巧妙轉(zhuǎn)化，化繁為簡

王錦萍

［摘? 要］ 基于培養(yǎng)學(xué)生解題能力的需要，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，最需要重視的數(shù)學(xué)思想方法之一就是轉(zhuǎn)化思想. 轉(zhuǎn)化思想有助于學(xué)生更好地把握解題過程，尋找反思解題過程的抓手. 轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的理論價值，要把這種理論價值變成真正的實踐價值，關(guān)鍵還在于組織解題教學(xué). 解題教學(xué)的重點是想方設(shè)法讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想的過程，并且養(yǎng)成反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 轉(zhuǎn)化思想，是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主要線索，也是學(xué)生體驗解題過程的主要線索. 轉(zhuǎn)化思想一旦成為解題教學(xué)的線索，那解題教學(xué)就會變得高效，學(xué)生也會收獲滿滿. 這種收獲既體現(xiàn)在解題能力上，又體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)上. 數(shù)學(xué)課堂從知識教學(xué)走向數(shù)學(xué)思想方法滲透，最終落實核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；解題教學(xué)

解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，無論是基于現(xiàn)實的應(yīng)試需要，還是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的需要，都繞不開解題教學(xué)這一重要環(huán)節(jié). 解題教學(xué)使得學(xué)生所學(xué)得的數(shù)學(xué)知識具有較強的應(yīng)用性，有助于發(fā)展學(xué)生的思維. 從現(xiàn)實情況來看，初中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中所遇到的挑戰(zhàn)是多方面的. 學(xué)生對傳統(tǒng)題目的解答效率上不去，新型習(xí)題的解答方向難以明確，同一習(xí)題出現(xiàn)多種方法時難以做出選擇……這些是學(xué)生迫切想要解決的問題，但是由于種種客觀條件的限制，學(xué)生在嘗試解決這些問題的時候，所采用的方法就是進行更多的習(xí)題訓(xùn)練，這實際上是路徑依賴的產(chǎn)物. 對絕大多數(shù)學(xué)生而言，他們提升解題能力的唯一方法，就是增加習(xí)題的訓(xùn)練類型與訓(xùn)練量，如此形成的解題能力，通常體現(xiàn)為迅速識別熟悉題型以及一定程度上提高解題速度等，而這些都不能算是根本的突破.

那么怎樣才算是根本的突破呢？當(dāng)然是指解題思想方法的提煉. 解題思想方法，實際上就是解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，與數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的思想方法并沒有質(zhì)的區(qū)別，如果非要說有區(qū)別的話，那區(qū)別就在于這些思想方法運用的場合不同，學(xué)生最終形成的直覺不同. 不過這種不同不會產(chǎn)生質(zhì)的影響，這是因為數(shù)學(xué)思想方法原本就具有遷移性，數(shù)學(xué)思想方法的生命力就體現(xiàn)在其能夠在多個場合得到應(yīng)用. 本著這樣的思路，并基于培養(yǎng)學(xué)生解題能力的需要，筆者認為在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，最需要重視的數(shù)學(xué)思想方法之一就是轉(zhuǎn)化思想.

顧名思義，轉(zhuǎn)化思想貴在轉(zhuǎn)化. 轉(zhuǎn)化的目的在于化繁為簡、化難為易. 轉(zhuǎn)化的過程也是有技巧的，如果能夠讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化的過程中掌握相關(guān)的技巧，就可以讓學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想產(chǎn)生認同感，當(dāng)然也就會有更良好的體驗. 近年來筆者在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一直注意轉(zhuǎn)化思想的滲透，摸索出了轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)方法，現(xiàn)總結(jié)出來與同行分享，并期待同行的點評.

轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的理論價值

通常一線教師的教學(xué)研究會有兩種價值取向. 一種是滿足應(yīng)試的需要，只要能夠讓學(xué)生獲得解題能力，在中考中獲得分數(shù)就行. 在這樣的價值取向之下，解題教學(xué)的研究重心，一定會放在題型的收集上，以使學(xué)生能夠高效解答多種類型的題目. 但是這種解題教學(xué)有一個缺陷，那就是學(xué)生無法形成系統(tǒng)性認識，而且教師難以摸索出一條行之有效的教學(xué)途徑. 另一種是從理論與實踐的角度建立起關(guān)于解題教學(xué)的系統(tǒng)認識，既關(guān)注學(xué)生的解題直覺，又重視對學(xué)生進行思想方法的滲透. 這樣的研究價值取向的缺點在于花費的時間較多、必須進行相對系統(tǒng)的理論學(xué)習(xí)，還要通過總結(jié)與反思來提煉思想方法. 但是其優(yōu)點也是顯而易見的，可以讓解題教學(xué)變得可持續(xù). 在新課改的背景下，當(dāng)代教師應(yīng)關(guān)注第二種價值取向.

帶著這樣的思路來看轉(zhuǎn)化思想，可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一，是指在研究新問題或復(fù)雜問題時，把其轉(zhuǎn)化為已知的或比較簡單的問題來解決. 因此，從這個角度來看，轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的理論價值，至少應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在以下兩個方面.

第一個方面，轉(zhuǎn)化思想有助于學(xué)生更好地把握解題過程. 對相當(dāng)一部分初中生而言，數(shù)學(xué)解題的過程是非常繁雜的. 很多學(xué)生在成功解題之后，讓他們說出自己是如何成功解題的，他們都會吞吞吐吐、語焉不詳. 這倒不是學(xué)生不想說，而是他們確實說不出來. 會做卻說不出來，為什么會出現(xiàn)這種情況呢？答案很簡單，這是因為學(xué)生在日復(fù)一日的習(xí)題訓(xùn)練當(dāng)中，所形成的是關(guān)于熟練題型的解題直覺，通常都處于“知其然，卻不知其所以然”的狀態(tài)，解題方法更多地以默會的形式存在. 轉(zhuǎn)化思想作為最常見的解題思想方法，其優(yōu)點就在于可以讓學(xué)生在解題的時候，梳理自身的解題思路. 解題的過程就是從已知走向未知的過程，化解難題的過程就是想方設(shè)法化繁為簡的過程，無論采用怎樣的方法，都可以稱之為“轉(zhuǎn)化”. 當(dāng)“轉(zhuǎn)化”成為學(xué)生大腦中的一個明確概念時，無論解什么樣的題，他們都會想到“轉(zhuǎn)化”.

第二個方面，轉(zhuǎn)化思想有助于學(xué)生尋找反思解題過程的抓手. 很多教師認為解題能力是在學(xué)生解題過程中養(yǎng)成的，實際上解題能力更多的是在反思過程中形成的. 有經(jīng)驗的教師，在解題教學(xué)中會強調(diào)解題要能夠從“一道題”走向“一類題”，只可惜這種經(jīng)驗卻沒有轉(zhuǎn)化為學(xué)生的解題智慧. 那么真正的解題智慧是什么呢？應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生在成功解題之后去進行深刻反思. 最簡單且最有效的驅(qū)動性問題就是：我（指學(xué)生）是怎樣成功解決這道習(xí)題的？只要學(xué)生緊扣這個問題進行反思，那么他反思的對象就一定蘊含轉(zhuǎn)化思想. 這時，轉(zhuǎn)化思想就成為學(xué)生解題反思的一個重要抓手.

轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用分析

通過以上分析可知，轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的理論價值. 轉(zhuǎn)化思想的核心在于從未知轉(zhuǎn)化為已知，化繁為簡，提高解題效率，發(fā)展思維能力. 要把這種理論價值轉(zhuǎn)化為真正的實踐價值，關(guān)鍵還在于組織解題教學(xué). 基于上述分析，可以得出的一個初步結(jié)論：解題教學(xué)的重點就是想方設(shè)法讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想，并且形成反思轉(zhuǎn)化思想方法運用的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

人教版初中數(shù)學(xué)教材特別注意對習(xí)題的精心選擇與編制，其中的大部分例題都能夠起到促進學(xué)生解題能力提升的作用，還有相當(dāng)多的例題可以成為轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)載體. 在人教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊“整式的加減”章節(jié)最后的綜合運用中，有這樣一道題：

例題呈現(xiàn) 某公園計劃砌一個形狀如圖1所示的噴水池（圖中長度單位：m），后來有人建議改為圖2的形狀，且外圓的直徑保持不變. 請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌出的圓形水池所需要的材料多. （提示：比較兩種方案中各圓形水池周長的和.）

很顯然，這道題目具有一定的現(xiàn)實意義，其運用了公園砌噴水池這樣來自生活的事例. 考慮到初中生的理解能力，這道題目有兩個臺階：一是直接給出了圖形，而沒有用文字來描述這些圖形的特征；二是給出了“提示”，告訴學(xué)生比較砌水池所用的材料，實際上就是比較周長.

如果意識到這兩個臺階的存在，那么在這道題的解題教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)就有了很大的空間；反之，如果意識不到這兩個臺階的存在，那么在這道題的解題教學(xué)中，就不容易體現(xiàn)解題過程中的轉(zhuǎn)化思想. 這也提醒一線教師，要想落實轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)，很多時候就要研究教材題目，發(fā)現(xiàn)解題過程中隱含的轉(zhuǎn)化思想，通過對題目的優(yōu)化與改變，讓學(xué)生擁有體驗轉(zhuǎn)化思想的機會. 在本題的解題教學(xué)中，筆者所做的優(yōu)化與改變，就是將這兩個臺階撤掉. 這樣的題目對學(xué)生來說有一定的難度. 當(dāng)學(xué)生就更容易進入攻堅克難的狀態(tài)，這個時候再用圖形和提示來幫助他們化解難度，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)圖形和提示具有重要的價值，而圖形和提示本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化思想的載體. 因此，筆者在教學(xué)中先向?qū)W生提供的是這樣一個題干：

例題變形 某公園計劃砌兩個半徑為r且外接的圓形的噴水池；后來有人建議將這兩個水池改為藝術(shù)形狀的造型，即在保留一個圓形水池的情況下，在這個圓形噴水池的一條直徑上并排砌三個較小的圓形噴水池，半徑分別為r/2，r/3，r/6. 請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌出的噴水池所需要的材料多.

從文字表述的角度來看，該題的含義與原題是一致的，但很顯然這樣表述抽象很多，學(xué)生必須根據(jù)文字的表述，在大腦當(dāng)中構(gòu)建相應(yīng)的表象. 這會讓學(xué)生遇到第一個困難——理解題意的困難. 這并不是為學(xué)生刻意制造困難，實際上是為了培養(yǎng)學(xué)生的表象建構(gòu)能力（本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)換能力）. 很多題目無圖且文字極少，學(xué)生解決時面臨巨大的困難，說到底都是轉(zhuǎn)化能力薄弱所導(dǎo)致的. 因此，設(shè)計這種較難理解的題目，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力. 當(dāng)學(xué)生在解題過程中感覺到抽象時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上畫圖. 畫圖的時候允許學(xué)生出錯，鼓勵學(xué)生交流，只要學(xué)生在體驗轉(zhuǎn)化的過程即可. 同樣，在學(xué)生畫出正確的圖形之后，也可以交由學(xué)生自己去完成問題中從“比較材料多少”向“比較周長大小”的轉(zhuǎn)化.

在學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用之后，教師必須重視后面的反思環(huán)節(jié)，使學(xué)生在反思中發(fā)現(xiàn)，通過畫圖，可以降低題目的難度. 將生活素材轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素材，然后再用數(shù)學(xué)知識去解答，是學(xué)生必須掌握的思想方法. 當(dāng)學(xué)生認識到這些的時候，就是他們認同轉(zhuǎn)化思想、獲得轉(zhuǎn)化能力的時候.

轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用反思

如果說學(xué)生在反思當(dāng)中可以獲得對轉(zhuǎn)化思想的感悟的話，那么教師同樣也可以在反思中獲得解題教學(xué)能力的提升. 美國學(xué)者波斯納特別重視教學(xué)反思的作用，他認為反思是促進教師專業(yè)成長最重要的動力之一. 那么在反思轉(zhuǎn)化思想在初中解題教學(xué)中的作用時，又能得出哪些有益的啟發(fā)呢？對此筆者進行了認真細致的梳理，形成了如下兩點認識.

一是轉(zhuǎn)化思想必須成為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主要線索. 教師的教學(xué)一定是受教學(xué)線索牽引的，很多教師在教學(xué)設(shè)計的時候，都會有意無意地尋找一條線索貫穿教學(xué)的始終. 習(xí)題教學(xué)尤其如此，只有明確了教學(xué)線索，課堂上出現(xiàn)的各種習(xí)題才不會像一盤散沙一樣毫無章法，學(xué)生才能從一道題目自然地過渡到另一道題目. 如果教師將包括轉(zhuǎn)化思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法作為解題教學(xué)的線索，那么解題教學(xué)的過程也會十分清晰.

二是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生體驗解題過程的主要線索. 這是站在學(xué)生的角度進一步強調(diào)轉(zhuǎn)化思想的線索價值，這一點實際上更加重要. 因為當(dāng)學(xué)生在若干個題目的解答過程中，能夠體驗到轉(zhuǎn)化思想的作用時，才會形成累積效應(yīng)，才會在一點點積累中，提升對轉(zhuǎn)化思想的認知. 學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的認識不是一朝一夕就能形成的，只能在一題又一題的體驗中慢慢積累，只能在一次又一次的反思中鞏固.

以上兩點認識，實際上指向教學(xué)的兩個方面，當(dāng)這兩個方面結(jié)合起來成為教學(xué)過程的一體兩面時，轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中就能真正落地生根. 大量的教學(xué)實踐表明，轉(zhuǎn)化思想一旦成為解題教學(xué)的線索，解題教學(xué)就會變得高效，學(xué)生也會收獲滿滿. 這種收獲既體現(xiàn)在解題能力上，又體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)上. 畢竟，從知識教學(xué)走向數(shù)學(xué)思想方法滲透，核心素養(yǎng)就能得以落實.