和干擾抑制。 綜合上述仿真分析可知,相位噪聲均值為0 的特性不會影響波束指向,但對于干擾抑制的性能影響較大。 要充分發(fā)揮數(shù)字陣列高精度幅度加權(quán)、干擾調(diào)零乃至波束賦形等性能,需要合理地設(shè)計本振乃至時鐘分配網(wǎng)絡(luò),在空域特性和時頻域特性之間進行折衷考量。

4 結(jié)束語

構(gòu)建了基于概率建模的相位噪聲對DBF 陣列性能影響的分析方法,與蒙特卡羅仿真方法相比,采用理論推導(dǎo)得到的SNR 與功率方向圖閉式表達式進行性能評估要更高效,特別是對于復(fù)雜的陣列結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)建模。 為了簡化討論過程,主要針對ULA和相位噪聲這一單一射頻損傷進行了論述,但所構(gòu)建的方法并不限于此,能夠進一步擴展到二維掃描陣列,并能夠適用于同時考慮幅相激勵、空間誤差、熱噪聲及量化噪聲的情況,因此對于采用數(shù)字相控陣體制的系統(tǒng)設(shè)計與評估具有一定實用價值。