數(shù)學解題過程的關鍵:問題轉(zhuǎn)化
——基于一類含根式的二元函數(shù)最值問題的思考

湖北省武漢市華中科技大學同濟附中(430030)孔令磊

一.引言

數(shù)學教育家G.波利亞把數(shù)學解題過程分解為“弄清問題”“擬定計劃”“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”四個步驟,其中“擬定計劃”的分析是最引人入勝的.他指出,解題的價值不是答案本身,而在于弄清“是怎樣想到這個解法的? ”“是什么促使你這樣想這么做? ”這就是說問題轉(zhuǎn)化是解題過程的關鍵,那么如何轉(zhuǎn)化? 為什么可以這樣轉(zhuǎn)化? 當學生思維受阻、遇到困難時,最希望了解的也是求解過程的來龍去脈.把問題轉(zhuǎn)化的思維過程暴露出來,才能達到學生數(shù)學解題的目的.

二.案例

題目1已知正實數(shù)a,b滿足則的最小值為____.

題目2已知實數(shù)a >1,b >2,則的最小值為____.

(一)類比聯(lián)想助轉(zhuǎn)化

觀察題目1 和題目2 的條件和結(jié)論,聯(lián)想到以下兩道最值問題:

題目3已知正實數(shù)a,b滿足,則ma+nb的最小值為____.(其中m,n均為正常數(shù))

題目4已知實數(shù)a,b滿足a+b>1,則的最小值為____.

其中,題目3 的求解就是常說的“1 的代換”,可利用基本不等式或者柯西不等式求最值;題目4 的求解就是將a+b看作整體,把問題化為常說的“二次除以一次”型分式的最值問題.因此,要解決題目1 和題目2,去掉惱人的根號是關鍵,尋求通過放縮,用a,b的線性式子來取代根式.

1.利用柯西不等式放縮去根號

以題目1 的分析與解為例.

2.利用切線放縮去根號

(二)換元代換助轉(zhuǎn)化

對于結(jié)構(gòu)復雜的問題,換元、代換等方法是將問題轉(zhuǎn)化的常用方法.處理含根式的式子,經(jīng)常考慮三角換元和整體代換.

1.三角換元去根號

以題目1 的分析與解為例.

記

則

2.整體換元處理根號

以題目2 的分析與解為例.

分析分母中含有根式給問題研究帶來極大的困難,考慮將分母中每個部分的根式進行整體換元.

是上式取等號.故待求式的最小值為6.

評注上述解法在式子的變形過程中,應用到兩次重要不等式(即a2+b2≥2ab)尋得最小值.事實上,也可以利用柯西不等式,得到還可以利用三角不等式,得到從而有(x+y)2+9.

(三)數(shù)形結(jié)合助轉(zhuǎn)化

含根式的代數(shù)問題,具備某些幾何特征,由數(shù)到形,利用圖形的直觀性開拓解題思路.

1.結(jié)合距離處理根式

以題目1 的分析與解為例.

分析由正實數(shù)a,b滿足的代數(shù)形式,進行如下構(gòu)造:如圖2,過定點P(2,1)的直線l交x軸正半軸于A(a,0),交y軸正半軸于B(0,b),O為坐標原點,則即為ΔAOB周長,問題等價于求ΔAOB周長的最小值.

解如圖2,在平面直角坐標系xOy中,直線l過定點P(2,1),交x軸、y軸的正半軸分別于A(a,0)、B(0,b),則即為ΔAOB周長.過點P作與x軸、y軸正半軸相切的⊙J,若⊙J與直線l不相切,則可作與l平行、與⊙J相切的直線,它與x軸正半軸交于S,與y軸正半軸交于T;過點P作⊙J的切線與x軸正半軸交于U,與y軸正半軸交于V.

圖2

記ΔAOB、ΔSOT、ΔUOV周長分別為LΔAOB、LΔSOT、LΔUOV,則LΔAOB=OA+OB+AB≥OS+OT+ST=LΔSOT.利用切線長定理,LΔSOT=OS+OT+ST=OM+ON=OU+OV+UV=LΔUOV,所以LΔAOB≥LΔSOT=LΔUOV.即當且僅當直線l與⊙J相切于點P時,ΔAOB的周長最小.設⊙J的半徑為r,結(jié)合圖形得r >2,⊙J的方程為(x-r)2+(y-r)2=r2,由于點P(2,1)在⊙J上,故(2-r)2+(1-r)2=r2,解得r=1(舍)或r=5.從而(LΔAOB)min=LΔUOV=2r=10.

圖3

2.結(jié)合勾股定理處理根式

以題目2 的分析與解為例.

分析由的形式想到勾股定理,構(gòu)造斜邊為a,直角邊為1 的直角三角形,和斜邊為b,直角邊為2 的直角三角形,再結(jié)合問題中a+b和的形式,構(gòu)造出幾何圖形.

三.結(jié)束語

以上三個視角基于對根式的理解,結(jié)合題設條件和所求問題的式子結(jié)構(gòu)特點,將問題進行了有效轉(zhuǎn)化,可以為含根式的二元函數(shù)最值問題的求解提供參考.通俗地講,問題轉(zhuǎn)化就是把有待解決或較難解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化手段,使它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決或較易解決的問題,從而求得原問題的解答.它涉及三個基本的要素:對象、目標和方法,其中對象就是有待解決或較難解決的問題,目標就是已經(jīng)解決或較易解決的問題,方法就是轉(zhuǎn)化過程運用的數(shù)學思想方法.其實很多大家所熟知故事,如司馬光砸缸、曹沖稱象等,都是成功運用轉(zhuǎn)化策略的經(jīng)典案例.筆者認為,可以在以下四個方面提升數(shù)學解題的轉(zhuǎn)化水平:

1.提高審題質(zhì)量.審題是解題的基礎,解題者要通過對題意的分析,明確條件、結(jié)論中所涉及到的數(shù)學知識和數(shù)學關系,進而確定解題方向.

2.增強目標意識.解題者要對問題結(jié)論和條件展開詳盡分析,并按照結(jié)論確定解題目標,將條件向結(jié)論方向進行靠攏.

3.掌握轉(zhuǎn)化手段.解題者需要將復雜的結(jié)論、條件實施簡化、變形、換元、數(shù)形結(jié)合等處理,使問題變得更加明朗、清晰;將未知的新問題,通過合理聯(lián)想,尋找轉(zhuǎn)化為已知的途徑,進而擬定出解題計劃.

4.善思考多積累.解題者需要在數(shù)學解題活動中,養(yǎng)成多角度思考問題的習慣,并積累促成問題合理轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗.

以下是二元根式函數(shù)最值的幾道習題,供讀者思考:

習題1設a >0,b >0,則的最小值為____.

習題2已知正實數(shù)a,b滿足則的最小值為____.