初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)知地圖的意義理解與構(gòu)造嘗試

劉紅

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，純粹經(jīng)驗性的教學(xué)研究是不夠的，其只能夠讓教師在經(jīng)驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破并不容易，原因是只有經(jīng)驗而沒有理論. 站在學(xué)生的角度看，對認(rèn)知最重要的把握就是建立一個認(rèn)知地圖，可以說認(rèn)知地圖越完整、越清晰，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就越順利. 認(rèn)知地圖是通過地圖的方式來描述學(xué)生的認(rèn)知過程. 借鑒道路、標(biāo)志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素來描述學(xué)生的認(rèn)知，為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程尋找道路、標(biāo)志、節(jié)點、區(qū)域和邊界，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現(xiàn)哪些重要的標(biāo)志，同時也能夠判斷出學(xué)生學(xué)習(xí)的重要節(jié)點，還能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)范圍、思維范圍作出一定的界定. 教師掌握了認(rèn)知地圖這一理論工具，就可以借助其強大的闡釋性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有更為精確的把握；還可以借助其預(yù)見性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行預(yù)設(shè)，從而提前采取有針對性的教學(xué)措施. 面向未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要充分利用好認(rèn)知地圖這樣的工具，這樣才能讓立德樹人以及核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)的落地變得更加有保障.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；認(rèn)知地圖；意義理解；構(gòu)造嘗試

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究來提高教學(xué)效率，是很多教師的自然選擇. 在這一選擇之下，通過對比研究可以發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)教師的研究都是經(jīng)驗取向的，也就是總在自己的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行分析，然后形成相應(yīng)的教學(xué)舉措. 應(yīng)當(dāng)說這樣的努力是具有一定成效的，對絕大多數(shù)一線教師而言，也是難能可貴的教學(xué)研究取向. 如果注意觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)身邊確實存在著這樣的優(yōu)秀教師，而這樣的專業(yè)發(fā)展路徑，也符合“經(jīng)驗加反思”的基本思路，因此具有一定的理論自洽性. 與此同時，我們應(yīng)當(dāng)注意到，純粹經(jīng)驗性的教學(xué)研究是不夠的，其只能夠讓教師在經(jīng)驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破卻并不容易，原因是只有經(jīng)驗而沒有理論，那么教學(xué)研究只能借助經(jīng)驗的車輪緩慢前進(jìn).

那么，這里所說的理論是什么呢？要知道對于一線教師而言，提及理論往往并不是一件很受歡迎的事，二十多年的課程改革讓不少教師厭惡了理論的空轉(zhuǎn)——不能對實際教學(xué)產(chǎn)生直接且有益的指導(dǎo)作用. 應(yīng)當(dāng)說這也是一個事實，如果反思這一事實就可以發(fā)現(xiàn)，這些理論之所以難接地氣，很大程度上是因為這些理論與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程之間，難以形成直接的匹配關(guān)系，說得直白一點就是解釋性不強，其直接結(jié)果就是指導(dǎo)性不強. 很顯然，一線教師并沒有太多的時間與精力，去建立起這種相對抽象的理論與實際教學(xué)之間的關(guān)系. 那么有沒有一種理論，能夠直接解釋教學(xué)并指導(dǎo)教學(xué)呢？筆者以為還是有的，認(rèn)知地圖就是屬于這種理論.

在闡述認(rèn)知地圖之前，有必要先強調(diào)一下認(rèn)知的意義. 具備一定理論知識的初中數(shù)學(xué)教師都知道，認(rèn)知對于一線教師而言是一個重要的概念，可以認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是認(rèn)知發(fā)展的過程. 從專業(yè)的角度來看，認(rèn)知是指人們獲得知識或應(yīng)用知識的過程，認(rèn)知心理學(xué)當(dāng)中最基本的表達(dá)之一，就是信息加工理論. 人們認(rèn)為學(xué)習(xí)的過程就是在感覺知覺的作用之下，通過信息的輸入與加工，進(jìn)而實現(xiàn)新的信息輸出的過程. 當(dāng)然除了信息加工理論，認(rèn)知心理學(xué)當(dāng)中還有其他一些流派，這些流派無一例外地都強調(diào)對信息的獲取與加工，只不過側(cè)重點有所不同而已. 而站在學(xué)生的角度看，對認(rèn)知最重要的把握就是建立一個認(rèn)知地圖，可以說認(rèn)知地圖越完整越清晰，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就越順利. 數(shù)學(xué)知識是抽象的，我國的初中數(shù)學(xué)教材具有一定的難度，這意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候會遇到更多的挑戰(zhàn). 因此，教師要從經(jīng)驗的角度做出努力，借助認(rèn)知地圖這樣的工具，讓日常的初中數(shù)學(xué)教學(xué)取得事半功倍的效果.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)知地圖的意義理解

初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師對初中生進(jìn)行相應(yīng)難度的數(shù)學(xué)知識教學(xué)的過程. 我國的初中數(shù)學(xué)知識之所以具有一定的難度，其實就是因為數(shù)學(xué)概念與規(guī)律之間的聯(lián)系體現(xiàn)得比較充分. 對初中生而言，無論是對概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)還是對它們之間聯(lián)系的建立，都需要付出一定的努力，因此也就有了所謂的難題. 解決這些難題最好的辦法不是重復(fù)訓(xùn)練，而是在把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，采取有針對性的教學(xué). 顯然，要想準(zhǔn)確把握學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認(rèn)知規(guī)律，教師首先必須對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有一個清晰的認(rèn)識. 由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是內(nèi)隱的，因此通過直接的觀察難以得出結(jié)論. 這個時候就有了兩個選擇：一是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行反推，這實際上就是經(jīng)驗取向；二是對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程建立模型，這實際上就是理論取向. 相比較而言，如果能夠根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)建立起準(zhǔn)確的模型，那么教學(xué)效益就會更高. 在筆者看來，認(rèn)知地圖就是這種模型.

所謂認(rèn)知地圖，就是通過地圖的方式來描述學(xué)生的認(rèn)知過程. 地圖實物通常包括道路、標(biāo)志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素，借鑒這些要素來描述學(xué)生的認(rèn)知，為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程尋找道路、標(biāo)志、節(jié)點、區(qū)域和邊界，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現(xiàn)哪些重要的標(biāo)志，同時也能夠判斷出學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要節(jié)點，還能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)范圍、思維范圍作出一定的界定. 顯然，教師借助認(rèn)知地圖的概念，可以對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行更為準(zhǔn)確的描述.

可能有教師會提出：認(rèn)知地圖這么抽象的概念，要想運用到實際教學(xué)當(dāng)中并不容易. 確實從概念的角度來看，認(rèn)知地圖對于很多初中數(shù)學(xué)教師來說并不熟悉. 但是實際上在教師的經(jīng)驗系統(tǒng)當(dāng)中，有很多努力與認(rèn)知地圖實際上是高度重合的，如果能夠?qū)⒔?jīng)驗系統(tǒng)中的相關(guān)認(rèn)識，用認(rèn)知地圖的相關(guān)理論來描述，就會發(fā)現(xiàn)認(rèn)知地圖實際上是一個我們再熟悉不過的概念. 比如對于當(dāng)下熱門的學(xué)案，就有研究者指出，學(xué)案如能貼合學(xué)生學(xué)習(xí)心理與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，可引領(lǐng)學(xué)生“按圖索驥”完成學(xué)習(xí)任務(wù)，因而可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個認(rèn)知地圖［1］. 從這個角度看，教師只要在日常教學(xué)當(dāng)中積累了關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)經(jīng)驗，借助類似于學(xué)案這樣的有形工具來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那理解認(rèn)知地圖就沒有太多的困難.

一旦教師掌握了認(rèn)知地圖這一理論工具，那么就可以借助其強大的闡釋性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有更為精確的把握；同時可以借助認(rèn)知地圖的預(yù)見性，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行預(yù)設(shè)，從而提前采取有針對性的教學(xué)措施. 如果初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠進(jìn)入這樣的狀態(tài)，那么認(rèn)知地圖的意義就充分體現(xiàn)出來了.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)知地圖的構(gòu)造嘗試

對于初中數(shù)學(xué)教師而言，認(rèn)識到認(rèn)知地圖的價值只是運用其指導(dǎo)教學(xué)的第一步，更重要的一步是在日常的教學(xué)當(dāng)中能夠?qū)⑵渥鳛橐粋€工具. 當(dāng)然建立一個工具，并且能夠熟練使用也不容易，根據(jù)筆者的經(jīng)驗，如果能夠?qū)φ杖粘５慕虒W(xué)嘗試去構(gòu)造認(rèn)知地圖這個工具，那么教師就會在這過程中對認(rèn)知地圖越來越熟悉，應(yīng)用也會越來越熟練，最終做到得心應(yīng)手. 有研究表明，認(rèn)知地圖的建構(gòu)有兩個重要環(huán)節(jié)：一是教師的教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)，二是具體的教學(xué)實踐環(huán)節(jié). 而且研究表明，只有當(dāng)學(xué)生具有了認(rèn)知地圖建構(gòu)能力，他們才能在具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中擁有清晰的學(xué)習(xí)對象，擁有清晰的思維過程，才能有效實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升［2］.

“平面直角坐標(biāo)系”是初中數(shù)學(xué)知識體系中的一個基本概念，因為其具有基礎(chǔ)性，所以教師在教學(xué)中必須高度重視，要想方設(shè)法幫助學(xué)生建立起關(guān)于平面直角坐標(biāo)系的清晰表象，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中獲得相應(yīng)的方法性認(rèn)識，以提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 那么從認(rèn)知地圖構(gòu)造的角度看，平面直角坐標(biāo)系這一內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計呢？

首先，要充分激活學(xué)生的生活經(jīng)驗.

初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要表象的支撐，絕大多數(shù)情況之下，表象都來自生活經(jīng)驗（有時也來自學(xué)生的想象）. 平面直角坐標(biāo)系這一概念，對于初中生來說，很難基于字面的意思去完成想象——筆者進(jìn)行過多次調(diào)查研究，都發(fā)現(xiàn)初中生在面對平面直角坐標(biāo)系這一概念的時候，最多只能在大腦中出現(xiàn)平面和直角的表象，無法讓兩者之間形成聯(lián)系，更加不知道坐標(biāo)系是何物. 面對這樣的實際情況，教師就必須激活學(xué)生的生活經(jīng)驗.

最常見的經(jīng)驗就是生活中出現(xiàn)的“第幾排，第幾列”這種確定位置的情況，這個時候教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生自己舉例，無論是教室中的座位還是電影院中的座位，例子越多，那么學(xué)生分析的對象就越多，在后一個環(huán)節(jié)完成數(shù)學(xué)抽象的時候，思維加工就越充分，所形成的表象也就越清晰.

其次，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適度的數(shù)學(xué)抽象.

數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要過程，也是一個重要的數(shù)學(xué)工具. 數(shù)學(xué)抽象的對象是形象的事物，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是用數(shù)與形來描述形象的例子. 剝離生活實例中的非數(shù)學(xué)因素，只留下與數(shù)學(xué)相關(guān)的因素，就是數(shù)學(xué)抽象的過程. 比如在上述例子當(dāng)中，讓學(xué)生描述自己在教室的哪個位置，學(xué)生通常就會說是“第幾組的第幾個”. 這個時候教師就要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，“第幾組的第幾個”，實際上就是從“排”與“列”的角度去確定位置，而從數(shù)學(xué)的角度來看，“排”與“列”其實就是相互垂直的兩條線（這個時候有少數(shù)學(xué)生會想到槍械的瞄準(zhǔn)儀也是通過相互垂直的兩條線的交點來確定位置的，這一生活經(jīng)驗也可以加以利用）. 事實上，有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生的大腦當(dāng)中就出現(xiàn)了相互垂直的兩條線的表象，而這正是平面直角坐標(biāo)系的雛形.

最后，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來描述抽象結(jié)果.

有了上述雛形之后，教師的另一個教學(xué)任務(wù)就是完善這個雛形，使之變成平面直角坐標(biāo)系. 這里可以借助對上述位置的具體分析來完成，限于篇幅，不再贅述.

在這里有必要從認(rèn)知地圖的角度來解析這樣的教學(xué)設(shè)計，也就是要回答一個問題：為什么說這樣的教學(xué)設(shè)計能夠讓學(xué)生獲得一個清晰的學(xué)習(xí)過程？換一個問法就是：為什么說這樣的教學(xué)設(shè)計能夠讓學(xué)生擁有一個清晰的認(rèn)知地圖？

上文已經(jīng)提及認(rèn)知地圖具有道路、標(biāo)志、節(jié)點、區(qū)域和邊界等要素，上述教學(xué)設(shè)計對這些要素的關(guān)注是清晰的：讓學(xué)生舉出生活中“確定位置”的例子，實際上就規(guī)定了學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，亦即明確了學(xué)生學(xué)習(xí)的邊界；從生活實例的舉出，到對生活實例的分析與綜合，再到對生活實例進(jìn)行抽象，然后是用數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果——這是一個清晰的學(xué)習(xí)過程，也是從形象思維到抽象思維的學(xué)習(xí)過程. 這樣的過程不僅符合初中生的認(rèn)知規(guī)律，更重要的是讓學(xué)生體驗了一個通過自身思維加工所輸入或激活的信息，最終得到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程. 當(dāng)這一過程被學(xué)生強化之后，就有可能成為數(shù)學(xué)概念建構(gòu)或規(guī)律建立的方法性認(rèn)識，這對于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法、提升自身學(xué)習(xí)品質(zhì)有著重要的作用. 因此，教師可以認(rèn)為通過上述教學(xué)設(shè)計，學(xué)生能夠經(jīng)歷一個合理的學(xué)習(xí)過程——后來的教學(xué)實踐也證明了這一點，這就說明認(rèn)知地圖是行之有效的.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)知地圖的實踐前景

當(dāng)前，包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)正經(jīng)歷著不小的變化，立德樹人目標(biāo)的實現(xiàn)、核心素養(yǎng)概念的提出、新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，都意味著初中數(shù)學(xué)教學(xué)必須以新的面貌，來與這些新的情況進(jìn)行匹配. 這既需要借助教師的教學(xué)經(jīng)驗，又需要相應(yīng)的理論指導(dǎo).

如同上文所指出的那樣，這里所說的理論不是飄在空中的理論，而是接地氣的理論，是能夠具體指導(dǎo)實際教學(xué)的理論. 認(rèn)知地圖這一理論，與我國師范教育實際上是一脈相承的——我國師范教育中的心理學(xué)主要就是指認(rèn)知心理學(xué)；同時也是與教師的經(jīng)驗相匹配的，教師經(jīng)驗中的很多收獲與認(rèn)識，都可以用認(rèn)知地圖來描述. 因此，認(rèn)知地圖在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中有著強大的生命力.

這種生命力體現(xiàn)在新時代背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的精確描述，對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困難進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷. 這樣就可以讓教師提前做好相關(guān)的教學(xué)準(zhǔn)備，從而提高課堂教學(xué)的效率. 總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知地圖，無論是從傳統(tǒng)的知識學(xué)習(xí)與運用的角度來看，還是從核心素養(yǎng)培育的角度來看，都有著十分重要的理論意義［2］. 面向未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要充分利用好認(rèn)知地圖，這樣就能讓立德樹人以及核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)的落地變得更加有保障.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章飛，顧繼玲. 指向認(rèn)知地圖形成的初中數(shù)學(xué)學(xué)案設(shè)計［J］. 教學(xué)與管理， 2019（10）：62-64.

［2］ 丁麗云. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)知地圖的建構(gòu)意義——核心素養(yǎng)培育的視角之下［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（29）：47-48.