初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程

蒲大勇　楊玉敏

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)公式教學(xué)的本質(zhì)是概念的意義建構(gòu)． 數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程為“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應(yīng)用—內(nèi)化表征”，這六個(gè)環(huán)節(jié)既環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，又相互促進(jìn)，形成閉合的回路. 在這個(gè)過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征從表象到本質(zhì)、從感知到認(rèn)知、從感性到理性，逐步掌握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，進(jìn)而建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)．

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；公式教學(xué)；基本過程；平方差公式

數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式教學(xué)

公式通常是指用符號語言表示不同量之間某種關(guān)系的式子． 公式是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納、概括而得出的具有普遍性關(guān)系的式子． 數(shù)學(xué)公式是用數(shù)學(xué)符號表示各個(gè)量之間的一定數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)式子．?dāng)?shù)學(xué)公式具有“三性”：一是抽象性，數(shù)學(xué)公式不是客觀世界的直接表達(dá)，而是客觀世界中數(shù)量關(guān)系的高度概括；二是普遍性，數(shù)學(xué)公式揭示的是一類數(shù)量關(guān)系的基本規(guī)律；三是演繹性，數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)推理證明的重要依據(jù)［1］． 數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著舉足輕重的作用． 數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則、運(yùn)算律等一起組成數(shù)學(xué)原理，而數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)概念構(gòu)成數(shù)學(xué)知識的核心． 事實(shí)上，數(shù)學(xué)公式揭示的是數(shù)學(xué)概念的基本規(guī)律. 數(shù)學(xué)公式教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)，由此建立不同知識之間的有效聯(lián)系． 觀察當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂，針對數(shù)學(xué)公式的教學(xué)較多地存在與概念教學(xué)混為一談、“重公式結(jié)論輕，公式生成”、“教師講公式，學(xué)生背公式”、教學(xué)思路不清晰、教學(xué)結(jié)構(gòu)比較混亂、數(shù)學(xué)公式本質(zhì)揭示不夠等問題． 那么如何進(jìn)行數(shù)學(xué)公式教學(xué)呢？認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)和對客觀世界的認(rèn)知具有循序發(fā)展規(guī)律． 建構(gòu)主義也認(rèn)為，知識的意義是由學(xué)習(xí)者自己建構(gòu)起來的，知識的意義是無法通過直接傳遞而實(shí)現(xiàn)的． 因此，研究者歸納出建構(gòu)初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程（如圖1所示）．

初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程為“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應(yīng)用—內(nèi)化表征”，這六個(gè)環(huán)節(jié)既環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，又相互促進(jìn)，形成閉合的回路. 在這個(gè)過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征從表象到本質(zhì)、從感知到認(rèn)知、從感性到理性，逐步掌握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，進(jìn)而建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)． 那么，如何實(shí)施數(shù)學(xué)公式教學(xué)呢？為方便說明，文章以人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊“平方差公式”第一課時(shí)的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程，以饗讀者．

數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程與教學(xué)實(shí)踐

1. 問題提出

問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，也是數(shù)學(xué)公式的“心臟”． 設(shè)置指向數(shù)學(xué)公式的問題，幫助學(xué)生認(rèn)識為什么學(xué)習(xí)這個(gè)數(shù)學(xué)公式，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，此時(shí)的問題起到先行組織的作用． 也就是說，通過適當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)，在情境中提出問題，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式的必要性和重要性．這里的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，由情境生發(fā)問題． 創(chuàng)設(shè)情境的例子一般來源于生活實(shí)際或數(shù)學(xué)知識內(nèi)部，從生活實(shí)際中的例子讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)公式來源于生活并能解決生活中的問題，數(shù)學(xué)公式是有用的；從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的例子讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)公式是基于數(shù)學(xué)知識不斷拓展的，數(shù)學(xué)知識的“邊界”不斷突破是必然的． 無論是哪種方式創(chuàng)設(shè)的情境，根本在于其具有所學(xué)公式的必要因素與必要形式，能啟動(dòng)學(xué)生的思維齒輪（引發(fā)認(rèn)知沖突），使得情境一提煉就是公式，公式一還原就有情境的基礎(chǔ)或原型［2］．

案例1

活動(dòng)一：舊知回顧

1． 計(jì)算：（x+3）（x-1）．

追問：你是怎么計(jì)算的？

師生共同復(fù)習(xí)“多項(xiàng)式×多項(xiàng)式”的法則，并板書（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq．

2． 變式計(jì)算：（x+1）（x-1）．

活動(dòng)二：結(jié)構(gòu)分析

師：觀察、比較（x+3）（x-1）和（x+1）（x-1）的異同點(diǎn)．

生：相同點(diǎn)在于兩者都是整式乘法，都可以用“多項(xiàng)式×多項(xiàng)式”的法則進(jìn)行計(jì)算；不同點(diǎn)體現(xiàn)在式子（x+1）（x-1）與（x+3）（x-1）的結(jié)構(gòu)不同，（x+1）（x-1）的兩個(gè)因式的第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)，（x+3）·（x-1）則不是；運(yùn)算結(jié)果的形式也不同，（x+1）（x-1）的運(yùn)算結(jié)果為二項(xiàng)式，并且是“這兩個(gè)數(shù)的平方差”，而（x+3）（x-1）運(yùn)算的結(jié)果為三項(xiàng)式．

活動(dòng)三：問題討論

“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”具有這種特殊結(jié)構(gòu)的兩個(gè)因式相乘，還有簡便的方法進(jìn)行計(jì)算嗎？

評析 “多項(xiàng)式×多項(xiàng)式”的法則是整式乘法的一般的、基本的形式，適用所有整式乘法．教學(xué)中采用“舊知回顧”，讓學(xué)生從熟悉的、已有的知識入手，在計(jì)算（x+3）（x-1）后，變式把“3”改成“1”，計(jì)算（x+1）（x-1）；“結(jié)構(gòu)分析”環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較前后兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；引出“還有簡便的方法進(jìn)行計(jì)算嗎”的問題討論，指向本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)． 上述教學(xué)環(huán)節(jié)就是從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā)，遵循數(shù)學(xué)知識“從一般到特殊”的發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)公式的“先一般再特殊”的學(xué)習(xí)規(guī)律，“要簡化計(jì)算”必須學(xué)習(xí)平方差公式，達(dá)到引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的目的．

2. 通例辨析

通例是指普遍的、一般的、能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式本質(zhì)特征的例子． 通例辨析就是對提供的通例進(jìn)行辨別、分析，找出其本質(zhì)，摒棄其非本質(zhì)． 這是數(shù)學(xué)公式教學(xué)非常重要的一步，也是學(xué)生認(rèn)識、感知數(shù)學(xué)公式的關(guān)鍵．充分、恰當(dāng)?shù)耐ɡ龑?shù)學(xué)公式教學(xué)起到舉足輕重的作用；同時(shí)，深入的辨析也是學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)． 這里，涉及兩個(gè)關(guān)鍵問題，一是通例的選?。?通例集中體現(xiàn)在“通”字上，即例子要有代表性和典型性，既要能夠彰顯數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，也要能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的深層結(jié)構(gòu)，例子要能夠代表一種類型，達(dá)到以一當(dāng)十的效果． 一般說來，通例要有三個(gè)及以上的例子． 二是辨析的層次．辨析不僅要辨別、分析通例的表層現(xiàn)象，還要辨別、分析通例的深層本質(zhì)，從現(xiàn)象到本質(zhì)，揭示通例“共同”的本質(zhì)特征．

案例2

活動(dòng)一：問題探究

計(jì)算：

1． （m+2）（m-2）；

2． （2x+1）（2x-1）．

活動(dòng)二：特征分析

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1．

觀察上述三個(gè)算式，小組合作回答下面三個(gè)問題：

1． 以上算式左邊有什么共同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？右邊呢？

2． 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

3． 請用你的方式表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．

評析 上述教學(xué)過程，“問題探究”在前面“問題提出”的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生再次計(jì)算兩個(gè)類似例子，感知平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；通過小組合作進(jìn)行“特征分析”，學(xué)生運(yùn)用觀察、比較、分析等方法揭示了通例蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在“特征分析”的過程中認(rèn)識了平方差公式的本質(zhì)． 實(shí)際上，（x+1）（x-1），（m+2）（m-2），（2x+1）（2x-1）三個(gè)例子在多項(xiàng)式乘法的結(jié)構(gòu)形式上都是“通”的——兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即都是形如多項(xiàng)式（a+b）與（a-b）相乘的形式；運(yùn)算結(jié)果的結(jié)構(gòu)形式也是“通”的——都是這兩個(gè)數(shù)的平方差，即都屬于特殊的“多項(xiàng)式×多項(xiàng)式”，結(jié)果的中間兩項(xiàng)合并為0，只剩兩項(xiàng)的平方差．在對三個(gè)通例的辨析過程中，學(xué)生自然摒棄了字母、數(shù)字、位置等不同的表層?xùn)|西，明白了平方差公式需要滿足的條件——“兩個(gè)數(shù)的和”與“這兩個(gè)數(shù)的差”的“積”． 運(yùn)用通例真實(shí)、客觀地揭示了平方差公式的本質(zhì)特征，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)公式的意蘊(yùn)．

3. 特征普適

特征是指一種事物可供識別的特殊的象征或標(biāo)志． 普適是指由“特殊”到“一般”或由“通例”到“一般”的過程．特征普適就是從已有的通例中提煉出數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征或概括出其本質(zhì)特征推演到“一般性”的過程．這個(gè)過程就是要在辨析通例的基礎(chǔ)上，遵循“從特殊到一般”的歷程，逐步提高例子的一般性，通過做數(shù)學(xué)化進(jìn)一步提煉，從幾個(gè)通例中找到相同的結(jié)構(gòu)特征，再到一般性式子提煉出本質(zhì)特征． 在這個(gè)過程中自然會用到觀察、比較、分析、綜合、抽象、歸納等方法，學(xué)生在對通例進(jìn)行觀察、比較的基礎(chǔ)上清晰地分析“從通例到一般性例子”的數(shù)學(xué)公式的非本質(zhì)特征與本質(zhì)特征；綜合與抽象則是抽取出最基本的、本質(zhì)的特征，擺脫了“通例”的局限，得到更為“一般性”的數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征；歸納則是用簡潔的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)．

案例3

活動(dòng)一：公式推導(dǎo)

（a+b）（a-b）=________.

活動(dòng)二：特征普適

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1；

4． （a+b）（a-b）=a²-b²．

觀察、比較上述四個(gè)式子，用自己的語言表達(dá)相關(guān)規(guī)律．

評析 上述教學(xué)過程，從具體的三個(gè)“通例”再到“一般性”的式子，在前面通例辨析的基礎(chǔ)上，學(xué)生認(rèn)識到三個(gè)“通例”左邊分別是x與1的和乘以x與1的差，m與2的和乘以m與2的差，2x與1的和與2x與1的差，表示的都是兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差；右邊分別可以表示成x2-12，m2-22，（2x）2-12，都是左邊兩個(gè)數(shù)的平方差．由“特殊”例子的結(jié)構(gòu)特征到“一般”式子的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步認(rèn)識到平方差公式的本質(zhì)——式子左邊要滿足“兩個(gè)數(shù)的和”與“這兩個(gè)數(shù)的差”的“積”這些基本條件，右邊就是“這兩個(gè)數(shù)的平方差”．在經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、歸納等數(shù)學(xué)過程后，學(xué)生對平方差公式的一般性結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識較為深刻：兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．

4. 公式形成

公式形成就是在通例辨析、特征普適的基礎(chǔ)上，歸納數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，用語言文字或數(shù)學(xué)符號或其他形式表達(dá)出來，形成正式的數(shù)學(xué)公式的過程． 這個(gè)過程是數(shù)學(xué)公式表征的過程，表征方式應(yīng)體現(xiàn)多元化，既可以是語言文字表征，也可以是數(shù)學(xué)符號表征，還可以是數(shù)學(xué)圖形表征，總之，通過多元表征讓學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征．這個(gè)過程也是對通例辨析、特征普適的進(jìn)一步深化，匡正認(rèn)識，高度凝練，形成對數(shù)學(xué)公式本質(zhì)的最核心的認(rèn)識，這個(gè)過程也是學(xué)生體驗(yàn)的過程，讓學(xué)生在充分的過程性體驗(yàn)中，升華成為一種高級的“數(shù)學(xué)化”過程，會用數(shù)學(xué)思維思考，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，進(jìn)而把新輸入的數(shù)學(xué)公式納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并與相關(guān)知識經(jīng)驗(yàn)建立起聯(lián)系．

案例4

符號表征：（a+b）（a-b）=a2-b2.

文字表征：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．

評析 上述教學(xué)過程運(yùn)用符號表征、文字表征、圖形表征、模型表征、圖示表征等多種方式表征平方差公式． 學(xué)生經(jīng)歷了“猜想—推導(dǎo)—得到公式—多元表征—再識別”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)層層深入、步步為營，學(xué)生對平方差公式的形成經(jīng)歷了由經(jīng)驗(yàn)感知到推導(dǎo)驗(yàn)證、由感性認(rèn)識到理性認(rèn)知等過程；再通過符號語言、文字語言、圖形語言等多種表征方式，不斷強(qiáng)化學(xué)生對平方差公式“標(biāo)準(zhǔn)形式”的認(rèn)識. 整個(gè)過程，學(xué)生充分運(yùn)用觀察、比較、分析、綜合、推理、抽象、歸納等方法，深刻地認(rèn)識到了平方差公式這個(gè)數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，并固化了對平方差公式的認(rèn)識．

5. 鞏固應(yīng)用

鞏固應(yīng)用就是把學(xué)生剛剛學(xué)到的數(shù)學(xué)公式加以鞏固，應(yīng)用到實(shí)際中去，及時(shí)梳理新舊知識的初步聯(lián)系，在新知識與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識間建立起非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)［3］． 這個(gè)環(huán)節(jié)需要做到“三題一結(jié)”. “三題”指的是基礎(chǔ)題、變式題、反例題. 一是基礎(chǔ)題，即做一定數(shù)量的、按照數(shù)學(xué)公式“標(biāo)準(zhǔn)形式”的練習(xí)題，其目的是進(jìn)一步理解、掌握數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征，達(dá)到鞏固基礎(chǔ)的作用． 二是變式題，即做一定數(shù)量的基于數(shù)學(xué)公式“標(biāo)準(zhǔn)變式”的練習(xí)題，通過練習(xí)題的形式變化，增加其干擾性，其目的是進(jìn)行操作性活動(dòng)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的初步應(yīng)用． 三是反例題，即做反例題，從反面的練習(xí)題的聯(lián)系中鞏固數(shù)學(xué)公式，這里一般通過反例辨識來實(shí)現(xiàn)，通過與前面數(shù)學(xué)公式提煉過程中正例的比較分析，讓學(xué)生更清楚地認(rèn)識到數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征． “一結(jié)”，即總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題步驟，通過解題步驟的小結(jié)，把數(shù)學(xué)公式分解為具有可操作的、程序化的知識，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)公式本身的理解．

案例5

活動(dòng)一：填一填

活動(dòng)二：算一算

例題：運(yùn)用平方差公式計(jì)算

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-x+2y）（-x-2y）．

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)運(yùn)用平方差公式計(jì)算的步驟：一看（式子的結(jié)構(gòu)特征）；二找（平方差公式中的a與b）；三套（套用平方差公式）；四算（算出結(jié)果）．

鞏固練習(xí)

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

（1）（a+3b）（a-3b）；

（2）（3+2a）（-3+2a）；

（3）（-2x2-y）（-2x2+y）．

活動(dòng)三：找一找

下面各式的計(jì)算對不對？如果不對，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？

1． （x+2）（x-2）=x²-2；

2． （-3a-2）（3a-2）=9a²-4．

評析 教學(xué)中教師緊扣平方差公式精心設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題、變式題，并歸納總結(jié)了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的步驟，讓學(xué)生通過填空、計(jì)算、歸納的方式去進(jìn)行操作性活動(dòng)與公式的初步應(yīng)用． 一方面通過平方差公式的“標(biāo)準(zhǔn)形式”和“標(biāo)準(zhǔn)變式”的練習(xí)方式鞏固記憶、熟練技能、掌握原理，另一方面是通過“看、找、套、算”解題步驟的總結(jié)，從解題步驟來理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而積累理解所需要的操作數(shù)量、活動(dòng)強(qiáng)度和經(jīng)驗(yàn)體會． 同時(shí)，通過反例題的辨識，從反面鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)原理本質(zhì)特征的認(rèn)知，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的思維定式產(chǎn)生負(fù)遷移，導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn)．

6. 內(nèi)化表征

內(nèi)化是在思想觀點(diǎn)上與他人的思想觀點(diǎn)相一致，自己所認(rèn)同的新的思想和自己原有的觀點(diǎn)、信念，結(jié)合在一起，構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的態(tài)度體系． 表征是指客觀事物在人的心理上的感知反映． 內(nèi)化表征是指把新事物、新觀點(diǎn)等納入原有的認(rèn)知體系，構(gòu)建新的認(rèn)知體系，并通過一定方式表征外顯． 數(shù)學(xué)公式的內(nèi)化表征則指人們在認(rèn)知的基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)公式納入原有的認(rèn)知體系，形成新的認(rèn)知體系，并通過符號語言、文字語言、圖形語言等方式表征外顯． 學(xué)生對數(shù)學(xué)公式認(rèn)識、理解、掌握及熟練應(yīng)用的過程是數(shù)學(xué)公式的“本質(zhì)特征”在心理上的內(nèi)化表征及特征外顯的過程，內(nèi)化得越深，理解得越好，掌握得越牢．學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的內(nèi)化過程實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)公式在人腦中的“模仿、整合→再認(rèn)、轉(zhuǎn)化→存貯、再現(xiàn)”的心理表征過程，也是數(shù)學(xué)公式內(nèi)化表征形式及特征外顯形式相互間的作用過程． 這需要強(qiáng)化“非標(biāo)準(zhǔn)變式”和反思的作用，進(jìn)一步深化對數(shù)學(xué)公式本質(zhì)屬性的認(rèn)識，讓學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)公式的表征．

案例6

活動(dòng)一：變一變

（n+m）（-n+m）；（-x-y）（x-y）；（2a+b）（2a-b）；（x²+y²）（x²- y²）．

活動(dòng)二：辨一辨

判斷下列各題能否用平方差公式計(jì)算，并說明理由．

（a²-5）（a²+5），（-a+b）（b-a），（a+b）（-a-b），（n+m）（-n+m），（a+2）（a-3），（2xy+3）（2xy-3）．

活動(dòng)三：說一說

通過這堂課，你在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等方面有什么收獲和體會？

評析 上述教學(xué)過程的“變一變”通過對平方差公式的非標(biāo)準(zhǔn)變式，即位置變化、符號變化、系數(shù)變化和指數(shù)變化，內(nèi)化學(xué)生對平方差公式的表征；“辨一辨”綜合運(yùn)用平方差公式的“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，內(nèi)化學(xué)生對平方差公式的表征；“說一說”通過反思，內(nèi)化平方差公式的本質(zhì)特征，把新知識納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深化對數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的理解． 教學(xué)中教師在“標(biāo)準(zhǔn)變式”的基礎(chǔ)上發(fā)揮“非標(biāo)準(zhǔn)變式”的功能，讓學(xué)生在“變”中認(rèn)識、理解、掌握平方差公式的“不變”，這樣不僅使得學(xué)生理解了平方差公式的內(nèi)涵，而且豐富了平方差公式的外延，更為重要的是讓學(xué)生深層次去理解和掌握數(shù)學(xué)公式的真正含義并能實(shí)際運(yùn)用． 最后通過總結(jié)、反思數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)公式，還深化了對數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識．

教學(xué)啟示

1．清楚數(shù)學(xué)公式教學(xué)的本質(zhì)要求

數(shù)學(xué)公式教學(xué)的本質(zhì)就是以數(shù)學(xué)公式教學(xué)為載體，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升． 作為數(shù)學(xué)原理內(nèi)容之一的數(shù)學(xué)公式體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)普遍意義、一般性規(guī)律，它與數(shù)學(xué)概念既有區(qū)別又有聯(lián)系． 簡單說，概念是人們對事物的本質(zhì)認(rèn)識，公式是事物之間的普遍規(guī)律，公式學(xué)習(xí)是建立在概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上的［4］． 數(shù)學(xué)公式總是基于數(shù)學(xué)概念的，是對概念屬性的深層表征，也是聯(lián)系概念的紐帶，沒有數(shù)學(xué)概念，就不存在與概念相關(guān)的數(shù)學(xué)公式［5］． 公式教學(xué)主要由“從特殊到一般”的歸納推理，在對通例觀察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納、概括而得到普遍規(guī)律． 概念教學(xué)的核心是概括，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念［6］．

2．遵循數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程

實(shí)踐證明，“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應(yīng)用—內(nèi)化表征”是數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本過程． 問題提出是基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，解決“為什么學(xué)”的問題；通例辨析是重要環(huán)節(jié)，解決即將呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)公式“從哪兒來”的問題；特征普適是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，解決數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)特征從“特殊”到“一般”的問題；公式形成是難點(diǎn)環(huán)節(jié)，解決“是什么”的問題；鞏固應(yīng)用是拓展環(huán)節(jié)，解決“學(xué)了有什么用”的問題；內(nèi)化表征是提升環(huán)節(jié)，解決“是否深入理解、掌握”的問題. 這六個(gè)基本過程承載不同的功能，構(gòu)成了數(shù)學(xué)公式教學(xué)的六大環(huán)節(jié)，這六大環(huán)節(jié)構(gòu)成了一個(gè)封閉的教學(xué)流程，也就是數(shù)學(xué)公式教學(xué)的基本套路，教師在教學(xué)中要深入理解、靈活運(yùn)用． 當(dāng)然，我們說的基本過程，這里的“基本”是指一般的、普遍的，基本并不代表不重要，基本也不是拘于這些步驟或過程，要根據(jù)不同數(shù)學(xué)公式本身的特點(diǎn)創(chuàng)新使用．

3． 揭示數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：教師要幫助學(xué)生感悟解決現(xiàn)實(shí)問題不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)的知識，更要關(guān)注問題的背景知識，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)與規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)的概念、定理或公式予以表達(dá)［7］． 這就是說，數(shù)學(xué)公式教學(xué)要在揭示公式的本質(zhì)上下功夫． 數(shù)學(xué)公式屬于數(shù)學(xué)原理的范疇，對其教學(xué)不僅要重視“原”，即開始的、最初的、本源的，也就是數(shù)學(xué)公式的最根本的東西，而且要重視“理”，即道理、事理，也就是數(shù)學(xué)公式的合理性、科學(xué)性． 這就要求數(shù)學(xué)公式教學(xué)要注重公式的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生理解所學(xué)數(shù)學(xué)公式“從哪兒來”“是什么”“有什么用”． 要精心設(shè)計(jì)教學(xué)，從具體實(shí)例出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出數(shù)學(xué)公式．遵循從整體到部分，從直觀到理性的原則，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“特例—發(fā)現(xiàn)問題—猜想—推導(dǎo)—得出公式—應(yīng)用—變式”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在這些數(shù)學(xué)活動(dòng)中用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式、理解數(shù)學(xué)公式、掌握數(shù)學(xué)公式、應(yīng)用數(shù)學(xué)公式． 教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生推理、歸納能力以及發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而滲透“從特殊到一般思想”“數(shù)形結(jié)合思想”“方程思想”“類比思想”“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的真正含義及其作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和價(jià)值意義．

教無定法，但貴在得法．在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，教師只要靈活采用數(shù)學(xué)教學(xué)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題提出、通例辨析、特征普適、公式形成、鞏固應(yīng)用、內(nèi)化表征”的基本過程，他們就會理解、掌握數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)特征，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王震． 聚焦引入環(huán)節(jié) 啟迪學(xué)生思維：以數(shù)學(xué)公式教學(xué)為例［J］． 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（02）：4-6．

［2］［3］［4］ 羅增儒． “兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)分析：“2016高中數(shù)學(xué)特色課堂案例分析研修會”發(fā)言稿（節(jié)選整理之二）［J］． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（16）：25-29．

［5］吳增生． 3B教育理念下的高效率數(shù)學(xué)原理教學(xué)［J］． 中國數(shù)學(xué)教育，2011（Z3）：3-9．

［6］ 章建躍． 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力［J］． 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（11）：50．

［7］ 中華人民共和國教育部． 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］． 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．