2022年全國高考數(shù)學“函數(shù)與導數(shù)”試題研究

佛山市禪城區(qū)教育發(fā)展中心教學研究室(528000)曾庚平

1 問題提出

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和變化規(guī)律的數(shù)學語言和工具,在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用.現(xiàn)行的數(shù)學課程標準將函數(shù)作為四條主線之一,并貫穿必修和選擇性必修課程,其中在必修部分教授函數(shù)的概念與性質、基本初等函數(shù)、函數(shù)的應用,在選擇性必修部分教授數(shù)列、一元函數(shù)的導數(shù)及其應用(本文不研究數(shù)列試題)[1].在歷年高考題中,函數(shù)與導數(shù)都是重要的考查內容,以函數(shù)與導數(shù)試題來考查學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

本文以2022年4 份(新高考Ⅰ卷,新高考Ⅱ卷,全國甲卷理科,全國乙卷理科)全國高考數(shù)學卷中的函數(shù)與導數(shù)試題為例(不研究數(shù)列試題),從課標中體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的兩個方面——情境與問題、知識與技能[1]進行分析,探討其中考查的核心素養(yǎng)和數(shù)學思想.本文擬討論的問題如下:(1)試題中考查的情境與問題、知識與技能有什么特點?(2)試題主要考查哪種數(shù)學素養(yǎng)?(3)試題蘊含哪些數(shù)學思想?

2 選填題分析

2.1 整體分析

從情境與問題、知識與技能、核心素養(yǎng)與數(shù)學思想四個方面對函數(shù)與導數(shù)選擇填空題進行分析,結果如表1所示.

表1 2022年4 份試卷中函數(shù)與導數(shù)選填題考查分析表

由表1 可知,新高考Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)考查的力度最大,直接考查的試題有5 題,與立體幾何結合的有1 題,合計6 題,甲卷理數(shù)其次,考查4 道題,其余兩套卷均考查3 道題.所有試題均為數(shù)學情境,但是問題的呈現(xiàn)形式非常豐富,既有具體函數(shù)圖象與性質的研究,也有抽象函數(shù)性質的探索,還有通過對數(shù)量關系和圖形關系的分析,構造函數(shù)模型,通過研究函數(shù)性質,解決相關問題.對三角函數(shù)的考查既關注三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調性、最值、零點等傳統(tǒng)知識,也嘗試從三角函數(shù)的切線,重要的三角函數(shù)不等式等新的視角.由于函數(shù)與導數(shù)包含的知識點眾多,所以多數(shù)試題都是多個知識點聯(lián)系在一起進行考查,體現(xiàn)綜合性,如新高考Ⅰ卷第15 題在考查函數(shù)切線的同時考查導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值等.函數(shù)導數(shù)試題還突出體現(xiàn)創(chuàng)新性和選拔性的要求.

函數(shù)導數(shù)突出的是模型思想,通過對現(xiàn)實問題和數(shù)學問題數(shù)量和數(shù)量關系的觀察、歸納、概括,抽象出函數(shù)模型,再通過邏輯推理和數(shù)學運算研究函數(shù),從而解決實際問題或數(shù)學問題.比如題目中涉及的比較數(shù)的大小問題,要求學生能夠從具體表達式中抽象出一般規(guī)律和結構,構造相應的函數(shù)模型,從而解決問題.

2.2 例題分析

選取2 道選擇題進行深入分析.

例1(2022年新高考Ⅱ卷第8 題)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=( )

A.-3B.-2C.0D.1

本題以抽象函數(shù)為載體,考查對函數(shù)概念的理解,函數(shù)性質的研究,主要考查邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng).對函數(shù)概念的理解不是記住函數(shù)定義域的言語表達,而是要抓住函數(shù)概念的本質,把握三要素的關系,理解函數(shù)符合的含義.對函數(shù)性質要抓住性質的本質,既能從圖象直觀判斷性質,又能根據(jù)解析式研究性質,還要能基于函數(shù)滿足的等量關系研究抽象函數(shù)性質.本題要求考生充分理解f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),通過恰當賦值,推斷出函數(shù)f(x)的奇偶性和周期性,將求和問題轉化為求一個周期內的六個函數(shù)值f(1),f(2),···,f(6),解題思路如圖1所示:

圖1

例2(2022年新高考Ⅰ卷第7 題)設a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,則( )

A.a

本題給定三個無法直接計算數(shù)值的表達式,需要考生認真分析其中隱含的特征和規(guī)律,抽象函數(shù)模型,用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,實現(xiàn)對數(shù)值大小的比較,考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)綜合性和創(chuàng)新性.

本題要求學生能夠透過現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)本質,將三個看似毫無關聯(lián)的表達式聯(lián)系起來.實際上,a=0.1e0.1,,所以這些表達式都與0.1 有關,可以看成某個函數(shù)在0.1 處的函數(shù)值,因此,我們可以構造恰當函數(shù),轉化為研究函數(shù)單調性,來解決問題.當然構造的函數(shù)不同會導致研究過程的復雜程度差異巨大,這又進一步考查學生思維的靈活性和批判性.比如對于a,b的比較,構造函數(shù)有以下選擇:f3(x)=(1-x)ex -1,0< x <1,此外,由lna-lnb=0.1 + ln 0.1 + ln 9=-(-0.1)+ ln(1-0.1),還可以構造f4(x)=ln(1+x)-x,-1< x <0.不難發(fā)現(xiàn),研究f4(x)是最簡單的,其本質就是切線不等式lnx≤x-1,由此不但能判斷a < b,由還可判斷出b > c.由a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1),再構造函數(shù)g(x)=xex+ln(1-x)(0

從上述兩道題目看,與往年試題相比,2022年函數(shù)與導數(shù)選填題更加重視對數(shù)學抽象和邏輯推理學科素養(yǎng)的考查,加強對思維品質的考查,強調獨立思考能力和創(chuàng)新意識.

3 解答題分析

3.1 整體分析

對四份試卷中函數(shù)與導數(shù)解答題的考查情況進行分析,結果如表2所示.

表2 2022年4 份試卷中函數(shù)與導數(shù)解答題考查分析表

由表2 可知,每份試卷的函數(shù)導數(shù)解答題都處于壓軸題的位置,四道題的函數(shù)載體均為含lnx,ex的函數(shù),且都帶有參數(shù),情境載體常規(guī)不復雜,設問方式上則獨具匠心,構思巧妙,在傳承中創(chuàng)新,于平淡中見奇.新高考Ⅰ卷考查常見函數(shù)f(x)=ex -x,g(x)=x-lnx,它們滿足性質f(lnx)=g(x)(x>0),g(ex)=f(x),命題者抓住這種“對偶”性質,探究f(x)-b,g(x)-b零點的個數(shù)與數(shù)量關系,設問巧妙地與數(shù)列知識結合.新高考Ⅱ卷考查恒成立問題確定參數(shù)范圍,同時為第(3)問數(shù)列型不等式的證明提供放縮的方向.甲卷理數(shù)要證明的是一個函數(shù)的兩個零點滿足的雙變量不等式,這類問題最早可以追溯到2010年高考天津卷理科第21 題,在2016年課標Ⅰ卷理科第21 題,2021年新高考Ⅰ卷理科第22 題都曾考查過,這些題目都證明兩根之和的不等式,但是本題要證明的是兩個零點乘積的不等式,并且函數(shù)形式有所創(chuàng)新,所以提出的問題跨度更大,挑戰(zhàn)性更高,需要學生深入思考和探究.

函數(shù)不僅僅是高中階段重要的數(shù)學內容,也是大學數(shù)學及其它相關學科的基礎,是初等數(shù)學和高等數(shù)學聯(lián)系的橋梁.所以高考數(shù)學重視通過導數(shù)試題考查學生的創(chuàng)新能力,以達到區(qū)分和選拔的目的[2].四道題著重考查運用導數(shù)工具研究函數(shù)性質的能力,鼓勵學生打破常規(guī)、多角度、創(chuàng)造性地解決問題,突出考查數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程等思想.

3.2 例題分析

下面選取2 道解答題進行深入分析.

例3(2022年新高考Ⅰ卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

本題以兩個簡單含參函數(shù)為載體考查學生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化化歸等思想,體現(xiàn)綜合性和創(chuàng)新性的要求.本題體現(xiàn)了高考命題中“低起點、多層次、高落差、重本質”的特點,大多數(shù)考生都容易入手,求得兩個函數(shù)的最小值,并聚焦到解方程接著,對理性思維的考查逐步提高,要在函數(shù)與方程思想的引領下,轉化為研究函數(shù)第(2)問突出體現(xiàn)研究函數(shù)的一般方法,即先研究部分性質(主要是單調性),畫出兩個函數(shù)的大致圖象,獲得問題解決的思路,然后再進行嚴密的代數(shù)推理,整個問題強調圖形直觀與代數(shù)推理的融合,解題思路如圖2所示.

圖2

例4(2022年高考全國甲卷理科第21 題)已知函數(shù)．

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1．

x >1 形式復雜,證明的難度較大.如果能關注到ex-lnx,將f(x)看成y=et+t-a與t=x-lnx的復合函數(shù),那么結合y=et+t-a的單調性,已知條件化簡為x1-lnx1=x2-lnx2.所以,原題轉化為已知h(x)=x-lnx,且h(x1)=h(x2),x1x2,證明x1x2<1,從而大大簡化解答過程.轉化的關鍵是應用同構的思想,即根據(jù)式子的特征,將結構不同的代數(shù)式化為結構相同的代數(shù)式,發(fā)現(xiàn)本質,簡化解答.同構變形的基礎是兩個重要的恒等式a=elna(a>0)和a=ln ea,以及常見函數(shù)模型,如本題中涉及的y=ex+x和y=x-lnx.

4 教學啟示

高考評價體系下高考數(shù)學考查內容和命題方式在不斷變化,強調對學科素養(yǎng)和關鍵能力的考查,2022年高考函數(shù)與導數(shù)試題都是設置數(shù)學情境,給出載體熟悉且簡潔,提問方式多樣且新穎,試題對理性思維和數(shù)學探究的考查更加深入,更加強調知識的融會貫通,更加體現(xiàn)創(chuàng)新性和選拔性的要求.基于上述分析,得出以下幾點教學啟示.

4.1 立足基本概念的理解

數(shù)學概念是構成數(shù)學大廈的基礎,是形成數(shù)學知識體系的基本要素,是進行數(shù)學思維的細胞.在函數(shù)與導數(shù)這一板塊,有很多重要的數(shù)學概念:函數(shù)的概念(定義域、值域、對應法則、表示方法)、函數(shù)的性質(奇偶性、單調性、最值、對稱性、周期性)、函數(shù)零點、導數(shù)、極值點、不等式恒成立、不等式能成立,這些概念都比較抽象,符號化表征.在復習備考中首先要讓學生深刻理解重要概念,把握概念內涵,理解概念的多元表征,建立概念之間的聯(lián)系,才能更好地分析問題和解決問題.如:

函數(shù)的零點的學習要點:深刻領悟零點的概念、零點存在性定理以及函數(shù)零點與方程的根的等價轉化關系,讓學生在解決問題中能靈活轉化,化繁為簡.

函數(shù)的導數(shù)的學習要點:導數(shù)就是瞬時變化率,是切線的斜率;導數(shù)的正負可以判斷原函數(shù)的單調性,進而研究極值、最值、畫出函數(shù)圖象的示意圖等;導數(shù)絕對值的大小可以反映圖象的變化快慢;導數(shù)本身也是一個函數(shù),是函數(shù)圖象的斜率關于自變量的函數(shù).

函數(shù)的圖象的學習要點:數(shù)形結合是函數(shù)與導數(shù)中蘊含的數(shù)學思想,一方面學生要能結合基本初等函數(shù)的圖象和圖象變換的相關知識畫圖,識圖,根據(jù)圖象判斷函數(shù)性質,根據(jù)圖象獲得解決問題的直觀思路;另一方面對于一些陌生函數(shù),能先研究函數(shù)的定義域、奇偶性、單調性、特殊點和特征線等,根據(jù)上述性質畫出函數(shù)草圖,并進一步解決方程與不等式問題、恒成立與能成立問題等.

4.2 重視基本模型的研究

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)是常見的基本初等函數(shù),是刻畫現(xiàn)實生活中某一類具體的變化的模型,由這些簡單的函數(shù)適當組合、推陳出新,就可以構建令人耳目一新的函數(shù)形式,所以在復習中要引導學生研究常見的函數(shù)模型,比如通過對三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的研究,體會導數(shù)在研究函數(shù)性質的強大作用.在此基礎上,讓學生進一步研究以下常見模型通過對這些函數(shù)的研究總結歸納導數(shù)研究函數(shù)的一般方法,體會函數(shù)載體在變而研究方法不變的思想.掌握常見函數(shù)模型的性質,在面對復雜函數(shù)的時候就能撥云見日,化繁為簡,化生為熟,直擊本質.

4.3 強調一般方法的引領

研究函數(shù)的一般方法強調幾何直觀與代數(shù)推理的融合,即面對一個函數(shù)時,先根據(jù)其解析式推斷出部分性質,再根據(jù)性質畫出函數(shù)的大致圖象,結合圖象獲得問題解決的直觀思路,最后再進行嚴密的代數(shù)推理,保證思維的嚴謹性,整個過程可以用圖3 表示.

圖3

導數(shù)是研究函數(shù)性質的利器,能定量刻畫函數(shù)的變化,用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性、凹凸性、極值、最值、拐點等.導數(shù)內容博大精深,變化無窮,與導數(shù)相關的問題在呈現(xiàn)方式和設問方式必然不斷創(chuàng)新.教學時要避免題型套路的直接灌輸,避免囫圇吞棗式的機械套用,要強調導數(shù)概念本質的理解,抓住導數(shù)與單調性的關系這一核心,在一般方法的引領下,面對新穎或陌生的問題情境,讓學生主動思考,積極探索,大膽嘗試.

4.4 深化數(shù)學思想的滲透

數(shù)學思想是自然而平和的,它是揭示本源性問題的一個很平常、很自然的思考過程[3].轉化化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類討論是解決函數(shù)與導數(shù)問題的重要數(shù)學思想.問題解決的過程就是一個不斷轉化和化歸的過程:化陌生為熟悉、化繁雜為簡單、化未知為已知.數(shù)形結合強調將“形”的直觀與“數(shù)”的嚴謹相結合,即利用“形”的直觀,“看”出思路,再發(fā)揮“數(shù)”的嚴謹,“寫”出過程.函數(shù)與方程是分析實際問題數(shù)量關系、解決實際問題的兩種重要模型,根據(jù)兩者的關系,函數(shù)與方程可以相互轉化.分類討論是由于參數(shù)的影響,導致不能以統(tǒng)一的方式處理或者以同一種形式表達,從而需要根據(jù)參數(shù)不同的取值分情況研究.所以在教學中要注重數(shù)學思想方法的提煉,讓學生能自覺應用數(shù)學思想分析問題和解決問題.