2023屆河北高三聯(lián)考解幾問題的探究及推廣

江蘇省興化市楚水實驗學校(225700)袁小強 蔣愛國

問題(2023 屆河北高三11 月份聯(lián)考第21 題)已知A(-1,0),B(1,0),動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3.記動點C的軌跡為E.

(1)求E的方程;

(2)過點(2,0)作直線l1交E于P,Q兩點(P,Q在y軸兩側(cè)),過原點O作直線l1的平行線l2交E于M,N兩點(M,N在y軸兩側(cè)),試問是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

答案:(1)E的方程:為定值2.

結(jié)論1已知雙曲線E:過右焦點F1作直線l1交E于P,Q兩點(P,Q在y軸兩側(cè)),過原點O作直線l1的平行線l2交E于M,N兩點(M,N在y軸兩側(cè)),則.

注由對稱性可知,過左焦點亦可.

證明顯然直線l1斜率不為零,設(shè)直線l1:x=my+c,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則l2:x=my,設(shè)M(x0,y0),l1與雙曲線聯(lián)立,得(b2m2-a2)y2+2b2cmx+b4=0,所以

結(jié)論2已知橢圓E:過右焦點F1(或左焦點F2)作直線l1交E于P,Q兩點,過原點O作直線l1的平行線l2交E于M,N兩點,則.(證明過程與結(jié)論1 類似)

結(jié)論3如圖,已知橢圓E:的左頂點為A,過右焦點F作直線l1交E于P,Q兩點,過原點O作直線l1的平行線l2交E于M,N兩點,過點A作直線l1的平行線交E于另一點B,交y軸于C,則.

結(jié)論4已知雙曲線E:左頂點(或右頂點)為A,過右焦點F1作直線l1交E于P,Q兩點(P,Q在y軸兩側(cè)),過原點O作直線l1的平行線l2交E于M,N兩點(M,N在y軸兩側(cè)),過點A作直線l1的平行線交E于另一點B,交y軸于C,則.(證明過程與結(jié)論3 類似)

結(jié)論5已知橢圓E:過原點O作直線l1交E于M,N兩點,作l1的平行線l交E于P,Q兩點,若則直線l恒過橢圓的焦點.

證明顯然直線l1斜率不為零,設(shè)直線l1:x=my,則l2:x=my+n,設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由l1與橢圓聯(lián)立,得于是

化簡得n=±c,故直線l恒過橢圓的焦點.

結(jié)論6已知雙曲線E:過原點O作直線l1交E于M,N兩點,作l1的平行線l交E于P,Q兩點,若則直線l恒過雙曲線的焦點.(證明過程與結(jié)論5 類似)