兩道導(dǎo)數(shù)姊妹真題的命題立意與變式探究

湖南省長沙市雷鋒學(xué)校(410217)童繼稀

一、試題呈現(xiàn)

例1(2019年高考全國Ⅱ卷理科第20 題)已知函數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;

(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點,證明曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

例2(2019年高考全國Ⅱ卷文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:

(1)f(x)存在唯一的極值點;

(2)f(x)=0 有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).

這是兩道由同一函數(shù)不同性質(zhì)所命出的姊妹題,涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性,極值點與零點等問題.雖解題思路常規(guī)清晰,解決方法多途徑,運算量沒想象中的大,但對學(xué)生的思維能力要求較高,著重考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

二、命題立意

從這兩個題的情境來看,都是圍繞著函數(shù)的零點在討論,是常規(guī)題型.不難發(fā)現(xiàn)例2 中的函數(shù)f(x)是例1 中函數(shù)f(x)的變形,從兩題第(2)問的設(shè)問來看,函數(shù)的零點有兩個特殊性質(zhì),其一是兩個零點互為倒數(shù),其二是曲線y=lnx在點x=x0處的切線也是曲線y=ex的切線,即公切線.

我們先從函數(shù)y=ex與y=lnx的公切線l開始討論.

設(shè)曲線y=lnx的切點為A(x1,lnx1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線l的斜率為,則切線l的方程為即.設(shè)曲線y=ex的切點為同理可得切線l的方程為從而,根據(jù)待定系數(shù)法建立關(guān)于x1,x2的方程組

消去x2可得(x1-1)lnx1-(x1+1)=0,即則x1為函數(shù)的零點,從而可得題例1.又函數(shù)y=lnx與都滿足性質(zhì)則x1與都為函數(shù)g1(x)的零點,再將函數(shù)g1(x)變形為h1(x)=(x-1)lnx-x-1,零點不變,從而可得題例2.

三、變式探究

若將方程組(?)消去x1,可得(x2-1)ex2-(x2+1)=0,即,則x2為函數(shù)的零點.又函數(shù)y=ex與滿足性質(zhì)則x2與-x2都為函數(shù)g2(x)的零點,再將函數(shù)g2(x)變形為h2(x)=(x-1)ex-x-1,零點不變.同理,可得以下兩道變式題:

變式1已知函數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;

(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點,證明曲線y=ex在點A(x0,ex0)處的切線也是曲線y=lnx的切線.

綜上,f(x)有且僅有兩個零點.

變式2已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-x-1.證明:

(1)f(x)存在唯一的極值點;

(2)f(x)=0 有且僅有兩個實根,且兩個實根互為相反數(shù).

解析(1)由題意可得,f(x)的定義域為(-∞,+∞),且f＇(x)=xex -1.易知當(dāng)x ∈(-∞,0]時,f＇(x)<0; 當(dāng)x ∈(0,+∞)時,顯然f＇(x)單調(diào)遞增,又f＇(0)=-1<0,f＇(1)=e-1>0,則存在唯一x0∈(0,1),使得f＇(x0)=0.從而,當(dāng)x < x0時,f＇(x0)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x > x0時,f＇(x0)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故f(x)存在唯一的極值點.

(2)由(1)知,f(x0)0,f(-2)=-3e-2+1>0,則f(x)=0 在(x0,2)內(nèi)存在唯一實根,記作x=α,且在(-2,x0)內(nèi)也存在唯一實根.由可得-α也是方程f(x)=0 的根.

綜上,f(x)=0 有且僅有兩個實根,且二者為相反數(shù).

圖1

換一個角度,曲線y=ex上點關(guān)于y=x對稱的點為即在曲線y=lnx上; 同理曲線y=lnx上點(x0,lnx0)關(guān)于y=x對稱的點在曲線y=ex上.因此,變式1 與變式2 可以理解成是將例1 與例2 中的lnx對稱替換為ex.同時,我們還可以得到一道有關(guān)這三個函數(shù)圖象的交點關(guān)系的變式題:

變式3(長沙市2023年適應(yīng)性考試第11 題)已知函數(shù)的圖象相交于A,B兩點,與y=lnx的圖象相交于C,D兩點,若A,B,C,D四點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,且x1

A.x1+x2=0 B.x3x4=1 C.x1lnx3=1 D.x4ex1=1

從函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1 與f(x)=(x-1)exx-1 的圖象(如圖2)看,可知它們的極值點都是偏移的,借助函數(shù)模型f(x)=(x-1)ex-x-1,我們可得以下有關(guān)極值點偏移的題:

圖2

變式4已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-x-1.證明:

(1)f(x)存在唯一的極值點;

(2)若實數(shù)x1,x2滿足f(x1)=f(x2),證明:

可知g(x)在(x0,+∞)單調(diào)遞增,則g(x)> g(x0)=0 恒成立.故f(x2)>f(2x0-x2),命題得證.

通過幾何畫板作圖演示(如圖3),將變式4 中函數(shù)的后兩項乘以正參數(shù)a,結(jié)論還是成立.結(jié)合分類討論思想,不防將a設(shè)置為實數(shù)作為第(1)問來討論,從而可得以下問題:

圖3

變式5已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax-a.

(1)討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù);

(2)當(dāng)a >0 時,若實數(shù)x1,x2滿足f(x1)=f(x2),證明:.

解析(1)由題意可得,f(x)的定義域為(-∞,+∞),且f＇(x)=xex -a.設(shè)g(x)=f＇(x),由g＇(x)=(x+1)ex,可知g(x)在(-∞,-1)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增,且+∞.

當(dāng)a >0 時,f＇(0)=-a <0,f＇(a)=a(ea -1)>0,存在唯一x0∈(0,a),使得f＇(x0)=0.當(dāng)x < x0時,f＇(x0)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x > x0時,f＇(x0)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則f(x)存在唯一的極值點x0.同理,當(dāng)a=0 時,f(x)存在唯一的極值點;當(dāng)時,f(x)存在兩個極值點;當(dāng)時,f(x)無極值點.

可知g(x)在(x0,+∞)單調(diào)遞增,則g(x)> g(x0)=0 恒成立.故f(x2)>f(2x0-x2),命題得證.

對于函數(shù)模型f(x)=(x-1)lnx-x-1 也有類似的結(jié)論,但過程相對更加復(fù)雜,本文不做討論,留給讀者嘗試.